Factorización
Consuelo Díaz
Raquel Valdés
Factor común y
por agrupación
Estrategia
Factorización
Factorización de
diferencia de
cuadrados
y cubos
Factorización
de trinomios
Factor
Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión
a  bx  z 
a  b
a  bx  z 
b y
y
x  z 
x  z 
Factorización
Operación necesaria para re-escribir una expresión
algebraica como producto de factores simples
2
2
ma  mb  m(a  b)( a  b)
Caso I. Factor Común
Aparece en todos los términos de la expresión
algebraica, un término común
2
ma  mb
2
• Identificar el máximo
término común
2
3x y  x
2
2
2 4
24a xy  36 x y
a( x  1)  b( x  1)
• Dividir la expresión
algebraica original
entre el máximo
término común
Caso I. Factor Común
Resolviendo los ejemplos:
Ejemplo
2
ma  mb
Máx.
factor
común
2
2
3x y  x
2
2
m
24a xy  36 x y
a( x  1)  b( x  1)
12xy
2
a b
2
2
2
x 1
2
2a  3xy
a b
2
m(a  b )
3 xy  1
x
2 4
Segundo Factorización
factor
2
x(3 xy  1)
2
2
2
12 xy (2a  3xy )
( x  1)( a  b)
Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Aparece un término común compuesto después
de agrupar términos con factores comunes simples
ax  a  bx  b
2
3m  6mn  4m  8n
2am  n 1  2an  2a  m
• Agrupar términos con
factores comunes, usando
la propiedad asociativa
• Factorizar (Caso I) en cada
grupo, los factores comunes
• Identificar el máximo
término común
• Dividir la expresión
algebraica entre el máximo
término común
Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
ax  a  bx  b
(ax  a)  (bx  b)
(a  b)( x  1)
a( x  1)  b( x  1)
procedimiento
Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2
3m  6mn  4m  8n
(3m  4)( m  2n)
2
(3m  6mn)  (4m  8n)
3m(m  2n)  4(m  2n)
procedimiento
Caso Ib. Factor Común por
Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2am  n 1  2an  2a  m
(2a  1)( m  n  1)
(2am  2an  2a)  (m  n  1)
2a(m  n  1)  (m  n  1)
procedimiento
Caso II. Factorización de
Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
2
a  2ab  b
2
2
x  2x 1
2 2
4a x  12ax  9
• Determinar si es tcp
• Obtener la raíz cuadrada
del primer y tercer
términos
• Observar el signo del
segundo término
• Escribir el binomio al
cuadrado
Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
¿ es tcp ?
2
a  2ab  b
2
Sí
a
b
2
a
2
b
 2ab
( a  b)
2
procedimiento
Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
2 2
¿ es tcp ?
2 2
4a x  12ax  9
Sí
4a x
 2ax
9 3
 12ax
(2ax  3)
2
procedimiento
Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Trinomio de la forma
2
x  12 x  20
2 2
9a x  39ax  30
2
x  cx  d
•Obtener la raíz cuadrada
del primer término
• Determinar dos números
que sumados sean igual a c
y que multiplicados sean
igual a d
• Escribir el producto de
binomios
Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
x
2
x  12 x  20
2
x
10  2  12
(10)( 2)  20
( x  10)( x  2)
procedimiento
Caso II. Factorización de
Trinomios
Resolviendo ejemplos:
2 2
9a x
2 2
9a x  39ax  30
 3ax
10  3  13
(10)( 3)  30
(3ax  3)(3ax  10)
3(ax  1)(3ax  10)
procedimiento
Caso IIb. Factorización de
Trinomios
Trinomio de la forma
2
x  12 x  20
2
x  cx  d
Método general
• Completar el tcp
2 2
9a x  39ax  30
• Factorizar la diferencia
de cuadrados resultantes
2
2
( x  a)  x  2ax  a
2
2
x x
2
x  12 x  20
2ax  12x
12 x
a
 6
2x
2
( x  2)( x  10)
(6)  36
2
x  12 x  36  36  20
( x  6  4)( x  6  4)
2
( x  6)  16
Trinomio Cuadrado Perfecto
Resultado del siguiente producto notable:
( a  b)
2
2
 a  2ab  b
2
o,
( a  b)
2
2
 a  2ab  b
2
Trinomio de la forma
2
x  cx  d
Resultado del siguiente producto notable:
2
( x  a)( x  b)  x  (a  b) x  ab
Donde:
c  ab
y
d  ab
Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
2
a b
a 1
• Identificar la diferencia
de cuadrados
9  16 x
• Obtener la raíz cuadrada
del primer y segundo
términos
2
2
2
6
x  2x 1 y
2
• Escribir el producto de
binomios conjugados
Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
9 3
9  16 x
6
16 x
3
6
 4x
3
3
(3  4 x )(3  4 x )
procedimiento
Caso III. Factorización de la
Diferencia de Cuadrados
Resolviendo ejemplos:
( x  1)
2
x  2x 1 y
2
 x 1
2
y
2
y
( x  1  y )( x  1  y )
procedimiento
Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
3
a b
• Identificar si es suma o
diferencia de cubos
3
a 1
27  64 x
3
• Obtener la raíz cúbica
del primer y segundo
términos
6
• Escribir el producto del
binomios por trinomio
correspondiente
Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
3
a 1
diferencia
3
3
a a
3
1 1
2
(a  1)( a  a  1)
procedimiento
Caso IV. Factorización de la
Suma o Diferencia de Cubos
Resolviendo ejemplos:
 27  64 x
suma
3
6
3
2
2
 27  3
64 x
6
 4x
2
4
(3  4 x )(9  12 x  16 x )
procedimiento
Diferencia de Cuadrados
Resultado del siguiente producto notable:
(a  b)( a  b)  a  b
2
2
Suma y Diferencia de Cubos
Resultado del siguiente producto notable:
2
2
2
2
3
(a  b)( a  ab  b )  a  b
3
o bien,
(a  b)( a  ab  b )
3
 a b
3
Estrategia General
1.
2.
3.
Factorizar todos los factores comunes.
Observar el número de términos entre
paréntesis (o en la expresión original). Si
hay:
I. Cuatro términos: factorizar por agrupación.
II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar
así; si no es tcp, emplear el caso general.
III. Dos términos y cuadrados: buscar la
diferencia de cuadrados y factorizarla.
IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o
diferenica de cubos y factorizar.
Asegurarse de que la expresión está
factorizada completamente.
Descargar

Operaciones con Polinomios