UNIDAD 6: TEORÍA GENERAL
DEL INTERÉS.
 6.1. Teoría General del Interés: El fenómeno
de la capitalización. La tasa instantánea de
interés. Fórmula general de la capitalización.
6.2. Factor logarítmico de capitalización:
Hipótesis sobre la ley de variación. Condición
General. Distintas hipótesis: a) Proporcional al
tiempo; b) Proporcional al cuadrado del
tiempo; c) De tipo logarítmica.
6.3. La tasa instantánea en el interés simple y
en el interés compuesto.
6.4. Aplicaciones en operaciones simples y
complejas
1
OPERACIONES FINANCIERAS
 O.F.: cálculo variación del C en el
tiempo se realiza al final del plazo.
 El fenómeno pertenece al campo
continuo.
 La variación es siempre exponencial.
 Ecuaciones de valor que vinculan al
capital con sus variaciones en el
tiempo buscando una Fórmula General
del Monto en el campo continuo.
2
FUNCIONES





y= 5x+8;
y = f(x)
x= variable independiente
y = variable dependiente
Interés: y= 1000*0.02*t
INCREMENTO DE LAS VARIABLES:
Diferencia entre un valor inicial y otro
valor de una variable.
 x : inc re m e nto va ria b le x
 y : inc re m e nto va ria b le y
3
Incremento de las variables:
y= 1000*0.02*t
 t=0
 t=1
 t=1
y= f(t)= 0
y+ y = f(t+1)= 20
y= f(t)= 20
y= f(t)=f(t+t)- f(t)
Relación entre incrementos:
y/ t= f(t)/ t= Cociente incremental
Por cada unidad de t incrementada la funciónn
crece 20 unidades
4
DERIVADA DE UNA FUNCION:
Límite del cociente incremental cuando el incremento
de la variable independiente t(= t) tiende a cero.
y=f(x)=2x2 +3x
y+ y=f(x+ x)=2(x+ x)2+3(x+ x)= 2(x2+2x x+
x2)+3x+3x
y= f(x)= 2x2+4x x+2 x2+3x+3x- 2x2 -3x= 4x
x+2 x2+ 3x
y/ x= 4x x+2 x2+ 3x/ x= 4x +2 x+ 3
La derivada será el límite anterior cuando el
incremento de la variable independiente (x)
tiende a cero.
f’(x)=lim 4x +2 x+ 3 = 4x+ 3
x tiende a 0
5
TEORIA GENERAL DEL INTERES:
 Las O.F. son discontinuas pero el devengamiento
de los intereses continuos.
 El capital es una función dependiente de la
variable independiente tiempo.
 Suponiendo que la función es continua se
trata de hallar una expresión genérica para todos
los regímenes de capitalización que permita
formular hipótesis de crecimiento.
6
ANALISIS DE LA FUNCION MONTO Y DE LA
TASA DE CRECIMIENTO DE LA MISMA
 El Monto es la suma de un Capital Inicial más los
Intereses que se generan en un determinado plazo.
Dado un Capital y una Tasa de interés el monto es una
función del tiempo (varía el tiempo y varía el monto).
 TASA DE INTERÉS: es el interés producido en una
unidad de tiempo por una unidad de capital.
 TASA INSTANTÁNEA DE INTERÉS: es el interés
producido en una unidad de tiempo por una unidad de
capital, en función del interés producido en un
instante, suponiendo que el interés para cada instante
permanece constante en todo el período.
 Un instante equivale a decir que el incremento de la
variable tiempo es tan pequeño que tiende a 0 y que la
tasa de interés no es otra cosa que la relación de
crecimiento de la variable dependiente (Monto)
respecto de la variable independiente (tiempo), todo
lo cual nos lleva al concepto de derivada de la función
monto.
7
8
DERIVADA DE LA
FUNCION MONTO
Para un tiempo genérico t el monto será :
f(t)
(capital inicial del período)
Para un tiempo incrementado t+t, el monto será :
f(t+t) (monto al final del período)
La diferencia entre ambos valores será el interés
producido en el intervalo t , o sea el incremento de la
función monto : f(t)
1) Incremento de la Función:
f(t) = f(t+t) - f(t)
Interés producido por el capital f(t), en el
intervalo de amplitud t .
9
2) Cociente Incremental: Interés producido
por el capital f(t) en una unidad de tiempo
f t
t

f t  t   f t 
t
3) Si dividimos por el capital f(t) nos queda:
 f (t )
t
.
1
f (t )

f (t   t )  f (t )
t
.
1
f (t )
Que es equivalente al Interés en una unidad
de tiempo por una unidad de capital, o sea la
tasa de interés.
10
TASA INSTANTANEA
requiere llevar al límite la expresión anterior, para el
incremento t igual a un instante, es decir
tendiendo a cero.
lim
 f (t )

