Unidad 2: La derivada
Derivación implícita.
Tasas relacionadas.
1
¡Interrogante!
De la expresión: x 2  y 2  4
¿Se puede “despejar” y en términos de x?
¿Y de la expresión:
x  y x y x0
3
2
2
5
?
¿en cuál de los dos casos se puede obtener dy/dx? ¿acaso
en los dos?
2
Recordemos la regla de la cadena, la derivada de
5x
con respecto a x es:
2
 1
3
3 .( 5 x  1) . 10 x
2
Si a (5x2 + 1) lo llamamos “y”
derivada de y3 sería:
2
2
2
tendríamos que la
3 .( 5 x  1) . 10 x
3
y2
y´
Nótese que cuando y depende implícitamente de x, la
derivada respecto de x de y3 es 3y2y´
3
Procedimiento de diferenciación implícita
Para una ecuación que suponemos define implícitamente a
y como una función diferenciable de x, la derivada dy/dx
puede encontrarse como sigue:
1.Derive ambos miembros de la ecuación con respecto a x.
2.Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un
miembro de la ecuación y agrupe los demás términos en el
otro miembro.
3.Saque dy/dx como factor común en el miembro que
contenga los términos dy/dx.
4.Despeje dy/dx.
4
Si y es una función implícita de x, determine dy/dx:
a. y  x
2
b . 3 xy  1
2
c.
xe
d.
x  ln( y )
y
5
Tasas relacionadas
Sean:
I = ingreso por ventas
q = cantidad de unidades vendidas
precio unitario = 3 US$
¿Cómo se relacionan I con q?
6
¿qué es
dq
?
dt
¿qué es
dI
?
dt
¿Se pueden relacionar estas razones de cambio?
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7
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Un grupo de estudiantes de la universidad ha modelado los costos
de cierta empresa del medio correspondiente al sector de
confecciones. Han considerado los costos C(x) medidos en
cientos de dólares en función del nivel de producción x medido en
lotes de pedido. La gerencia de operaciones está informado que
actualmente su nivel de producción es de 5 lotes y está creciendo
a una tasa de 0,7 lotes por mes y desea saber a qué tasa sus costos
de producción están variando.
C ( x )  25  2 x 
1
x
2
20
8
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Calculo diferencial e integral (ADM)