Introducción
¿Qué es una ecuación diferencial?
 Toda ecuación que establece la dependencia
de una variable respecto a otra u otras
mediante derivadas es una ecuación
diferencial
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura
del ambiente Ta
dT
dt
 K (T a  T )
Donde K es el coeficiente dde transmisión de
calor que depende del material
Clasificación General
EDO de primer orden.- La forma general es
F(x,y,y’)=0
A la forma
y’=f(x,y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
También aparecen en la forma:
dy
 fx , y 
dx
Solución de una ED
La Solución General, también llamada integral
general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la
función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.
Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones y  
son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).
2cx  c
2
La solución general es en realidad una familia de
funciones parametrizadas por la constante desconocida
c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene
una Solución Particular de la ED
Solución de una ED
 Tarea: a)
Para el ejemplo (2). Verificar que la
solución general de la ED es:
T ( t )  T a  (T 0  T a ) e
 Kt
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse
una taza de café hirviendo si la temperatura
ambiente es de Ta=15°C ?
Métodos de Solución Analítica
 NO existe un método general para resolver ED’s, es
decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un
procedimiento para hallar su solución analítica.
 Sin embargo, en algunos casos particulares bien
identificados sí se tienen procedimientos para calcular
dicha solución.
Métodos de Solución Analítica
 El único método entonces consiste en saber
Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
 Si es un caso conocido.
procedimiento correspondiente
Aplicar
el
 Si no es un caso conocido, intentar algún
cambio de variable que la transforme en un
caso conocido
Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución
es reescribir la ecuación como una ecuación de
variables separadas:
f ( y ) dy  g ( x ) dx
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es
una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

y
y0
f ( y ) dy 

x
x0
g ( x ) dx
Separación de variables
La ED de la forma
f 1 ( y ) g 1 ( x ) dx  f 2 ( y ) g 2 ( x ) dy
Se denomina ED de variables separables, ya que es
inmediata su reescritura como una ED con variables
separadas:
f2 ( y)
f1 ( y )
dy 
g1 ( x )
g 2 ( x)
dx
Separación de variables
dy
dx
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
integrando
y
Reescribiendo
2
2

x
2
2
x2+y2 = c2
 c1

x
y.
ED Lineales de 1er orden
Las ED de la forma
dy
dx
 p( x ) y  q  x 
Se denominan ED Lineales.
Se resuelven usando variación de la constante c de la
solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,
y ( x )  c ( x )e
donde
c( x ) 

q ( x )e


p ( x ) dx

p ( x ) dx
dx  c 1
ED Lineales de 1er orden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
dv(t )
dt
1

1
v(t ) 
RC
RC
Vs (t )
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su
solución es
t

dt

Donde
v( t )  c( t )e

1
RC
 c( t )e
RC
t
c( t )  
1
RC
Vs ( t )e RC dt  c1
t
Si Vs(t)=1, se obtiene: c( t )  e RC  c1
t
Por lo tanto

v( t )  1  c1e
RC
ED exactas
La ecuación de la forma M ( x , y )dx  N ( x , y )dy  0
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
M ( x, y ) 
u( x , y )
x
M ( x , y )
y
,N ( x, y ) 

N ( x , y )
x
u( x , y )
y
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M
respecto a x: u ( x , y )  M ( x , y )dx  c ( y )

y se puede determinar c(y) derivando
ED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
( x  y  1 )dx  ( x  y  3 )dy  0
2
( x  y  1)
Es exacta puesto que
y
( x  y  3)
2

x
Integrando respecto a x u ( x, y)   ( x  y  1)dx  c( y)
Es decir, u( x, y)  x2  xy  x  c( y)
Derivando respecto a y u  x  c' ( y)  x  y 2  3
2
y
De donde c( y )   ( y 2  3)dy  c1
Finalmente la solución general es
u ( x, y ) 
2
x
2
 xy  x 
y
3
3
 3 y  c2
Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo: ¿Son ED exactas?
y ' 2 y  x  2 x
2
f 1 ( x ) g 1 ( y ) dx  f 2 ( x ) g 2 ( y ) dy  0
( x  xy ) dx  ( x y  y ) dy  0
3
2
3
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