Matemáticas I
Tema:
Factorización
Profesor: Ing. Juan Bosco Higuera López
Polinomio con un factor común
El factor común de una expresión es el número o literal (ó ambos) que están contenidos
exactamente en cada uno de los términos de una expresión algebraica. Es decir, que divide
exactamente a toda la expresión dando un residuo igual a cero.
El factor común se encuentra con el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de
todos los términos del polinomio, el cual será el coeficiente del factor común, cuya parte literal
esta formada por las literales comunes a todos los términos del polinomio, afectadas de los
menores exponentes
Factorizar un polinomio con un factor común. Es igual al factor común,
multiplicado por lo que resulta del polinomio al ser dividido entre dicho factor
común.
 ax  bx  cx 
 ax  bx  cx  
x

  x a  b  c

x
Factorizar el polinomio:
12a b  30a b  6 a 2 b 2
3
2
2
3
3
2
12a b
2
6a b
2


 2a
2
30 a b
2
6a b
3
2
 5b

Factorizar el polinomio:
3 6
2
2 2
21m n  28 m n  35 m n  7 m n
3
2 1m n
7mn
7mn
2
7mn
2

2

3m n
2
2
 4
2
35m n

6
2
28m n
2
2
 5m
Factorizar el polinomio:
20 x y  6 xy  12 x y  2 xy
2
3
4
3
5
3
10 x
3y
2
6 x y
2

Diferencia de cuadrados
a  b  a  ba  b
2
2
Factorizar una diferencia de cuadrados de cómo resultado dos binomios
conjugados, cuyo término común se encuentra extrayendo la raíz cuadrada
del minuendo y los dos términos simétricos se obtienen anteponiendo el
signo positivo ó negativo a la raíz cuadrada del substraendo
Factorizar : 16 x 2  9 y 2
16 x  9 y 
2
2



Raíz cuadrada del minuendo:
2
16 x  4 x
Raíz cuadrada del sustraendo: 9 y 2  3 y
25 x  36 y  
4

6

 6 6y y
5x 
2
3 3
2
81 x  64 y   9 x  8 x 2   9 x  8 x 
4
4
2
2
Trinomio cuadrado perfecto
Comprobar si es o no un trinomio cuadrado perfecto para lo cual se debe de
cumplir que: El primero términos del trinomio y el último sean cuadráticos,
y que‚ el término de en medio sea el doble producto de las raíces de los
términos cuadráticos
2
2
2
a  2 ab  b   a  b 
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es igual a elevar un binomio al
cuadrado, dónde los términos del binomio serán las raíces cuadradas de
los términos cuadráticos entrelazados con el signo del término del doble
producto
Factorizar :
2
x  8 x  16 
2


Raíz cuadrada del primer término:
x  x
2
Raíz cuadrada del tercer término: 16  4
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: 2  x   4   8 x
4 x  1 2 x  9 
2
2x
2

3
4 x  2 0 x  2 5   2 x
2

2
5

2
Trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab.
2
x   a  b  x  ab   x  a   x  b 
Factorizar un trinomio con un término cuadrático de la forma x2 + (a + b)x + ab,
es igual al producto de dos binomios que tienen un término común, cuyo
término común es la raíz cuadrada del término cuadrático y los otros términos
de los binomios serán dos números que multiplicados den el ultimo término (ab)
y que sumados den el coeficiente del término de en medio ó el coeficiente de x
Factorizar :
x  7 x  10 
2
x



n o tien e
Busquemos dos números que multiplicados den 10 y sumados 7
Factores de 10
10  1  10
5  2  10
x  12 x  20  
2
x
Suma de factores
10  1  11
 55  22 7


n o tien e
Busquemos dos números que multiplicados den 20 y sumados  12
Factores de 20
20  1  20
 20   1  20
4  5  20
 4   5  20
10  2  20
 10   2  20
Suma de factores
20  1  21
 20    1    21
459
4   5   9
10  2  12
10  
  22   12
 10
x  x  42 
2
x



n o tien e
Busquemos dos números que multiplicados den  42 y sumados  1
Factores de  42
42  1  42
42  1  42
21  2  42
21  2  42
6   7   42
 6  7   42
Suma de factores
42    1   41
42  1  41
21    2   19
 21  2   19
 66  77    1
6  7  1
Trinomio de la forma acx2 + (ad + bc)x + bd.
Cuando un trinomio no es trinomio cuadrado perfecto, ni trinomio con un término
cuadrático, entonces se trata de un trinomio de la forma: acx2 + (ad + bc )x + bd.
Su solución será el producto de dos binomios
Factorizar :
3x  x  2 
2



No tiene
Buscamos dos números que multiplicados den el primer termino del trinomio 3x2
Buscamos dos números que multiplicados den el tercer termino del trinomio 2
Multiplicamos cruzado
Si la suma algebraica de los productos obtenido da como resultado el termino del medio del trinomio. Entonces
es el resultado correcto
3x 
x2
2
3x
x
 2 2 2 x
1   3 x
x
2
Factorizar : 3 x  13 x  10
3 x  13 x  10 
2



No tiene
Buscamos dos números que multiplicados den el primer termino del trinomio 3x2
Buscamos dos números que multiplicados den el tercer termino del trinomio 2
Multiplicamos cruzado
Si la suma algebraica de los productos obtenido da como resultado el termino del medio del trinomio. Entonces
es el resultado correcto
3 x  13 x  10 
2
3x
x
5  5 x
2  6 x
 11x
3 x  13 x  10 
2
3x
x
N o es la solución
N o es la solución
2  2 x
 5   15 x
 17 x
3 x  13 x  10
2
3x
x
 10   10 x
1   3 x
 13 x
5 x  8 x  3   5 x  3   x  1
2
5x
x
3  3 x
1   5 x
8 x
18 x  19 xy  12 y 
2
2
4 y  1 2 xy
 3 y   1 8 xy
 6 xy
6x
3x
18 x  19 xy  12 y 
2
2
N o es la solución
6 xy
2y 
 6 y   3 6 xy
 3 0 xy
6x
3x
18 x  19 xy  12 y 
2
9x
2x
N o es la solución
2
N o es la solución
4y 
8 xy
 3 y   2 7 xy
 1 9 xy
18 x  19 xy  12 y 
2
9x
2x
2
9 x  4 y  2 x  3 y 
 4 y   8 xy
3 y  2 7 xy
1 9 xy
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