Factorización de polinomios
¿Por qué necesitamos
saber factorizar?
¿Cuáles de los siguientes polinomios están
factorizados?
1.
2.
3.
4.
5.
(x2-1)(x+2)
(x-2)(2x+3) + 1
3x+5
12(x2+9)(x-4)
(x3-5)
Polinomio primo o irreductible
• Es el que no se puede escribir como producto de dos o
más polinomios de grado mayor o igual a uno.
• De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12
• De segundo grado: x2+1 ; x2+x+1 ; x2-2x+5
Conclusión
• En general, son polinomios primos:
– Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la
forma
ax + b.
– Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma
ax2 + bx + c, de discriminante ( = b2 – 4ac) negativo.
Es decir, si ax2 + bx + c = 0 no tiene solución real.
Factorización de polinomios
• Factorizar un polinomio es el proceso mediante el
cual el polinomio se transforma en un producto de
polinomios primos, (factores primos).
FACTORIZACIÓN
x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)
MULTIPLICACIÓN
Métodos de factorización
Factor común
1. 3a2b2 – 6a2b = 3a2b(b – 2)
2.
(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =
(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =
(x–y-1) (4x+3y-2z)
Factor común polinomio
1.
2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =
2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =
2x(x – 1) - y(x - 1) + 2(x - 1) =
(x – 1)(2x - y + 2)
Factor común por agrupación de términos
x3 + x2 + x + 1 =
Forma 1
x3 + x2 + x + 1 =
Forma 2
x3 + x2 + x + 1 =
Forma 3
x3 + x2 + x + 1 =
Aspa simple:
P(x) = ax2m+bxmyn+cy2n
2x2 + 13xy – 15y2
2x
+15y
x
-1y
= (2x + 15y)(x - y)
15xy
-2xy
Reconstruir el proceso:
1
(x2 – 1)(x+2)
– 1) +
2 x(x2 – 1) + 2(x2-1)
2
x(x2
3
(x – 1)(x+1)(x+2) 1 (x2 – 1)(x+2)
4
2(x2-1)
4 x3 – x +2x2 - 2
x3 – x +2x2 - 2
3 (x – 1)(x+1)(x+2)
Forma Factorización Productos notables
•
•
•
•
•
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
2
2
2
(x
+
y)
x + 2xy + y =
x3 + y3 = (x + y)(x2 -xy+y2)
x3 – y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
x3 + 3x2y+3xy2 + y3= (x + y)3
Completando cuadrados
Recordemos el desarrollo del producto notable se
denomina trinomio cuadrado perfecto:
( a  b )  a  ( 2 )( a )( b )  b
2
2
Ejemplo 1:
•Cualquier trinomio de la forma
•Se puede escribir como un
trinomio cuadrado perfecto,
sumanando y restando un
mismo número
•Remplazando el trinomio por el
binomio al cuadrado, queda:
•Finalmente se factoriza como
una diferencia de cuadrados
x
2
2
 12 x  24
x  ( 2 )( x )( 6 )  6  6  24
2
2
2
( x  6 )  12
2
( x  6  2 3 )( x  6  2 3 )
Ejemplo 2.
P(x) = x2 + 5x + 1
1. Este coeficiente
se descompone
en el doble
producto de x
por 5/2
3. Factorice
el trinomio
cuadrado
perfecto
4. Factorice esta
diferencia de
cuadrados
2. Se sume y se
reste el cuadrado
de este número
2
2
5
5
5
 
 
 
2
 x  (2)   x        1
2
2
2
2
2
5

5
  x      1
2

2
2
5
21

x  
2
4

2
2
 21 
5


  x    

2
2




- 5  21 
- 5  21 




 x
x



2
2



Ejemplo 3
P(x) = 2x2 - 43x + 221
Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los
casos anteriores.
 2( x
2

43
x 
2
221
)
2
Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado
perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es
posible.
Nota:
= (x – 13)(2x -17)
Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y
simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto
quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.
Aplicaciones de factorización de polinomios:
Resolución de ecuaciones polinómicas
Procedimiento
Ecuación
Factorizar el polinomio
Igualar cada uno de los factores a
cero
Determinar los valores de x y
escribir el conjunto solución.
Ejemplo
x3 + 2x2 – x – 2 = 0
(x–1)(x+1)(x+2)=0
x–1=0 ó x+1=0
ó x+2=0
x =1 ó x =-1 ó x =-2
C.S. = 1; -1; -2
Reconstruir el proceso:
Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión.
Identifique el orden secuencial del proceso de factorización
1
(5x+4y)3 + [ 2(5x+4y)]2 + 3(5x+4y)
2
2
a3 + 4a2 + 3a
4
3
a (a+3) (a+1)
6
4
(5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1)
7
5
a (a2 +4a +3)
5
6
(5x+4y)3 + (10x +8y)2 + 15x + 12y
1
7
Haciendo a = 5x + 4y
3
Métodos de factorización
• Factor común (por agrupación de términos)
• Factorizar trinomios:
– Aspa simple.
– PN: (x+y)2 ; (x-y)2
– Completando cuadrados
• Factorizar binomios:
– PN: x2 - y2 ; x3 – y3 ; x3 + y3
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