INAOE
CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
2010
Métodos
Matemáticos
http://www-elec.inaoep.mx/~jmram/prope/prope.htm
Capítulo 2
Ecuaciones Diferenciales
• Ecuaciones Diferenciales I
• Introducción
• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de orden 1
• EDO de orden 2
• EDO de orden sup.
• Sistemas de EDO
ecuación diferencial
y( x)  e
0 .1 x
dy
2
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:
Ejemplo de
ecuación
diferencial
dy
 0 .2 x e
0 .1 x
2
dx
 0 .2 x y
dx
Suponiendo que nos dan directamente esta ecuación (ED)
el objetivo es obtener la función y(x) que la satisfaga
3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
variable dependiente
dy
 0 .2 x y
dx
variable independiente
4
Dónde se usan ?
Notaciones
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...
.
Notación de Newton:
..
...
x , x , x , ...
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
dy
dx
 5y  e
x
6
Las EDs se clasifican por:
•Tipo
•Orden
•Linealidad
Clasificación por tipo:
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o
más variables dependientes de una sola variable independiente.
Ejemplo de EDO:
dy
 5y  e
x
dx
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
dx
dt

dy
dt
 2x  y
dx ( t )
dt

dy ( t )
 2 x (t )  y (t )
dt
8
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:
 u
2
x
2
 u
2

y
2
 u
2
0
x
2
 u
2

t
2
2
u
t
9
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
segundo orden


3
2
d y
dx
primer orden
2
 dx 
x
  4 y  e
 5 
 dy 
Luego, es una EDO de segundo orden.
10
Nota: A veces se escriben las EDOs en forma diferencial
M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:
( y  x ) dx  4 xdy  0
y  x  4x
dy
0
dx
dy
dx

x y
4x
11
Forma general de orden n de una EDO:
F ( x, y, y ',  , y )  0
   
(n)
n  2 variables
Forma normal de orden n de una EDO: :
n
d y
dx
n
( n 1 )
 f ( x, y, y ',  , y
)
    
n  1 variables
Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
4 xy’  y  x, son:
F(x, y, y’ )  y’ - (x – y)/ 4 x  0
y’  (x – y)/ 4 x  f(x, y)
12
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden, es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación diferencial:
3
 dy

5
xy

7
x
8


 dx

es de tercer grado, dado que la primera derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.
13
Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
d y

 dx 4

4
2
d y
dx
2
2

d y
  5

 dx 2


2
6
5
  dy 
2


3
x
7


  dx 
d y
 dy 
2
 7 x
  x  
2
dx
dx



2




3
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
dy
dx
2
 7x 1
2
d y
dx
2
x 
3
dy
dx
14
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
3
d y
a)
dx
3
d y
 18 
3
dx
dx

3
dy
c)
 dy 
 3 x
 5y
 dx 
2
d)
d y
dx
2
3
3
b)

d y
  8x  

 dx 3


3




d y
dx
3
 dy 
 5 x  8

 dx 
5
3
 3x 
5
d y
dx
3
15
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
Dos casos importantes
serán las EDOs lineales
de primer y segundo
orden.
d
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x )
a1 ( x )
dy
dx
dy
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
2
a2 ( x)
d y
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
2
 a1 ( x )
dy
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
16
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
d
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x )
dy
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es cero.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los
coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
17
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
d
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x )
dy
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
En una EDO lineal de orden n:
1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.
2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la
variable independiente x.
Ejemplos de EDOs no lineales:
El coeficiente depende de y.
(1  y ) y ' 2 y  e
x
2
d y
4
d y
dx
4
y 0
dx
2
 siny  0
2
Función no lineal de y.
18
n
an ( x)
d y
dx
n
 a n 1 ( x )
d
n 1
dx
y
n 1
   a1 ( x )
dy
dx
 a0 ( x ) y  g ( x )
Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
dv ( t )
dt
dT
dt

