Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones
diferenciales.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
1. Reconoce una ecuación diferencial de la forma
y’= f(x,y).
Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación
diferencial.
3. Obtiene la solución de una ecuación diferencial.
4. Describe mediante una ecuación diferencial la
Interpretación de modelos.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Definición
Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una función
desconocida y una o más de sus derivadas.
El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente
a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.
Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si
ésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas en
ella, para todos los valores de x en algún intervalo I.
Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones
posibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.
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Ecuaciones diferenciales
Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución de
una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial,
y(x0) = y0.
Forma general
La forma general de una ecuación diferencial de primer orden
es:
y'  f  x, y 
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Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones de variables separables
Una ecuación diferencial de variables separables es una
ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para
dy/dx se puede factorizar como:
dy
dx
 f  x g y 
o también como:
dy
dx

f x 
g y 
si g(y)
 0.
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Ecuaciones diferenciales
Resolución de ecuaciones separables
Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:
1
g y 
dy  f  x dx
o también como:
g y dy  f  x dx
si g(y)
 0.
según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el
miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.
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Ecuaciones diferenciales
Crecimiento poblacional
Se considera que en condiciones de ambiente y suministro
alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una
población es proporcional al tamaño presente de dicha
población. Sea A la población inicial.
Ecuación diferencial que modela:
dy
dt
 ky , k  0 , y (0)  A
Función de crecimiento poblacional:
y (t )  Ae
kt
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Ecuaciones diferenciales
Desintegración radiactiva
Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un
material radiactivo es proporcional a la masa presente de
dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.
Ecuación diferencial que modela:
dm
dt
 km , k  0 , m (0)  m 0
Función de desintegración radiactiva:
m (t )  m 0 e
kt
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Ecuaciones diferenciales
Trayectorias ortogonales
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que
interseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que
las rectas tangentes son mutuamente perpendiculares en cada punto
de intersección.
Familias de trayectorias
ortogonales
2
x y
2
c
xy  d
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Ecuaciones diferenciales
Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia están
representadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la
otra familia están representadas por y2’, luego:
y 1' y 2 '   1
Procedimiento
Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente
en términos de x e y. Reemplázela en la ecuación anterior y
luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la
ecuación diferencial que se obtiene.
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Ecuaciones diferenciales
Mezclas
Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad
fija V, lleno con una una solución completamente mezclada de una
una sustancia con una cantidad y0.
Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y
la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.
c
v
V
y0
v
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Ecuaciones diferenciales
Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instante
t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia
menos la razón a la cual se extrae:
dy
dt
 ( razón de entrada )  ( razón de salida )
Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x
(volumen por unidad de tiempo) = cv.
Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x
(volumen por unidad de tiempo) =
Ecuación diferencial que modela:
y (t ) 

 c 
v , y (0)  y 0

dt
V 

y (t )
V
v .
dy
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones lineales
Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse
en la forma:
dy
dx
 P ( x )y  Q ( x )
donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo I. Para
resolverla multiplicamos sus dos lados por el factor de
P ( x ) dx

integración I ( x )  e
e integramos ambos lados,
observando que el lado izquierdo es la derivada de un producto.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 9.1, 9.3, 9.4, 9.6
Ejercicios 9.1 pág 585:
1-12.
Ejercicios 9.3 pág 600:
1-18, 23-40.
Ejercicios 9.4 pág 610:
1-4, 8-15, 19, 20.
Ejercicios 9.6 pág 626:
1-4, 8-15, 19, 33, 34.
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