Sesión
Contenidos:
↘Derivadas
17
↘ Técnicas de derivación en
funciones comunes en las
ciencias de la salud.
Profesor: Víctor Manuel Reyes F.
Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011)
Primer Semestre 2012
Aprendizajes esperados:
 Aplica técnicas de derivación para funciones
comunes
 Aplica regla de la cadena para funciones
compuestas.
 Determina derivadas de orden superior.
Derivada de la función compuesta.
¿Cómo se puede derivar la siguiente función?
y  ( x  3)
3
2
Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del binomio y derivar
la función resultante
y  x
6
 6x  9
3
Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar y = (x3 + 3)20 ??????
Derivada de la función compuesta.
Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos:
y  x
y  x
y'
6
 6x  9
3
6
 6 x  9  ( x  3)
3
3
2
y  ( x  3)
3
y'
2
Derivada de la función compuesta.
Se observa, que derivar con la regla de potencias no es suficiente
cuando se tiene la potencia de una función, faltó el factor que es
justamente la derivada de dicha función.
y  ( x  3)
3
20
Regla generalizada de la potencia
Suponga que g(x) es una función de x. Luego:
f  g ( x ))  f ' ( g ( x ))  g ' ( x )
Derivada de la función compuesta.
h(x) = (4x6 − 1)8
1. Se bloquea la función (4x6 − 1)
(u)8
2. Se deriva la función externa (u)8
8(u)7
3. Se multiplica por la derivada de la
función interna u.
=192x5 (4x6 − 1)7
=8(4x6 − 1)7  24x5
Derivada de la función compuesta.
g(t) = ln(t2 − 2t + 5)
Derivadas de orden superior.
Sabemos que dada un función x(t), podemos obtener su derivada
x‘(t). Esta derivada también es una función, por lo tanto podemos
derivar x ‘(t), obteniendo la segunda derivada de x(t)
f(x) = 5x - x3 + 3x4
Así como la primera derivada representa la tasas cambio
instantáneas de la función x(t), la segunda derivada también
representará las tasas de cambios de estas tasas.
Por ejemplo, si x(t) es el camino recorrido por un móvil, sabemos
que x‘(t) representa la velocidad de ese móvil.
Por lo tanto, x“(t) representará la aceleración de ese móvil.
Derivada de la función compuesta.
El número de bacterias f(t), presentes en un cultivo en t minutos se
puede modelar mediante la función
f(t) = 1500e0,04t
Análisis de la Derivada
f(x)=16x – 4x2
y



f’(x)=16 – 8x

¿Qué sucede con la sustancia a una
hora de iniciado el experimento?




x











Análisis de la Derivada
¿Qué sucede con la sustancia a una
hora de iniciado el experimento?

f’(x)=4 + 8x
y

En 1 hora hay
12 gramos
(1,12)

f(x)=16x - 4x2


En una hora la
tasa de cambio
es de 8 grs/lt
m=8




x
                         









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