1
1
v (t ) 
RC
RC
V s (t )
 K (T a  T )
3)
ml   kl   mgsen   0
4)
dy
5)
y ' x y  sin( x ) y  x  1
6)
y' '   ( 1  y ) y'  y  0

x
dx
x  y
2
2
y
3
2
2
2
19
Solución de una EDO
Cualquier función  , definida en un intervalo I y con
al menos n derivadas continuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de
n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se
considera solución de la ecuación en el intervalo.
En otras palabras,  posee al menos n derivadas y cumple:
F ( x ,  ( x ),  ' ( x ),  , 
(n)
( x ))  0
x  I
Siempre se debe considerar una solución junto a su intervalo I de
definición, también llamado intervalo de existencia, de validez o
dominio de definición.
20
Ejemplo: comprobación de una solución.
Comprobar que la función indicada es la solución de
la EDO dada en el intervalo (-, ):
(a) dy/dx = xy1/2.
Solución: y = x4/16.
Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).
(a)
Lado izquierdo : dy
 4
dx
x
3

x
16
4
x
 x  
 16
4
Lado derecho:
xy
1/ 2
3



1/ 2
 x
x
2
4

x
3
4
Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).
21
Ejemplo (b)
y   2 y   y  0 ;
y  xe
x
Solución:
(b)
Derivando la solución dos veces:
y' = xex + ex
y'' = xex + 2ex :
x
x
x
x
x



y  2 y  y  ( xe  2 e )  2 ( xe  e )  xe  0
Nótese que y(x) = 0 también es la solución tanto de este
ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ).
Se conoce como solución trivial.
22
Una EDO puede tener:
No. Inf. de soluciones:
y '  y cos x ;
Una única solución:
( y ' )  y  0;
Ninguna solución:
( y')  x  0
2
2
2
y ( x )  Ce
sin t
y( x)  0
2
23
Ejemplo
No. Inf. De Soluciones
(familia de soluciones)
dy
 cos( x )
dx
dy  cos( x ) dx
 dy   cos( x ) dx
y  sin( x )  C
Ejemplo
Comprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial:
dy
 x
dx
Solución
Derivando y = x2 + C tenemos
dy
 2x
dx
Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
2x  x
2 1
Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación
diferencial
25
Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de
la ecuación diferencial dada:
 dy 
2
x
 x  y
 dx 
y  x  Cx ;
2
2
d y
y  Asen ( 5 x )  B cos( 5 x );
dx
2
 25 y  0
3
y  C x  C  ;
2
y  C  Cx
2
e
cos x
1
;
 dy 
 dy 
2

  4 xy 
  8y  0
 dx 
 dx 
y  xy '  x
1  cos y   C ;
4
 y '
2
 dy 
seny 
  senx cos y  senx
 dx 
2
y  8x  3x  C;
5
2
d y
dx
2
 6  160 x
3
26
Ejemplo:
Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración,
de manera que derivamos una sola vez la solución general
y = x2 + C. Así
dy
 2x
dx
Como en esta derivada no aparecen constantes de
integración, quiere decir que esta es la ED de la solución
general presentada al inicio.
27
Ejemplo
Encuentre la ED cuya solución general es y = C x2.
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de
integración, de manera que derivamos una sola vez la
solución general y = C x2. Así
dy
 2 Cx
dx
Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor
encontrado en la ED.
C 
x
Por lo tanto:
 y 
 2 2  x
dx
x 
y
dy
2
dy
dx

