FACTORIZACION
Se llama factores o divisores, a las expresiones
algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como
producto la primera expresión.
Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir
de una expresión determinada se llama descomposición
factorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es el
proceso inverso de la multiplicación y la división, en
consecuencia de los productos y cocientes notables.
El proceso de encontrar factores, está dependiendo de
ciertas características que las expresiones algebraicas
presentan.
Existen diferentes formas de
factorizar polinomios, tales como:
1. Polinomios que tienen factores
comunes.
2. Binomios con diferencias de
cuadrados
3. Trinomios cuadrados perfectos
4. Trinomio de la forma ax2 + bx +
c
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS QUE
TIENEN FACTOR COMÚN
Un factor común está sobre la base de la ley distributiva
del producto sobre la suma.
La clave de la solución a estos ejercicios está en
encontrar dicho factor. En algunos polinomios es fácil y
en otros, se requiere de realizar procedimientos para
identificarlos. ejemplo:
En el polinomio:
ax + bx - 3x
El valor que se repite en todos los términos se denomina
factor común, y en este caso es “x”
Cuando se identifica el término común,
se escribe afuera de un paréntesis, y
dentro del paréntesis los cocientes de
dividir cada uno de los términos, entre el
factor común.
A) Cuando el polinomio tiene letras y/o números que se
repiten
Identificar las letras y números que se repiten, esto sera el factor
comun
Si éste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de
menor exponente. ejemplo:
m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor común es m2
Se escribe el factor común afuera un paréntesis, y dentro de éste,
se coloca el cociente de dividir cada uno de los términos de la
expresión original entre el factor común, identificado en el paso
anterior.
B) Cuando los términos del polinomio tienen coeficientes
que son divisibles entre si.
Se obtiene el máximo común divisor (M.C.D) de todos los
coeficientes de la expresión y este será parte del factor común
a encontrar. Cuando existen una o varias letras que son
comunes, entonces se toma la de menor exponente. ejemplos:
Factorar 5x2 – 10x3y + 30x4y2
El MCD de los coeficientes 5 – 10 – 30 es 5
5 10 30
5
1
2
6
luego, la parte literal que se repite es x2
Siempre se deberá tomar la letra que tiene el menor exponente
Asi que, el factor común es 5x2
Factorizar las expresiones:
1) x2 + x
2) 2x – 5x2
3
2
3
3) a b – 2a b
4)16x3 + 4x5 – 12x7
5) 96 – 48mn2 + 144n3
6) 14x2y3 – 28x3 + 56x4
7)10ab + 15a2b + 25ab2 – 5ab
C) Cuando en el polinomio se encuentran
otros polinomios que se repiten
Cuando se identifican polinomios agrupados que se
repiten, se consideran como si fueran una sola
expresión y se realizan los procedimientos descritos
anteriormente. Ejemplo:
Descomponer:
2x(n – 1) – 3y (n – 1).
Se puede observar que el factor común es (n – 1)
D) POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE
TÉRMINOS
Este tipo de polinomio presenta varios factores
comunes, por lo que se agrupan de acuerdo a los
factores comunes identificados en cada grupo. Ejemplo:
a) Factorizar ax + bx +ay + by
Se agrupan los términos que tienen factores comunes,
así:
(ax + bx) + (ay + by)
Se realiza el proceso de descomposición factorial de cada
una de las expresiones.
x (a + b) + y(a + b)
luego, se descomponen sacando el factor común de
nuevo
Respuesta: ( a + b) (x + y)
b) Factorizar
x(a + 1) - a - 1
Esta expresión equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1)
porque cuando se encierre en parentesis quedaria: x(a+1)
– (a-1) para cambiar el signo del 1 se cambia el signo de
afuera y despues el de adentro: x(a+1) -1 (a+1)
En este caso el factor común es:
(a + 1)
Entonces dividimos la expresión original entre este factor
común:
Por lo tanto, la respuesta será:
(x -1) ( a + 1)
Factorizar las expresiones:
1) 3x(x – 1) – 2y(x – 1) +2(x– 1)
2) x2(m – 1 - n) - (m – 1 - n )
3) 7a(x – y) + x – y
4) 4am3 – 12amn – m2 + 3n
5) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx
DIFERENCIA DE CUADRADOS
En los productos notables se pudo ver que la suma de
dos cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado
del minuendo menos el cuadrado del sustraendo
Siempre aparecerán dos términos que tienen raíces
cuadradas exactas, separadas por un signo menos.
