Unidad 2: La derivada
Derivación implícita.
1
¡Interrogante!
De la expresión: x 2  y 2  4
¿Se puede “despejar” y en términos de x?
¿Y de la expresión: x 3  y 2 x 2  y 3 x  0 ?
¿en cuál de los dos casos se puede obtener dy/dx? ¿acaso
en los dos?
2
Recordemos la regla de la cadena, la derivada de
5x
con respecto a x es:
2
 1
3
3 .( 5 x  1) . 10 x
2
Si a (5x2 + 1) lo llamamos “y”
derivada de y3 sería:
2
2
2
tendríamos que la
3 .( 5 x  1) . 10 x
3
y2
y´
Nótese que cuando y depende implícitamente de x, la
derivada respecto de x de y3 es 3y2y´
3
Si y es una función implícita de x, determine dy/dx:
a) y
b) k  y n
c) e
y
b) ln( y )
4
Procedimiento de diferenciación implícita
Para una ecuación que suponemos define implícitamente
a y como una función diferenciable de x, la derivada
dy/dx puede encontrarse como sigue:
1. Derive ambos miembros de la ecuación con respecto
a x.
2. Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un
miembro de la ecuación y agrupe los demás términos
en el otro miembro.
3. Saque dy/dx como factor común en el miembro que
contenga los términos dy/dx.
4. Despeje dy/dx.
5
Ejemplos:
1. Calcule dy/dx para x3 – y3 = 3y +5
2. Calcule dy/dx en x = 0 para x3y2 – yex = x - 2
6
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Calculo diferencial e integral (ADM)