UPC
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Laureate International Universities*
TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112
EPE-SISTEMAS
Derivada de una función.
Aplicaciones
1
Habilidades:
. Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de
una función.
. Determinar los puntos críticos de una función.
. Determinar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo cerrado.
. Describir el concepto de punto de inflexión de
una gráfica.
. Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
. Resolver problemas de máximos y mínimos de
una función en una variable.
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de
una curva a la pendiente de la
recta que mas se asemeja (ajusta)
a la curva.
¿y cuál es esta recta?
y
f ( x0 + h)
f ( x0 )
x0
x0 + h
x
y
f ( x0 + h)
f ( x0 )
x0
x0 + h
x
y
f ( x0 + h)
f ( x0 )
x0
x0 + h
x
y
f ( x0 + h)
f ( x0 )
x0
x0 + h
x
y
f ( x0f+( xh0))
x0 + hx0
x
y
f ( x0f+( xh0))
h  0  Tangente
x0 x+0h
x
Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x)
en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el
punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y
el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada
de la función f en el punto x=a
De allí que podemos definir la función derivada
Función Derivada
La derivada de una función f con respecto a la variable
x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:
f ' ( x )  Lim
h 0
f ( x + h)  f ( x)
h
REGLAS DE DERIVACIÓN
1. Sea f(x) = k, k   entonces:
f x   0
2. Sea f(x) = x, entonces:
f x   1
D x (c) = 0
3. Sea f(x) = xn, n   entonces:
f x   nx
n 1
4. Si f es derivable y c constante, se
tiene:

cf x 
 cf  x 
Reglas de Derivación
5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:

af x  + bg x 
 a f x  + b g x 
6. Si f y g son funciones derivables,
entonces la derivada del producto es:

 f x  g x 
 f x   g x  + f x   g x 
Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y g (x)
no es cero, entonces la derivada del
cociente es:

 f ( x) 
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)

 
2
g ( x)
 g ( x) 
8. Si f ( x)  g ( x) y n   , entonces la regla
de la cadena se define por:
n
f ( x)  ng ( x)
n 1
g ( x)
Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG.
Derivada de funciones exponenciales
i) f ( x)  e x ;
ii) f ( x)  e g  x  ;
f ( x)  e
x
f ( x)  e
g x
g x 
Derivada de funciones logarítmicas
i) f ( x )  ln x ;
f ( x ) 
ii) f ( x)  ln g x ;
1
x
f ( x) 
1
g ( x)
g ( x)
Derivada de funciones Trigonométricas
i) f ( x )  Sen ( u ( x ))
ii) f ( x )  Cos ( u ( x ))
,
,
f ´( x )  Cos ( u ( x )). u ´( x )
f ´( x )   Sen ( u ( x )). u ´( x )
LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES
Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto mínimo en D si:
f (a )  f ( x)
 x D
Al valor f(a) se le llama mínimo de la función
f(x) en D
Ejemplo: f(x)=x2-4x+5
Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto máximo en D si:
f (a )  f ( x)
 x D
Al valor f(a) se le llama máximo de la función
f(x) en D
Ejemplo: f(x)=4x-x2+2
•Llamamos punto extremo en D si es
punto máximo o mínimo
•Llamamos valor extremo de la
función al valor máximo o mínimo de
dicha función.
OBSERVACIÓN:
•Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo
•Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o
mínimo de dicha función.
TEOREMA
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces
f ’(c) = 0
PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se
llama número crítico o punto crítico
de f si f ’(c) = 0.
Ejemplo: Determinar el
punto crítico de:
f ( x)  x  3x + 1
3
2
Procedimiento para determinar los máximos o
mínimos de una función continua f en [a, b]
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el
máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el
mínimo absoluto.
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo
absolutos de:
f ( x)  x  3x + 1
3
2
en
 1 
 ;4
 2 


TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a;b), entonces:
1. Si f ’(x)> 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]
2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente DECRECIENTE en [a;b]
Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento
y decrecimiento de:
f ( x)  x  6 x + 9 x + 1
3
2
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es
derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de
f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
entonces c es un punto de MÍNIMO local de f
Ejemplo:
Determinar los valores extremos locales de:
f ( x)  x  6 x + 9 x + 1
3
2
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
1. Si f ’’(c)> 0
la gráfica de f es cóncava hacia
arriba
+
2. Si f ’’(c) < 0
-
en x = c
la gráfica de f es cóncava hacia
abajo en x = c
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0
entonces:
1.Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo
local.
2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local
PUNTO DE INFLEXIÓN
La gráfica de f tiene en el punto
(c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el punto
3 La concavidad cambia de
sentido en c
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS
PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es
cero o no existe
ii) Verificar si cada uno de estos
puntos es de inflexión. Esto es:
• Si f es continua
• Si la derivada existe o tiene
límite infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo
Ejemplo:
Determinar:
a) Intervalos de concavidad.
b) Puntos de inflexión
c) Trazar la gráfica de f
Para:
f ( x)  x  6 x + 9 x + 1
3
2