El procedimiento para obtener la factorización de una
diferencia de cuadrados
es el siguiente:
Factorizar las expresiones
siguientes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
16 – x6
b8 – 49
1 – a4
25x2 – 36y2
8
4
4m – 121n
4 – (x – 2)2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es
el cuadrado de otra cantidad.
Así: a2 es un cuadrado perfecto porque es el
cuadrado de a, 9b2 es cuadrado perfecto por
que es el cuadrado de 3b.
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio,
se extrae la raíz de su coeficiente y se divide el
exponente de cada factor literal por 2.
Así, la raíz cuadrada de 16x4 es 4x2
Por productos notables sabemos que
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto
a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el
cuadrado de a + b
El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado
perfecto es:
Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2
Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto.
Se obtienen las raíces cuadradas del primero y tercer término
raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la raíz cuadrada de 4y2 es 2y
Se obtiene el doble del producto de las raíces obtenidas
anteriormente.
(2) (3x) (2y) = 12xy
Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x – 2y)2
Factorar las expresiones:
1. 4a2 – 20ab + 25b2
2. 9b2 – 30a2b + 25a4
3. 16x2 – 40 x2 y3
4. 25x2 + 20xy + 16y2
5. 4x2 + 8xy + 16y2
6. 16n2 + 16n + 4
7. 49y2 – 70y + 25
Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se
encuentra con otros términos, es decir, pueden no aparecer
tres términos, sino cuatro o más.
Considere las ilustraciones siguientes:
1) Factorizar: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy
SOLUCIÓN:
Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo dentro
de un paréntesis.
Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 – 36
Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) – 36
Descomponer el trinomio cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada de 4x2 es 2x
La raíz cuadrada de 25y2 es 5y
Luego 2(2x) (5y) = 20xy
Se verifica si el término independiente tiene raíz
cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el
ejercicio, pero si tiene raíz cuadrada exacta, se
realiza una diferencia de cuadrado.
(2x + 5y)2 – 36
Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados.
[(2x+5y)+6][(2x+5y)-6]
(2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta
2) Factorizar: a2 + 2ab + b2 - 1
Encuentra los factores del polinomio siguiente:
a2 + 2ab + b2 – 1
Se identifican el trinomio cuadrado perfecto
(a2 + 2ab + b2 ) – 1
Se factoriza el trinomio (a + b)2 – 1
Se factorizan las diferencias de cuadrados
(a + b + 1) (a + b - 1) respuesta
Factorar las expresiones
1) 9x2 + 25y2 – 30xy – 16
2) m2 + 2mn + n2 – 25
3) 9x2 – 30x + 36 – 81
4) y2 + 4y + 6 – 36
5) 4y2 – 20y + 25
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +c
Anteriormente se estudió en los productos
notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 +
12x + 30, en la misma forma se puede realizar
el procedimiento inverso así:
Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores
de 3x2 – 5x -2
son (x - 2) (3x + 5)
descomponer en sus factores el polinomio
3x2 - 5x - 2
El primer coeficiente se deberá multiplicar por cada uno de los
términos, dejando indicado el segundo término con el valor
que posee y en la misma forma se deberá dividir por el mismo
valor para no alterar la expresión.
Lógicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se
deberá hacer esta parte
3(3x - 5x - 2)
3
Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer término,
y dividiéndolo por el mismo factor
9x - 5(3x) - 6
3
se descompone en dos términos haciendo uso de paréntesis, escribiendo
en cada uno de ellos la raíz cuadrada del primer término.
