Oaaaaaaaaa!! Bienvenidos al mundo de la factorizacion… somos
los teletubbies y te acompañaremos en esta tarea de aprender
a factorizar buena suerte y adelante!!!
Algo de historia:
Los primeros vestigios del desarrollo de la ciencia
matemática se encuentran 5000-500 AC en Egipto.
Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides son algunos de los
matemáticos que fueron dando realce al estudio de la
matemática. Establecieron un método riguroso para la
demostración geométrica e hicieron del número el
principio universal por excelencia.
Métodos para factorizar un polinomio
Antes de comenzar debes tener en claro que la
factorización lo que se busca es expresar una o varias
cantidades como el producto de dos o más factores,
dando la posibilidad de factorizar de diferentes
formas expresiones algebraicas denominando a este
proceso casos de factorización.
Pero … ¿Qué es factorizar?
En pocas palabras, la factorización de expresiones
algebraicas consiste en buscar el origen de las
mismas, en descomponerlas.
Casos de Factorización
Subsecciones :
1.- Factor Común
2.- Factor Común por agrupación de términos
3.- Casos para Trinomios
4.- Diferencia de cuadrados
5.- Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción
6.- Trinomio cuadrado de la forma
7.- Trinomio cuadrado de la forma
8.- Cubo perfecto de Binomios
9.- Suma o Diferencia de Cubos perfectos
10.- Suma o Diferencia de dos potencias iguales
11.- Casos para Polinomios
12.- Relación con la Geometría.
12.- Prueba de diagnostico: I parte
13.- Prueba diagnostico: II parte
Factor Común
Explicación:
Este es el primer caso y se emplea para factorizar
una expresión en la cual todos los términos tienen algo
en común (puede ser un número, una letra, o la
combinación de los dos).
Factor común monomio: Es el factor que está
presente en cada término del polinomio :
Ejemplo:
Casos de factorización.
Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece
en cada término de la expresión :
Ejemplos:
2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
3x(2z - 5z) + x (2z – 5z) = 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z)
= (2z – 5z) (3x + x)
mnx + mny - mnz = mnx + mny – mnz
= mn (x + y – z)
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
Factor común monomio:
12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4=
3
8
x y 
2
4
1
xy

2
9
1
a b 
2
3
2
4
a b
2
21
4
8
12
8
ab 
5
x y 
3
2
1
4
35
15
a b 
3
27
28
1
a b 
2
5
2
3
4
2
16
16
a b 
2
3
15
x y 
a b 
a b 
3
25
9
14
x y 
3
4
21
35
x y 
3
5
Factor común polinomio:
x2( p + q ) + y2( p + q )=
a(2 + x ) - ( 2 + x )=
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 )=
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 )=
Factor Común.
Factor Común por agrupación de
términos
Explicación:
Aquí utilizaremos el caso anterior:
adicionando que uniremos los factores que se
parezcan, es decir, los que tengan un factor común.
Ejemplos:
Casos de factorización.
3a + 5a + 3b + 5b = (3a + 5a) + (3b + 5b)
= a (3 + 5) + b (3 + 5)
= (a + b)(3 + 5)
2m – 5m + 2n – 5n = (2m – 5m) + (2n – 5n)
= m (2 – 5) + n (2 - 5)
= (m + n) (2 – 5)
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
6ab + 4a - 15b - 10 =
ac - a - bc + b + c2 - c =
a3 + a2 + a + 1 =
18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
15
4
x 
2
21
4
xz 
10
3
xy 
143
yz  5 x  7 z 
3
Factor Común por agrupación de términos.
Casos para Trinomios
Explicación:
Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los
trinomios que cumplen con las siguientes características:
El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y
son positivos.
El segundo término es igual a dos veces el producto de las
raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se
factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del
segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así:
Casos de factorización.
Ejemplos:
 x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
 9x2 + 42x + 49 = (3x + 7)2
 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2
Aquí tienes
algunos ejemplos
aclaratorios!!
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos ejercicios:
 25x2 + 55x + 121/4 =
 x2 + x + ¼ =
 a2 + 8a + 16 =
Vamos amigo trabaja
con todas las ganas!
 4b2 – 4b + 1 =
 z2 + 12z + 36 =
 25m2 + 18m + 81 =
 n2 + 14n + 49 =
Casos para Trinomios.
Diferencia de cuadrados
Explicación:
Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una
diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la
componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan
raíz cuadrada exacta.
Ejemplo:
Casos de factorización.
Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este
caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre
cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;
si n es par :
y
si n es impar :
se factoriza así: si n pertenece a z
si n es par :
si n es impar :
Ejemplos:
25 - 9 = (5 – 3) (5 + 3)
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
(7x – 9) (7x + 9) = 49x – 81
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
36m2n2 - 25 =
121x2 - 144k2 =
3x2 - 12 =
9
a
2

