Tema:
Derivada direccional
y gradiente de una función
de dos variables
DERIVADAS DIRECCIONALES
z
y
x

u
( x, y )
Interpretación geométrica
de derivada direccional
http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml
Definición: La derivada direccional
de f en la dirección dada por el vector
unitario u está dada por:
D  f(x, y)  lim
u
h0
f ( x  hu 1 , y  hu 2 ) - f(x, y)
h
si el límite existe.
Teorema: Si f tiene sus primeras
derivadas parciales continuas entonces
tiene derivada direccional en la dirección
de cualquier vector unitario u y:
D  f(x, y)  f x (x, y) u 1  f y (x, y) u 2
u
Hallar la derivada direccional de f(x,y)
= x2-xy+y en la dirección del vector v
= (1,2).
D  f ( x , y )  ( 2 x  y ,  x  1) 
1
5
u

 y2
5
(1, 2 )
GRADIENTE

z

 f ( x, y )  f x ( x, y ) i  f y ( x, y ) j

y
 f ( x, y )
( x, y )
x

Derivada direccional en términos del 


D f ( x, y )   f ( x, y )  u
u
: Sea f ( x , y )  x  y
2
Ejemplo
2

a)Encuentr
e  f ( 2 , 2 ) y represénte lo
geométrica
mente.
b)Halle
D  f ( 2 , 2 ) en la dirección
u
P(2,2) a Q(3,2)
de
Teorema
a) El valor máximo de Du f(x0,y0)
se
alcanza en la dirección f(x0,y0).
b) La tasa máxima de crecimiento
de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.
Corolario
a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se
alcanza en la dirección de - f(x0,y0)
b) La tasa mínima de crecimiento de
f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .
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