10/3/2015
SISTEMAS LINEALES
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Factorización de matrices
Lo que requerirá del  22 operaciones.
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Eliminación de Gauss es la herramienta principal en la
solución directa de sistemas de ecuaciones lineales.
Veremos la resolución de sistemas de la forma  = 
utilizando una factorización particularmente útil de la
matriz:  = . Donde  es triangular inferior, y U es
triangular superior.
Resolver un sistema por eliminación gaussiana requiere
 3 /3 operaciones, mientras que resolver un sistema
triangular por sustitución hacia atrás requiere  2
operaciones.
Supongamos que se ha escrito la matriz del sistema de la
forma:  = , luego resolver el sistema  =  equivale a
resolver:
 = 
  =  ↔
 = 
2
 =  y
 =

 =


= 

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Factorización LU
Para factorizar una matriz  =  ∈  en
el producto de la matriz triangular inferior
 =  y la matriz triangular superior  =
 tal que A=LU se procede así:
Paso 1
Si   =  entonces la factorización es
imposible permute las filas de A hasta
obtener un producto distinto de cero.
Suponga  =1 (Descomposición de Doolitle)
entonces:
Paso 2: Para  = , … ,  −  repetir los pasos 3 y 4
Paso 3:   =  −
−
=  
Paso 4: Para  =  + , … , 
 =


 −
 =
V
=
 
−
=   como  =1. Entonces:
 =  −


−
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 =  −
como  =1. Entonces:
 −
−
=  
−
=  
i-ésima fila de U
i-ésima columna de4
Ejemplo
a-Determinar la factorización LU de la matriz:
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b- Resolver el sistema A.x=b con:
Rta.
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