Ángulos entre planos y rectas.
Proyecciones y puntos simétricos
Espacio Euclideo
Espacio Euclideo
Espacio Euclideo
Espacio Euclideo
v
Vector normal a un plano
 El vector normal n a un plano  : A x + B y + C z + D = 0, es
n(A,B,C)
De este resultado se deduce que el vector director v de la recta determinada
por dos plano COINCIDENTES
 :Ax+By+Cz +D=0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
será el vector perpendicular a los dos vectores normales de  y ’ , es decir
v = (A,B,C) x (A’,B’,C’) = (v1,v2,v3)
Y si P0(x0,y0,z0) es un punto cualquiera de   ’ , entonces la recta
contenida en la intersección de los dos planos será
 x  x 0    v1

r :  y  y0    v2
 z  z   v
0
3


Vector normal a un plano. Ejemplo
 Ejemplo.- Dados dos planos
 :3x–2y+4z -2=0
’ : 2 x + 3 y - 5 z + 8 = 0
Estudiar si son secantes. Y si lo son escribir las ecuaciones, vectorial,
paramétricas y continuas de la recta intersección.
 Como se cumple
3
Rango 
2
2
3
4 
3
  Rango 
5 
2
2
4
3
5
2 
2
8 
Los planos  y ’ son secantes. Además, si r es la recta intersección de los
dos planos el vector director será
i
v   3,  2, 4    2, 3,  5   3
2
j
2
3
k
4    2, 23,13 
5
Vector normal a un plano. Ejemplo.
 Haciendo por ejemplo x = 0, obtenemos el sistema
-2y+4z -2=0
3y-5z +8=0
Que resolviendo, obtenemos el punto P0(0,-11,-5).
Y la ecuación vectorial de la recta será
 x , y , z    0,  1 1,  5       2, 2 3,1 3 
Y las ecuaciones paramétricas y continuas, serán:
x  2  


 y   11  23  
 z   5  13  

x
2

y  11
23

z5
13
Ángulo entre dos vectores
Desigualdad de Schwarz y desigualdad triangular
Desigualdad de Schwarz y desigualdad triangular
Ángulos entre dos planos
 Dados dos planos secantes
 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
En ángulo que forman dichos planos será, el ángulo formado por sus vectores
normales n1(A1,B1,C1) y n2(A2,B2,C2), que aplicando el producto escalar será
   1 ,  2   A rccos  cos   1 ,  2   

 A rccos cos n1 , n 2
 n n
1
2
 A rccos 
 n n
2
 1

 A rccos 


Hay que recordar que si cos a = b, entonces Arccos b = a





A1  A2  B1  B 2  C 1  C 2
A1  B1  C 1 
2
2
2
A2  B 2  C 2
2
2
2




Ángulos entre dos planos
 Ejemplo.- Determinar el ángulo que forman los planos
 1 : 3 x + 2 y + 10 z – 5 = 0
 2 : x – 4 y + z + 10 = 0


   1 ,  2   A rccos  cos   1 ,  2    A rccos cos   3, 2,10  , 1,  4,1   
  3, 2,10  1,  4,1 
 A rccos 
  3, 2,10   1,  4,1 




A
rccos





5


 A rccos 
  83, 63º
 3  226 
Hay que recordar que si cos a = b, entonces Arccos b = a


113  18 
5
Ángulos entre recta y plano
 El ángulo formado entre un plano P: A x + B y + C z + D = 0 y una recta r de
vector director v = ( v1 , v2 , v3 ) será


  P , r   A rcsen  sen  P , r    A rc sen cos     P , r    A rc sen cos n , v
 2


 v n
 A rcsen 
 v n



  A rcsen 




v1  A  v 2  B  v 3  C
v1  v 2  v 3 
2
2
Hay que recordar que si cos a = b, entonces Arccos b = a
2
A B C
2
2
2





Ángulos entre recta y plano
 Ejemplo.- Determinar el ángulo que forman la recta y el plano
 : x + y – 4 z + 16 = 0
r : x – 2 y + 3 z - 10 = 0
2 x + 3 y – z + 17 = 0
  
   , r   A rcsen  cos   , r    A rcsen cos n , v
  1,1,  4    1,  2, 3    2, 3,  1  
 A rcsen 
  1,1,  4    1,  2, 3    2, 3,  1 

  1,1,  4    7, 7, 7 
 A rcsen 

3 2 7 3





 4 
 A rcsen 
  32, 97 º
 3 6 
Hay que recordar que si cos a = b, entonces Arccos b = a




Ángulos entre dos rectas
 El ángulo formado entre la recta r de vector director u = (u1,u2,u3) y s de
vector director v = (v1,v2,v3) será
 u v
  r , s    u , v  A rc cos 
 u v





  A rc cos 






2
2
2
2
2
2 
u 1  u 2  u 3  v1  v 2  v 3 
u 1  v1  u 2  v 2  u 3  v 3
 Ejemplo.- Determinar el ángulo que forman las rectas
r : (x,y,z )= (2+2,-1+ ,3+5 )
s : 3 x – 2 y + z - 10 = 0
x -2y+z- 2=0
  
  r , s   A rccos cos u , v
  2,1, 5    3,  2,1   1,  2,1  
 A rccos 
  2,1, 5    3,  2,1   1,  2,1 

  2,1, 5   0,  2,  4 
 A rccos 

30  2 5


 11 
  A rccos 
  26, 08º

 5 6 

Hay que recordar que si cos a = b, entonces Arccos b = a




Ángulo diedro
Plano bisector
Plano bisector
Proyección ortogonal
Proyección ortogonal
Proyección ortogonal
Proyección ortogonal
Proyección ortogonal
Puntos simétricos
Puntos simétricos
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Matemática de GAUSS del Ministerio
de Educación y ciencia
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Dr. Juan Medina Molina
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maticas.htm)
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Determinantes