Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.
Velocidad
F
E
 E
 E
 E
El oscilador amortiguado disipa energía porque la
fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
F
La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de
energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad
disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo
resultando, como ya vimos, en una exponencial.
Velocidad
F
E
 E1
 E2
 E3
Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador
amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
F
F(t)
Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una
energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la
inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es
mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la
energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa).
Velocidad
F Viscosa
Forzado Ext
E
 E  E F
 E  E F
El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun...
F
Ae
iwt
F(t)
 kx    x  m x
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez
más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e
imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la
exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:
El oscilador amortiguado y forzado: Solución
estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales.
Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede
con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
El oscilador amortiguado y forzado: Solución
estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales.
Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede
con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
SIMULACIONES 1
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento
“asintotico” de este problema fisico.
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
 0
(Punto de equilibrio)
x=0
Posición en el punto de
equilibrio y velocidad
positiva y de modulo
máximo
Crónica de una oscilación
 0

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo la posición es
positiva así como la
velocidad. A medida que
aumenta la posición, la
velocidad disminuye.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Posición en el punto
máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia
de signo.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 

2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la
velocidad es negativa.

Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
 
(Punto de equilibrio)
x=0
Medio ciclo completado,
la posición vuelve a ser
la misma pero la
velocidad se ha
invertido. Nótese que
entre pi/2 y 3pi/2 se da
la situación inversa...
Crónica de una oscilación
  
3
2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación
tanto x como la
velocidad son
negativas.
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
 
3
2
(Punto de equilibrio)
x=0
Durante este cuarto de
ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la
velocidad es POSITIVA.
 2
Posición
Velocidad
Crónica de una oscilación
Posición
Velocidad
  2
(Punto de equilibrio)
x=0
Luego de estos cuatro
cuartos (cada uno de
pi/2) el ciclo se ha
completado. Fase de 0
o de 2pi es
estrictamente lo mismo.
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
x
t
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
x
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
v>0 v<0 v<0 v>0
F>0 F>0 F<0 F<0
+E -E +E -E
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la
transferencia de energía es 0
x
Crónica de una oscilación y de como (y cuando)
inyectarle energía.
v>0 v<0 v<0 v>0
F>0 F<0 F<0 F>0
+E +E +E +E
Velocidad Positiva
Velocidad Negativa
Fuerza
t
x
La transferencia de energía es optima cuando la
diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir
cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Independiente de las
condiciones iniciales
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
Solución analitica a la solución estacionaria.
F
x ( t )  x transitori a ( vi , xi , k ,  , m , w )  x estacionar
F(t)
ia
(k ,  , m, w)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

 wm 

w 
  arctan 
r






Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
F
F(t)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

wm



w 
  arctan 
r






Conclusión 1: Tanto A como fi, quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir
estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es
insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el
oscilador y el forzado.
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






x ( t )  A  cos( w  t   )
x ( 0 )  A  cos(  ) : v ( 0 )   A sin(  )
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso).
F(t)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
)
2
w
k 

 wm 

w

  arctan 
r






x ( t )  A  cos( w  t   )
v (0)
x (0)

sin(  )
cos(  )
x ( 0 )  A  cos(  ) : v ( 0 )   A sin(  )
    arctan(
v (0)
x (0)
)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
x E ( t )  A  cos( w  t   )
F
A
w 
2
 (w  m 
k
)
2
w
k 

 wm 

w

  arctan 
r






x ( t )  A  cos( w  t   )
v (0)

x (0)
sin(  )
cos(  )
    arctan(
x ( 0 )  y ( 0 )  A  cos ( )  A  sin ( )  A 
2
2
2
2
2
2
x ( 0 )  A  cos(  ) : v ( 0 )   A sin(  )
v (0)
)
x (0)
x (0)  y (0)
2
2
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
F
A
x ( t )  A  cos( w  t   )
x ( t )  A  cos( w 0  t   )
w 
2
k
 (w  m 
)
2
w
A
x (0)  y (0)
2
2
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
k 

 wm 

w

  arctan 
r






   arctan(
v (0)
x (0)
)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
F
A
x ( t )  A  cos( w  t   )
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se
ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del
oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros
físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
k=5,m=1
2.5
F
A
w 
2
 (w  m 
k
2
)
g=0.2
2
w
1.5
g=0.2
1
Dos términos positivos. La función será
máxima cuando cada uno se minimice.
0.5
0
(w  m 
k
w
)0 w
k
m
 w0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1)La amplitud (y por ende la transferencia de
energía) es máxima cuando la frecuencia del
forzado es igual a la frecuencia natural del
oscilador.
2) La amplitud máxima es inversamente
proporcional a la velocidad. Nótese que para
viscosidad cero es infinita. ¿Porque?
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
A ( w 0 )  Amax 
2.5
F
m