2y
x
es la ED de la solución general, puesto que ya no
28
aparecen constantes de integración.
Ejercicios Encuentre la ED de las siguientes soluciones
generales de
y  C 1e  C 2 e
x
x
y  tan( 3 x  C )
 x  C1 
2
 y  C2
2
2
29
Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejercicios.
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de primer orden: Ejercicios.
Métodos Matemáticos - INAOE
Función vs solución e intervalo de definición
La gráfica de una solución  de una
EDO se llama curva solución.
Como  debe ser una función
diferenciable, debe ser continua en
su intervalo de definición I.
Puede, entonces, haber diferencias
entre la gráfica de la función y la
solución. Veamos un ejemplo:
(a) y = 1/x considerada como una función, tiene
dominio de definición (-, 0) U (0, ).
Es discontinua y no diferenciable en x = 0.
(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se
entiende que es solución en algún intervalo I en el
que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo,
en (0, ).
32
Solución explícita de una EDO:
La variable dependiente está expresada solamente en
términos de variables independientes y constantes.
Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es
y = (x) = 1/x.
Solución implícita de una EDO
Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una
EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una
función y = (x) que satisface tanto la relación como la
ED en I.
ejemplo
33
Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.
x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = −x/y en el intervalo -5
< x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:
dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0; obtenemos la EDO:
dy/dx = -x/y.
Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos
soluciones explícitas:
34
• Familia de soluciones o solución general:
Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en
general, se obtiene una solución que contiene una
constante arbitraria o parámetro c. Una solución así,
G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de
soluciones, llamada familia uniparamétrica de
soluciones.
Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución
general está determinado por el orden de la EDO.
G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
35
Ejemplo
No. Inf. De Soluciones
(familia de soluciones)
dy
 cos( x )
dx
dy  cos( x ) dx
 dy   cos( x ) dx
y  sin( x )  C
Solución particular: es una solución libre de
parámetros arbitrarios.
Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general
de xy’ – y = x2 sin x en (-, ).
Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución
particular.
37
Ejemplo:
x = c1cos(4t)
x = c2 sen(4t)
con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas
soluciones de la EDO:
x + 16x = 0.
Podemos comprobar fácilmente que la suma
x = c1cos 4t + c2 sin 4t
es también una solución.
38
Solución singular: Una solución que no puede
obtenerse al especificar los valores de los
parámetros de la familia de soluciones.
Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de
soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo
y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.
No podemos encontrar ningún valor de c en la
familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos
proporcione la solución y = 0, así que llamamos a
y = 0, solución singular.
39
Problemas con condiciones iniciales
Encontrar la solución y(x) de una ED que además
satisfaga condiciones iniciales
en y(x) y en sus derivadas.
en un intervalo I que contiene a xo
Resolver
con condiciones
n
d y
dx
n
 f ( x, y, y ' ,  , y
( n 1 )
)
y ( x 0 )  y 0 , y ' ( x 0 )  y1 ,  , y
( n 1 )
( x 0 )  y n 1
40
PCIs de primer orden:
Resolver:
solve
:
dy
 f ( x, y )
dx
sujeta a: to : y ( x 0 )  y 0
subject
41
PCIs de segundo orden:
2
Resolver:
sujeta a:
d y
dx
2
 f ( x, y, y ' )
y ( x0 )  y0 ,
y ' ( x 0 )  y1
42
Ejemplo:
Sabemos que y = cex es una familia
uniparamétrica de soluciones de la
EDO:
y’ = y en (-, ).
y = 3ex
Si y(0) = 3, entonces
3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución
de este problema de valor inicial.
Si queremos una solución que pase
por (1, -2), entonces la condición es:
y(1) = -2. De modo que -2 = ce, c = 2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.
y = -(2/e)ex
43
Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una
solución de x + 16x = 0.
Hallar una solución del siguiente PCI:
x + 16x = 0,
x( /2) = −2, x( /2) = 1.
Solución:
Sustituimos: x( /2) = − 2 en
x = c1cos(4t) + c2sen(4t),
y obtenemos c1 = −2.
De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 =
¼. La solución pedida es:
x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t
44
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Bajo la C.I. y(0) = -1, obtenemos c = -1.
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2
- 1) es el conjunto de todos los números
reales excepto -1 y 1.
45
Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).
Bajo la C.I. y(0) = -1, obtenemos c = -1.
1) Como función, el dominio de y = 1/(x2
- 1) es el conjunto de todos los números
reales excepto -1 y 1.
2) Como una solución: los intervalos de definición
posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).
3) Como un problema de valor inicial, con
y(0) = -1. El intervalo de definición es (-1, 1).
46
Campo direccionales
Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una
red o malla de puntos rectangular en el plano xy,
y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y)
de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el
campo de direcciones o campo de pendientes.
47
EJEMPLO:
dy
dx
 x
dy
dx
 x
dy
dx
 x
dy  x dx
y
y
 x dx
x
2
2
C
dy
dx
e
x
dy
dx
e
x
dy
dx
 x
dy
dx
 x
dy
dx
dy
 x
 x
dx
x

dx
 x
dy
 x dx
dy  
  x dx
 x dx

y 
   x dx
 x2
C

 2
y
2
x

C
 2
x0
x0
x0
x0
x0
x0
x0
x0
Ejemplo: Analizar campo direccional de
Ec. Dif: dy/dx = 0.2 xy
Solución general :
y Ce
0 .1 x
2
56
dy
 0 .2 x y
…Adelantándonos: Método
de Separación de Variables
dx
dy
 0 . 2 x dx
y

dy
y

 0 .2 x dx
ln y  C 1  0 . 2
e
ln y  C 1
x
2
2
e
0 .1 x
C2 y  e
2
0 .1 x
2
y  C3 e
0 .1 x
2
campo direccional de
dy/dx = 0.2 xy
Solución general :
y Ce
0 .1 x
2
58
campo direccional de
dy/dx = 0.2 xy
Solución general de la ecuación:
y Ce
0 .1 x
2
59
campo direccional de
dy/dx = 0.2 xy
Solución general de la ecuación:
y Ce
0 .1 x
2
60
Solución de EDO de primer orden
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