1
t
f (t )
t  0
 lím
f (t   t )  f (t )
t
t  0

1
f (t )
Llamando (t) a la tasa instantánea, y utilizando los
símbolos indicados para expresar la derivada de una
función, queda:
11
TASA INSTANTANEA:
 f (t) 1
f (t   t)  f (t) 1
f t)
 (t)  lím
.
 lím


 t f (t)
t
f (t) f (t)
t  0
t  0
'
la derivada de la función dividida por la función, se puede
expresar en forma equivalente como la derivada del logaritmo
natural de la función.
 t 
f ' t 
f t

d ln f  t 
dt
12
EJEMPLOS:
 Monto a Interés Simple
f(t) = f(0) (1+ it)
 Valor Nominal en el Descuento
comercial
f(t) = f(0)/(1- i t)
 Monto a Interés compuesto
f(t) = f(0) (1+ i)^t
13
Tasa Instantánea en el Interés Simple:
 t 
f ' t 
f t

df  0  .  1  it 
dt

1
f t
La derivada de la función , donde f(0) es una constante y
(1+ it) es una función suma.
La derivada de una constante por una función es igual a la
constante por la derivada de la función.
La derivada de la función suma es igual a la suma de las
derivadas de los sumandos.
El primer sumando es la constante 1 y la derivada de una
constante es igual a 0. El segundo sumando es el producto de
la constante i por la variable t, e igual a i por la derivada de t.
La derivada de una variable en este caso t , es igual a 1,
resulta que la derivada de (1+it) = (0 + i.1) = i
14
Tasa Instantánea en el Interés Simple:
(t ) 
(t ) 
f ' t 

d f  0    1  it 
f t
f 0  i
dt
f  0  .  1  it 
 t 
i
1  it



1
f t

i
1  it
d ln  1  it 
dt
La tasa instantánea hallada indica que con el método del
interés simple, el monto crece a tasa decreciente en
relación con el tiempo.
15
Tasa Instantánea en el Descuento Comercial:
(t ) 
f 't 
d

f (t )
(t ) 
 t 
f (0)
1  it

dt
f ( 0 )  (1  it )
 i  f (0)
1 
it 
i

1
f (0)
(1  it )
(1  it )
i
 d ln  1  it  
 


dt


1
16
Tasa Instantánea en el Interés Compuesto
 t 
f ' t 
f t

df  0   1  i 
t
dt
La derivada de - donde f(0) es una constante y (1+i)t es
la función exponencial - es igual a f(0)(1+i)t por el
logaritmo natural de (1+i)
 (t ) 
df (0).(1  i )
dt
t
f (0)(1  i ) . ln(1  i )
t

f (0)(1  i )
t
 (t )  ln(1  i )
17
Tasa Instantánea en el Interés Compuesto
 (t) no está en función del tiempo, lo
cual indica que el monto, cuando se
aplica el método de interés
compuesto, crece a una tasa
constante en relación con el tiempo.
18
FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO
P a rtie n d o d e la fó rm u la :
f '  t  d ln f  t 
 t 

f t
dt
q u e re m o s lle g a r a la fó rm u la g e n e ra l d e f(t)
P a ra e llo d e b e m o s in te g ra r d ic h a fó rm u la .
t
t
   t  .d t   d ln f  t 
0
t
  (t ) d t
0
0
 ln
f t
f 0
19
FORMULA GENERAL DE LA FUNCION MONTO
t
e
0  ( t )dt