k
F
A
w 
2
 (w  m 
k
2
)
g=0.2
2
w
1.5
k=5,m=1
g=0.2
1
0.5
A(0) 
F
 k
2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A( )  0
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
F
A
w 
2
k
 (w  m 
)
2
w
Cambio de escala
k=30,m=1
0.4
0.1
0.35
g=0.5
0.3
0.08
0.25
0.07
0.2
0.06
g=2
0.15
g=2
0.09
0.05
0.04
0.1
0.03
0.05
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Amplitud del forzado en funcion de los parametros
fisicos.
F(t)
El ancho de la curva de amplitud
escalea con la viscosidad y
disminuye con la raíz de la masa y
la constante elástica. Nótese que
esta comparación es equivalente
al cociente para determinar si un
oscilador no forzado llega a oscilar
o no.

F
A
w 
2
k m
k
 (w  m 
)
2
w
k=30,m=1
0.4
0.1
0.35
g=0.5
0.3
0.08
0.25
0.07
0.2
0.06
g=2
0.15
g=2
0.09
0.05
0.04
0.1
0.03
0.05
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
F
A
w 
2
 (w  m 
k
w
0.16
0.14
m=3
0.12
Aumentar la masa resulta en
frecuencias mas bajas y un
mundo “en aparencia” mas
viscoso.
0.1
0.08
m=1
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
)
2
Espectro, una función de transferencia.
F
A
w 
2
k
 (w  m 
)
2
w
F(t)
Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un
resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado)
puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a
una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de
entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado
por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA
DE RESONANCIA, que es característico y que establece una
huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La
funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la
frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la
viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y
oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
F
A
x ( t )  A  cos( w  t   )
w 
2
 (w  m 
k
w
)
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de
amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde
la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del
forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a
la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
3.5
3
F(t)
2.5
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






 0
 
1.5
k=5,m=1,g=0.5
1
0.5
0
0
1
2
3
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
35
-1
0
1
2
3
5
6
7
8
9
10
 
2
1
-1
4
1
4
5
6
7
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
3.5
3
F(t)
2.5
2
k 

 wm 

w

  arctan 
r






1.5
k=5,m=1,g=0.5
1
0.5
0
0
1
2
3
1
5
1
0.8
4
0.8
0.6
3
0.6
0.4
2
0.4
0.2
1
0.2
0
0
0
-0.2
-1
-0.2
-0.4
-2
-0.4
-0.6
-3
-0.6
-0.8
-4
-0.8
-1
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
0
4
0.5
5
6
1
7
1.5
8
2
9
2.5
10
3
3.5
4
4.5
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=2;m=1;
F
A
w 
2
 (w  m 
w
F(t)
k 

 wm 

w

  arctan 
r






4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
)
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=0.5;m=1;
F
A
w 
2
 (w  m 
w
F(t)
k 

 wm 

w

  arctan 
r






4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
)
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=30;gama=0.5;m=5;
F
A
w 
2
 (w  m 
w
F(t)
k 

 wm 

w

  arctan 
r






4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
)
2
Espectro, una función de transferencia. Fase y
amplitud
k=60;gama=0.5;m=5;
F
A
w 
2
 (w  m 
w
F(t)
k 

 wm 

w

  arctan 
r






4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
)
2
Espectro, una función de transferencia: Fase y
amplitud
k=60;gama=0.5;m=5;
F
A
w 
2
 (w  m 
w
F(t)
DILATACION
4
k 

 wm 

w

  arctan 
r






3.5
3
2.5
2
ROTACION
1.5
1
T  Ae
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
i
)
2
Espectro, una función de transferencia. Un producto
complejo.
A STIM  e
iwt   S TIM
F
A
T  Ae
i
w 
2
 (w  m 
w
DILATACION
k 

 wm 

w


  arctan
r






ROTACION
T  A STIM  e
A  A STIM  e
iwt   S TIM
iwt   S TIM  
k
)
2
Espectro, una función de transferencia compleja.
A STIM  e
iwt   S TIM
Un objeto físico compuesto por una
masa, un resorte y un medio
viscoso (oscilador forzado
amortiguado) puede pensarse
como un objeto con una función de
respuesta a una entrada, la
multiplicacion por un numero
complejo. Esto resulta en:
multiplicar la amplitud por un factor,
determinado por A(w) y cambiar la
fase por un fa factor determinado
por fi(w).
F
A
Conclusión 3 Revisitada:
T  Ae
i
w 
2
 (w  m 
w
DILATACION
k 

 wm 

w


  arctan
r






ROTACION
T  A STIM  e
A  A STIM  e
iwt   S TIM
iwt   S TIM  
k
)
2
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oscilador forzado amortiguado