PROBLEMAS CON CONDICIONES
3ª Sesión (Jueves 14 de abril)
PROBLEMAS CON CONDICIONES

Existen dos tipos de problemas:

1.) Cálculo de una función con condiciones:
Calcular los coeficientes de una función, para que
esta tenga:
-
El máximo o el mínimo en un punto dado P(x,y)
 - El punto de inflexión en Q(x,y).

2.) Cálculo de una función a partir de las
gráficas de las derivadas.
PROBLEMAS CON CONDICIONES


1.) Cálculo de una función con condiciones:
- Nos deben dar la ecuación general de la función o decir el
tipo de función.
f ( x)  ax3  bx2  cx  d

Para hallar los coeficientes de la función general, se
necesitan tantas ecuaciones como incógnitas tengan la
función general. Estas ecuaciones vienen dadas por:
-


- Máximos o mínimos relativos – Nos da la información de la Primera derivada .
- Puntos de inflexión- Nos da la información de la segunda derivada.
PROBLEMAS CON CONDICIONES


Ejemplo 1:
- Calcular el valor de a y b para que la función: f ( x)   x3  ax2  bx
tenga un mínimo relativo en el punto P(1,-4).
Pasa por P(1,4)
Mínimo en x=1
f (1)  (1)3  a  (1)2  b  (1)  4  a  b  3
f ' ( x)  3  x 2  2  ax  b  x
f ' (1)  3 12  2  a  b 1  0  2a  b  3
Resolver el sistema
a  b  3 ( F 2 F1) a  b  3

 
  6  b  3  b  9
2a  b  3
a6

PROBLEMAS CON CONDICIONES

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Ejemplo 2
- Calcular el valor de a y b para que la función:
tenga un punto de inflexión P(1,-1).
f ( x)  ax4  bx3
PROBLEMAS CON CONDICIONES


Ejemplo 3:
- Calcular el valor de a y b para que la función:
tenga un punto de máximo relativo en P(3,4).
f ( x)  ax3  bx2  5
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
2.) Definir algunas características de una función:

A partir de la gráfica de la 1ª derivada:





- La monotonía.
- La pendiente de la recta tangente en un punto.
- Máximos o mínimos relativos.
- Hacer una representación aproximada de la función.
A partir de la gráfica de la 2ª derivada.



- La curvatura
- Puntos de inflexión.
- Hacer una representación aproximada de la función.
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
Ejemplo 4:

Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta siguiente:
- Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)

Crece: (,1)
Monotonía
Decrece: (1,)

Máximos o
mínimos
En x=1
Función 1ª
derivada
Recta
Función
Cuadrática
(Parabola)
MÁXIMO
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
Ejemplo 4:
2
La función solución es una parábola: f ( x)  a  x  b  x  c
2
- Al pasar por el origen (0,0): f (0)  a  0  b  0  c  0  c  0
- La Primera derivada: f ' ( x)  2a  x  b
- Máximo en x=1: f ' (1)  2  a 1  b  0  b  2  a
f ' ' ( x)  2a  0  a  0
-La segunda derivada < 0:

2
FUNCIÓN SOLUCIÓN: f ( x)  a  x  2  a  x  a  (,0)





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
Ejemplo 5:

Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta siguiente:
- Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)

Crece:
Monotonía
Decrece:
Máximos o
mínimos
Función 1ª
derivada

Función
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