25
1
25
49
b
2

36
x
4

9
y
4

16
5 - 180f2 =
Diferencia de cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto por adición
o sustracción
Explicación:
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o
trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio
cuadrado perfecto.
Ejercicio:
Casos de factorización.
Resolviéndolo nos queda:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
Ejemplos:


16m2 – 40mn + 25n2 = (4m – 5n)2
(4m )( 2) ( 5n) = 40 mn
 4b2 + 4b + 1 = (2b + 1)2

(2b) (2) ( 1) = 4b
 1 + 6x + 9x2 = (1 + 3x)2

(1)
( 2 ) (3x) = 6x
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos ejercicios:
1. x2 + 6x + 9 =
2. 16x2 + 8x + 1 =
3. y2 + 10y + 25 =
4. 81y2 - 180y + 100 =
5. 81z2+ 108zw + 36w2 =
6. 49x2 + 112x + 64 =
7. 4y2 - 24y + 36 =
Trinomio cuadrado perfecto por
adición o sustracción.
Trinomio cuadrado de la forma
Explicación:
Este trinomio debe cumplir con las siguientes
características:
Debe estar organizado de forma correspondiente
(es decir, debe coincidir con la formula).
El primer término debe ser positivo y tener raíz
cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo
término debe ser la raíz cuadrada del término
número uno.
Casos de factorización.
 Existen dos números que :
es decir:
Ejemplos:
1. x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2)
 4x2=8
Multiplicados dan 8
 4+2=6
Sumados dan 6
1. x2 – 11x – 26 = (x – 13) (x + 2)
 -13 x 2 = -26
Multiplicados dan -26
 -13 + 2= -11
Sumados dan -11
1. x2 -17x + 30 = (x – 15) (x – 2)
 -15 x -2 = 30
Multiplicados dan 30
 -15 + -2 = -17
Sumados dan -17
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
1. x2 + 12x + 6 =
2. a2 – 24a + 15 =
3. f2 – 15f + 18=
4. x2 + 6x +5=
5. r2 – 12r +27=
6. m2 + 19m + 48=
7. w2 + 20w – 6=
Trinomio cuadrado de la forma:
Trinomio cuadrado de la forma
Explicación:
Debe cumplir con las siguientes características:
Debe estar organizado de forma correspondiente
(es decir, debe coincidir con la fórmula).
El primer término debe ser positivo, tener un
coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe
tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo
término debe ser la raíz cuadrada del término
número uno.
Casos de factorización.
Cumpliendo con todas las características anteriores
se procede a factorizar transformando el trinomio
dado en uno de la forma
De la siguiente forma:
luego se procede a multiplicar y dividir por la variable
que acompaña al primer término (esto con el fin de no
alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
y se opera, dando como resultado:
y de esta forma nos queda como un trinomio de la
forma anterior.
Ejemplo:
 (12x2 + 16x – 3) =
 12 (12x2 + 16x – 3) =
 (12x)2 + 16(12x) – 36 = (12x + 18) (12x – 2)
18 x -2 = -36 multiplicados dan -36
18 + -2 = 16
sumados dan 16
(12x + 18)(12x – 2) 6(2x + 3) 2(6x – 1)
______________ = ______________ = (2x + 3)(6x – 1)
12
12
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
Que divertido es
factorizar!! Hagamos
una ronda por ello…
1.
4x2 + 7x + 3 =
2.
4h2 + 5h + 1 =
3.
2x2 + 5x -12 =
4.
6x2 + 7x – 5 =
5.
8x2 – 14x + 3 =
6.
6a2 + 23ab – 4b2 =
Heeeeeee!!!!!!!
Trinomio cuadrado de la forma:
Cubo perfecto de Binomios
Explicación:
Teniendo en cuenta que los productos notables nos
dicen que:
y
Casos de factorización.
Es decir que debe cumplir con las siguientes
características:
•Debe tener cuatro términos.
•Que tanto el primero como el último término sean cubos
perfectos
•Que el segundo término sea aproximadamente el triple
del cuadrado de la raíz cúbica del primer término