(3x
) (3x
)
3
Se escribe el signo en cada paréntesis el cual se hace de la
manera siguiente:
a) El signo que le corresponde al primer paréntesis es el mismo
que tiene el segundo término del trinomio;
b) El signo correspondiente al segundo paréntesis es el resultado
de la
multiplicación de los signos del segundo y el tercer término del
trinomio.
Se escribe el segundo término de los paréntesis, de acuerdo a los dos
signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los
criterios siguientes:
a) Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma,
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto
del tercer término.
Estos dos números encontrados serán los segundos valores de los
binomios.
b) Si los signos son contrarios, se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del
trinomio y el producto sea igual al tercer término.
Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe
siempre el número mayor en el primer paréntesis.
Estos dos números encontrados, serán los segundos valores de
los binomios.
Como los signos que tienen los paréntesis son distintos, se
buscan dos números que multiplicados resulten 6 y restados
resulten 5
6x1=6 y 6-1=5
( 3x - 6 ) ( 3x + 1 )
3 * 1
Se obtiene el factor común del primer
paréntesis y se simplifican si es posible
1
3 (x - 2 ) (3x + 1 )
3
Luego:
3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)
Factorar las expresiones:
1) x2 + 7x + 10
2) 12 – 7m – 10m2
3) 2x2 + 3x – 2
4) m – 6 + 15m2
5) x2 + 3x – 10
6) c2 + 33 - 14c
7) 5x2 + 13x – 6
8) 18p2 - 13p - 5
9) c2 + 5c – 24
10) 20x2 + 7x - 6
Cuando tenemos una suma de cubos y queremos
factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos
cantidades y estas son colocadas en un paréntesis,
separadas por el mismo signo de la suma.
A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos
en el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos
la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo:
Factorizar
8m3 + n3
3
√
3
√
2m
n
=(2m+n)[(2m)2-(2m)(n)+(n)2]
=(2m+n)(4m2-2mn+n2)
Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos
factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos
cantidades y estas son colocadas en un paréntesis,
separadas por el mismo signo de la resta.
A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos
en el la primera cantidad elevada al cuadrado, más la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo:
Factorizar
8m3- 27n3
(2m)(3n)+(3b)2]
3
√
3
=(2m-3n)(4m2-6mn+9n2)
√
2m
=(2m-3n)[(2m)2-
3n
INDICACIONES: FACTORICE LOS POLINOMIOS
SIGUIENTES
14) 16b2 + 24bm + 9b2
1) 6x4y – 9x3y2 + 12x2y3
2) 5a2 – a
3) xz + xy – x2
4) x2 – 81
5) 6x2 – x – 2
6) (a + 1) (x + y) – (a + 1)
7) (x – y)2 - ax +ay
8) x3 + 2x2 +yx + 2y
9) (x – y)2 – 25
10) 7x2 + 31x - 20
11) a2 + 4a + 4
12) 10a2 + 29a + 21
13) x2 – 9y2
15) 1 + 18ab + 81a2b2
16) 8a2 – 22a – 21
17) 14√x – 3c – 5c2
18) (x + y)2 – z2
19) 4a2m + 12a2n – 5bm – 15bn
20) n4 + n2 + 1
21) a2 – x2 – a – x2
22) 5b2 + 7b + 2
23) n2 + n – 42
24) (6a – 3b) (a + b) + (6a – 3b) (5a
+10b)
25) 20 – x – x2
26) 81a2 – 4b2c8
27) 16 – (2a + b)2
28) ax – ay – bx + by
29) x2 + 14x + 49
30) ax + a – x - 1
31) 7x2 + 31x - 20
32) m4 + m2n2 + n4
33) 1 + 2x + x2 – y2
34) 25b2 + 90b + 81
35) x2 + 6x + 9
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