1
Objetivos:
Factorizar polinomios mediante las
técnicas de factorización.
Factor Común
Diferencia de Cuadrados
Diferencia o Adición de Cubos
Tanteo
Agrupación
2
Aclaración: La factorización es el
proceso que se utiliza para expresar
un polinomio como una multiplicación.
E jem plo:
x  9   x  3  x  3 
2
x  8   x  2  x  2 x  4 
3
2
Factores del polinomio
3
Factores Comunes
Un factor se dice que es factor común si es
un factor de todos los términos de un
polinómio. Esta técnica consiste en
encontrar los factores comunes entre todos
los términos del polinomio.
Ejemplos:
Factorice
1.
cada polinomio
:
4 x y  10 x y  18 xy 
3
2
2
3
 2 xy
 2x
2
y
 5x 
9y
2

4
2 . 4 x  36 xy 
3. 2 x  6 x 
3
4 x 1
2x

9 y
 x  3
2
4 . 3 x  x  2   4  x  2    x  2  3 x  4 
5
Ejemplo:
Simplifique mediante factorización:
7 3x  5
 3x  5
 3x  5
 x  3
4
4
4
2
 5 3x  5
5
 x  3 
 x  3   7  x  3   5  3 x  5  
 x  3 7 x  21  15 x  25
 3x  5
4
 x  3  22 x  4 
6
Ejemplo:
Simplifique mediante factorización:
1
 5 x  1 3  4 x  3 
  5 x  1
1
  5 x  1
1
3
  5 x  1
3
1
3
5
  5 x  1
4
 4 x  3
1
 4 x  3
1
4
 4 x  3
4
1
4
4
3
 4x  3



 4 x  3
4
4
1
4

  5 x  1
3
3


  4 x  3    5 x  1  
 4 x  3  5 x  1
7
  5 x  1
1
  5 x  1
1
 4 x  3  4  4 x  3  5 x  1
1
3
   5 x  1
3
 4 x  3
1
3
1
 4 x  3
4
x  2
1
4
 x  2
8
Diferencias de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es un binomio de
la forma a 2 – b 2.
La factorización de una diferencia de
cuadrados es a 2 – b 2 =(a + b)(a –b).
Esta técnica se aplica a polinomios que
cumplan con los siguientes requisitos:
Que el polinomio sea un binomio.
La operación es resta.
Los términos se pueden escribir como
cuadrados.
9
Ejemplos:
Factorice completamente:
x
1. x  36 
2

 6  x  6
2. 16 y  9  4 y
2
3.
25 x 
2
1
9


 3 4 y  3 
5 x 
1
3
 5 x  3 
1
10
4.
49
25
5.
y  64 
2
 5 y  8  5 y  8 
7
16  ( z  5)
2
7



 4   z  5  4 z  5 
 4  z  5 4 
z5

  z  9   z  1
   z  9   z 1
11
La suma y la diferencia de cubos
Una diferencia de cubos es un binomio de la
forma a3 – b3 .
La factorización de una diferencia de cubos es;
a3 – b3 =(a – b)(a2 +ab + b2)
Una suma de cubos es un binomio de la forma
a3 + b 3 .
La factorización de una suma de cubos es;
a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2)
Para aplicar esta técnica el polinomio debe:
Ser un binomio con términos cúbicos
La operación puede ser suma o resta
12
Ejemplos:
Factorice completamente
1.
x  8  x  2  x  2 x  4 
2.
y  27   y  3   y  3 y  9 
3
3
2
2
13



y  16 x 2 4 xy
3.
64 x  y  4 x
4.
4x  4x 4x x  1
3
3

7




6
  x  1
4x x  1
3
y
2
3
2
2


4 x  x 1  x  x  1  x 1 x  x  1 
14
El método de Tanteo para trinomios
cuadráticos
Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe;
1. Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en
forma descendente o ascendente de acuerdo
a los exponentes.
2. No ser un polinomio primo.
La técnica consiste en encontrar factores del
primer término y el último término que
combinados bajo suma o resta produzcan el
término del medio.
Si el primer y el último término tienen signos
iguales la combinación de los factores se suma,
15
si son diferentes se resta.
Ejemplo:
Factorice completamente
1.
2.
x  3 x  2   x  2   x  1
2
x  x  12 
2
x 
4x  3
16
3.
6 x  5 x  1   3 x  12 x
4.
20 x  7 x y  6 y
2
4

5 x
2
2
2y 
2
2
4 x
2

1

4
3 y
2

17
El método de agrupación
Generalmente esta técnica se aplica cuando el
polinomio tiene cuatro términos o más.
Se utiliza en combinación con las otras
técnicas especialmente con la de factores
comunes.
18
Ejemplo:
Factorice completamente
1.
3 x  2 x  12 x  8 
3
 3 x
2
3
 2x
    12 x  8 
2
 3x  2   4 3x
x  4
3
x



2


x
2
 2
2
19
  3 x  2  x
2
 4
 3 x  2  x  2  x  2 
20
2. 12 x z  8 y z  15 x w  10 y w
2

12 x
2
2
2
z8y z
2
    15 x
2
2
w  10 y w
2

 4 z 3 x  2 y   5w  3 x  2 y 
2
 3 x
2
 2y
2
2
2
 4 z
 5w
2

21
3.
6 ax  3 ay  2 bx  by
 6 ax  3 ay   2 bx  by 



y
2
x



y

b
2
x
3a 


3
a



2
x

y
b

22
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