f (t )
f (0)
t
f
t
 f
 0  .e
   t dt
0
t
   t   dt
0
f
t
 f
 
0 e
t
t
20
Factor logarítmico de capitalización:
Hipótesis sobre la ley de variación. Condición
General.
 Estableciendo leyes de variaciones para el factor
logarítmico de capitalización se pueden lograr
expresiones particulares que correspondan a cada
régimen de capitalización o forma de crecimiento.
 Se excluyen las hipótesis que NO anulen en valor del
factor para t=0.El capital inicial debe ser igual a si
mismo.
(t)
: f (t )  f (0)  e
si  (0)  0
(0)
f (0)  f (0)  e
 f (0)
Pues siendo
21
APLICACIONES DE LA CAPITALIZACION CONTINUA
EN OPERACIONES SIMPLES
1.1. MONTO EN OPERACIONES A INTERES SIMPLE:
a) En el Campo Continuo (tasa instantánea es igual a i/(1+i))
t
f (t )  f (0 )e
i
 1  it d t
o
 f (0 )e
ln ( 1  it )
Si tenemos un capital de $ 50.000 colocado al 8% anual a 90 días:
f(t) =5000*2,7182818^ln(1+0,08*90/365)= 5.098,63
Igual resultado se obtiene hallando previamente la tasa
efectiva=0,08244372 anual, con la fórmula del Monto a Interés
Compuesto.
22
b) En el campo discreto M=C(1+in)
M=5000(1+0,08*90/365)=5.098,63
2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTO
a) En el campo continuo
t
 ln (1  i )d t
ln (1  i ) t
f (t )  f (o )e
 f (o )e
f (t )  5000 * 2, 7182818 ^ ln(1  0, 08 * 30 / 365 ) * 3
f (t )  5.099, 280084
0
23
2) EN OPERACIONES A INTERES COMPUESTO
a) En el campo discreto
C n  Cc 1  i 
n
c o n c a p ita liza c io ne s c a d a 30d ía s:
C n  5000(1  0, 08 * 30 / 365)  5.099, 280084
3
V e rific a c ió n c a lc ula nd o
 n log(1  i ) t
f (0)  f (t ) e
 ln (1  0.08* 30 / 365 )* 3
f (0)  5099, 280084 * 2, 7182818
f (0)  5000
24
OPERACIONES FINANCIERAS COMPLEJAS
EN EL CAMPO CONTINUO
La valuación de un flujo de fondos -constante o variable- en
el campo contínuo, se realiza siguiendo el mismo criterio
aplicado al campo discreto. La diferencia radica en los
factores de capitalización y actualización que serán:
e
ln(1  i)t
y
e
 ln(1  i)t
25
1.- Valor Final de rentas vencidas en general
S  C 1e
ln(1  i )( t  1 )
ht
S
C e
 C 2e
ln(1  i )( t  2 )
 ......  C t  1 e
ln(1  i ).1
 C te
ln(1  i ).0
ln(1  i )( t  h )
h
h 1
26
2.- Valor Final de rentas constantes
vencidas a interés compuesto
ln (1  i )( t  1 )
ln (1  i )( t  2 )
ln (1  i ).1
ln (1  i ).0
S  C .e
 C .e
 ........  C .e
 C .e
ln (1  i )( t  1 )
ln (1  i )( t  2 )
ln (1  i ).1
ln (1  i ).0
S  C .(e
e
 ........  e
e
)
ln (1  i ).1
ln (1  i )( t  3 )
ln (1  i )( t  2 )
ln (1  i )( t  1 )
S  C .(1  e
 ........  e
e
e
)
ln(1  i)
p ro g re sió n g e o m é tric a d e ra zó n : e
ln (1  i ) t
e
1
ln (1  i )
S  C ln (1  i )
p e ro e
 1 i
e
1
ln  1  i  t
ln  1  i  t
e
1
e
1
SC
C
1 i1
i
27
3.- Valor Final de Rentas Variables
en Progresión Aritmética
Sc
SC
e
ln(1  i)t
e
ln(1  i ) t
i
SC
e
ln(1  i ) t
i
SC
e
SC
ln(1  i ) t
i
1
1
e
(
i
1 r
 (e
i
1


r
re
i
i
ln(1  i ) t
1
re
i
r
i
e
ln(1  i)(t  1)
i
 ....  r
e
ln(1  i)2
1
i
r
ln(1  i )( t  1 )
e
ln(1  i )( t  2 )
 .....  e
ln(1  i ) 2
e
ln(1  i )  1
ln(1  i )( t  1 )
e
ln(1  i )( t  2 )
 .....  e
l n(1  i ) 2
e
ln(1  i )
ln(1  i ) t
i

1
1

e
ln(1  i)
i
 (t  1)
1 t
)
)
r .t
i
r .t
i
28
1
4.- Valor Final de Rentas
Variables en Progresión Geométrica
S  C1
S  C1
q
n
 (1  i )
n
q  (1  i )
ln  1  i  . t
t
q  e
q  1  i 
29
Descargar

Diapositiva 1 - Franja Morada