Espacio métrico
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los
materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Ángulo entre dos rectas
El ángulo de dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman
sus vectores direccionales.
El ángulo de dos rectas que se cruzan es el ángulo formado por dos rectas
secantes paralelas a las dadas.


 
cos ( r , s) = cos ( u r , u s )


 
cos ( r , s) = – cos ( u r , u s )
Ángulo entre dos rectas: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
S ean r:
x  x1
a

y  y1

z  z1
b
c
y
s:
x  x2
a'

y  y2

z  z2
b'
c'
d o s rectas
cu alesq u iera. E n to n ces:

cos (r , s) =
|aa' + bb' + cc'|
a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2
Condición de perpendicularidad
Condición de paralelismo
r // s  u r prop orc. u s 
a
a'

b
b'

c
c'
Ángulo entre dos planos
Definición: El ángulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ángulos diedros
que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas
perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.


 
cos ( a , b ) = cos ( n a , n b )


 
cos ( a , b ) = – cos ( n a , n b )
Ángulo de dos planos: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad
Si a y b son dos planos cualesquiera
b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:

cos (a , b) =
a: Ax + By + Cz + D = 0 y
|AA' + BB' + CC'|
A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2
Condiciones de perpendicularidad
Condiciones de paralelismo
a//β

n α proporc.
n
A
B
C


β A' B' C'
Ángulo entre recta y plano
Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la
recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.


 
sen ( r , a) = cos ( u r , n a )






sen (r , a) = cos (– ur , na) = – cos ( ur , 
na )
Ángulo entre recta y plano: expresión analítica.
Condiciones de perpendicularidad y paralelismo
S ean r:
x – x1 y – y1 z – z1
=
=
y a : A x + B y + C z + D = 0 . E n to n ces :
a
b
c

sen (r , a) =
|aA + bB + cC|
a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2
Condiciones de perpendicularidad
Condiciones de paralelismo
Proyección ortogonal
1
Punto sobre plano
2
Recta sobre plano
P pertenece p
r incluida p
P no pertenece p
r no incluida p
Distancia entre dos puntos
A(x1, y1, z1)
•

a
• B(x2, y2, z2)



a + AB = b

b

 
AB = b – a

A B = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 )
La distancia entre dos puntos es el
módulo del vector AB

d (A , B ) = | A B | =
2
2
(x 2 – x 1 ) + (y 2 – y 1 ) + (z 2 – z 1 )
2
Distancia entre punto y plano
Dado P(x1, y1, z1) (un punto) y a (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, a),
como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el
plano.
Según la definición anterior: d(P, a) = d(P, Q)
y si Aa(x0, y0, z0)a



A aP = A aQ + Q P
     
AaP  na = AaQ  na + QP  na
=0




Aa P ·n a  QP ·n a



Aa P ·na  QP ·na  QP · na

|A a P


|na |

na |
=
|A x 1 + B y 1 + C z 1 + D |
2
2
A +B +C
2
Distancia entre dos planos paralelos
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto
cualquiera de un plano al otro plano.
d(a, b) = d(Pa, b) = d(Pb, a)
(x1, y1, z1)
Ax+By+Cz+D=0
d(Pa,b) =

Ax 1  By 1  Cz 1  D '
A B C
2
2
2

 D  D'
A B C
2
2
2
Como Paa cumple su ecuación
A’x+B’y+C’z+D’=0
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Distancia entre punto y recta
Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la
longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la
recta.
(x1, y1, z1)
Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)



A rP = A rQ + Q P

A rP
(xo, yo, zo)

x


u r = A rQ
x


ur + Q P

=0
x

ur



Aa P x u a  QP x u a
(a, b, c)






Aa P x u a  QP x u a  QP · u a



|A r P x u r |
|(x 1 – x o , y 1 – y o , z 1 – z o ) x (a, b, c)|
d (P , r) = d (P , Q ) = | Q P | =
=

|(a, b, c)|
| ur |
Distancia entre dos rectas paralelas
La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto
cualquiera de una de ellas a la otra.
s
d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)
Distancia entre dos rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la
existente entre el plano paralelo a r que pasa por s
y el plano paralelo a s que pasa por r.
Partiendo de la figura
• d(r, s) = d(As, a)=d(Ar, b)
• Como sabemos que d (P, a) =

|A a P


|na |
  
T om am os A a = A r ; P = A s ; n a = u r x u s
Y nos quedará:
Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

na|
Perpendicular común (I)
La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta
ortogonalmente a cada una de ellas.
p
s
r
As
•
•A
r

us
• La recta p, perpendicular
común, queda determinada por
  el corte de los planos a y b.
ur x u s
b

us

ur
a
• Se observa que
a (Ar, 
ur,
ur x
us)
 
b (As, us, ur x us)
Perpendicular común (II)
p
La distancia entre las dos rectas, viene dada por la
distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno
sobre cada una de las rectas y en la perpendicular
común
us
Ps
s
Pr vr
r
El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las
correspondientes a las ecuaciones paramétricas
de la recta r: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)
Análogamente las coordenadas del punto de Ps serán: Ps = (x2 + s v1, y2 +s v2, z2 + s v3)
  
 Pr Ps ·u r  0
El vector PrPs es ortogonal a los vectores u y v, luego    
 Pr Ps ·u s  0
Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten
conocer los puntos y luego su distancia.
A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.
Áreas de paralelogramos y triángulos
Paralelogramos
 
S(ABCD) = | AB x AC |
Triángulos
1  
S(ABC) =
|AB x AC|
2
Volumen de paralelepípedos y tetraedros
Paralelepípedo
  
V = |det (AB, AC, AD)|
Tetraedro
Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura
 
1
Base = S(ABC) =
|AB x AC|
2

 
Altura = h = |AD| cos(AD, h) Por tanto:

 
  
1
1
V=
|AD · (AB x AC)| =
|det (AB, AC, AD)|
6
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Ángulo entre dos rectas