multiplicado por la raíz cúbica del último término.
•Que el tercer término sea más que el triple de la raíz
cúbica del último .
Raíz cúbica de un monomio: Esta se obtiene tomando la raíz
cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra
entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un
binomio:
Ejemplos:
• x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 =
/ se saca raíz cúbica del 1º termino = x
se saca raíz cúbica del 4to. término = z
x3 + 3x2z + 3xz2 + z3 = (x + z)3
•
8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 =
Raíz cúbica 1º término = 2m2n
Raíz cúbica 4to término = 4mn2
8m6n3 + 48m5n4 + 96m4n5 + 64m3n6 = (2m2n + 4mn2)3
(x + z)3 = x3 + 3x2z + 3ab2 + b3
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos ejercicios:
1.
(2x – 3z)3 =
2. (5y + 1)3 =
3. (2 + a2)3 =
Aquí tienes ejercicios
para trabajar!! Haz tu
mayor esfuerzo!!
4. (1 – a)3 =
5. m3 + 3m2n + 3mn2 + n3=
6. 27 – 27x + 9x2 – x3 =
7. c2 + 3c2 +3c + 1 =
Cubo perfecto de Binomios.
Suma o Diferencia de Cubos perfectos
Explicación:
Para esto debemos recordar que:
y
Casos de factorización.
Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas
para desarrollarlo:
• La de sus cubos perfectos se descompone en dos
factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El
cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las
dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
• La diferencia de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus
raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más
el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la
segunda raíz.
Ejemplos:
• x3 + z3 = (x + z)(x2 – xz + z2)
x3 – z3 = (x – z)(x2 + xz + z2)
• 8m3 + z3 = (2m + z)(2m2 - 2mz + z2)
8m3 – z3 = (2m – z)(2m2 + 2mz + z2)
• (b + 3)(b2 – 3b + 9) = b3 + 27
(b - 3)(b2 + 3b + 9) = b3 - 27
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos Ejercicios:
1.
9x3 + 27 =
2.
16m3 + 25n3 =
3.
4b3 – 1 =
4.
1 + 9x3 =
5.
9m3 – 3n3 =
6.
4w3 + 64z3 =
7.
25f3 + g3 =
Suma o Diferencia de Cubos perfectos.
Suma o Diferencia de dos potencias
iguales
Explicación:
Debemos tener en cuenta una pequeña
recapitulación de:
•
•
•
•
es divisible por
siendo n un número par o impar
es divisible por
siendo n impar
es divisible por
siendo n par
nunca es divisible por
Casos de factorización.
Demostración:
se divide por:
y tenemos:
y obtenemos como respuesta:
)
Ejemplos:
x4 + z4 = x4 + z4/x + z
= x3 – x2z + xz2 – z3
x4 + z4 = (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)
m6 + n6 = m6 + n6/m + n
= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5
m6 + n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)
b3 + c3 = b3 + c3/b+c
= b2 – bc + c2
b3 + c3 = (b + c)(b2 – bc + c2)
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos ejercicios:
1.
m3 + n3 =
2. x4 – z4 =
3. b2 + c2 =
4. f6 – g6 =
5. 27x3 + z3 =
6. 4m2 – 2n2 =
7. 6x3 + 12n3 =
Suma o Diferencia de dos potencias iguales.
Casos para Polinomios
Explicación:
Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los
diferentes términos de una expresión para factorizar
utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este
método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener
un número de términos que al agruparlos deben quedar todos
con la misma cantidad de términos.
Casos de factorización.
Demostración:
resolviéndolo nos queda:
Ejemplos:
• Factorizar: ax + bx + aw + bw
Agrupamos: (ax + bx) + (aw + bw)
Factor común en cada binomio: x (a + b) + w (a + b)
Factor común polinomio: (a + b)
Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
• Factorizar: 2x2 - 4xy + 4x - 8y
Agrupamos: ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
Factor común polinomio: (x - 2y)
Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)
• Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n
Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )
Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
Factor común polinomio: ( 2n + 8m )
Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)
Veamos algunos
ejercicios amigo …
Presiona sobre mi y te
aparecerán …
A trabajar !!
Algunos ejercicios:
mx + nx + mw + nw =
af + bf + ag + bg =
3x2 - 6xy + 3xy - 2y =
Ya estamos casi en el
final sigue
esforzándote por
aprender queda muy
poco!!…
2m2 – 7my + 3m - 9y =
4x2 - 8xn + 2x – 6n =
4x+y + 10x+y + 4x8x + 4y8y =
2b+c + 8b+c + 3b8b + 3c8c =
Casos para Polinomios.
Relación con la Geometría
El cuadrado: Polígono de 4 lados iguales.
Sus segmentos se sacan ocupando la factorizacion de
cuadrados perfectos.
Es decir, si el área de un cuadrado es:
A2 + 2ab + b2. ¿Cuánto será el valor de sus lados?
Área del cuadrado = lado2
a2 + 2ab + b
= (a + b)(a + b) / factorizacion.
= (a + b)2
(a + b)
Casos de factorización.
(a + b)
El rectángulo: Polígono de 4 lados. 2 y 2 lados iguales.
Sus segmentos se sacan factorizando su área por una
diferencia de cuadrados.
Área rectángulo = base x altura
(a2 – b2)
= (a + b)(a – b) / factorizacion.
Segmento 1= (a + b)
Segmento 2= (a – b)
(a + b)
(a – b)
Vamos amigo.. Ahora es
turno de que pongas tus
conocimientos a prueba..
Ilumínate conmigo.. Buena
suerte!! En tu I parte de la
prueba..
Prueba Diagnostico: I parte.
Factorizar completamente cada polinomio:
1. 2x2 - 12x + 10
2. 3x3 - 27x2 + 54x
3. 4x2 - 32x + 60
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
5. 4x2 - 30x + 14
6. 9y3 + 3y2 - 6y
7. 20x3 - 5x
8. 3x2 - 27
9. 2x3 - 16
10. 24x3 + 3
Casos de factorización.
Ver Respuestas
Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
1. 2x2 - 12x + 10
= 2(x - 5)(x - 1)
2. 3x3 - 27x2 + 54x
= 3x(x - 3)(x - 6)
3. 4x2 - 32x + 60
= 4(x - 5)(x - 3)
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
= 2xy(x + 3y)(x - y)
5. 4x2 - 30x + 14
= 2(2x - 1)(x - 7)
6. 9y3 + 3y2 - 6y
= 3y(3y - 2)(y + 1)
7. 20x3 - 5x
= 5x(2x + 1)(2x - 1)
8. 3x2 - 27
= 3(x + 3)(x - 3)
9. 2x3 - 16
= 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)
10. 24x3 + 3
= 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Atrás.
Vamos amigo.. Ahora es
turno de que pongas tus
conocimientos a prueba..
Ilumínate conmigo.. Buena
suerte!! En tu II parte de
la prueba..
Prueba diagnostico: II parte.
Factorizar completamente cada polinomio
1. 2x2 - 12x + 10
2. 3x3 - 27x2 + 54x
3. 4x2 - 32x + 60
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
5. 4x2 - 30x + 14
6. 9y3 + 3y2 - 6y
7. 20x3 - 5x
8. 3x2 - 27
9. 2x3 - 16
10. 24x3 + 3
Casos de factorización.
Ver Respuestas
Factorizar completamente cada polinomio: Respuestas:
1. 2x2 - 12x + 10
= 2(x - 5)(x - 1)
2. 3x3 - 27x2 + 54x
= 3x(x - 3)(x - 6)
3. 4x2 - 32x + 60
= 4(x - 5)(x - 3)
4. 2x3y + 4x2y2 - 6xy3
= 2xy(x + 3y)(x - y)
5. 4x2 - 30x + 14
= 2(2x - 1)(x - 7)
6. 9y3 + 3y2 - 6y
= 3y(3y - 2)(y + 1)
7. 20x3 - 5x
= 5x(2x + 1)(2x - 1)
8. 3x2 - 27
= 3(x + 3)(x - 3)
9. 2x3 - 16
= 2(x - 2)(x2 + 2x + 4)
10. 24x3 + 3
= 3(2x + 1)(4x2 - 2x + 1)
Atrás.
Integrantes: - Daniel Belmar. (3ºmA)
- Germán Soto. (3ºmA)
Corregido por Carlos Ramos
Fecha: Abril del 2009
Puedes personalizar tu propia presentación del tema de
factorización
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