Límites y continuidad
Cálculo 1
Límites de funciones
x2 1
f x  
x 1
Analicemos la función:
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
x 2  1 x  1x  1
f x  

 x 1
x 1
x 1
x1
y
y
2
2
1
x2 1
y  f x  
x 1
1
y=x+1
–1
–1
0
1
x
0
1
x
Valores de x menores y
mayores 1que 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
x2 1
f x  
 x 1 x  1
x 1
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
x2 1
lim f x   2 o lim
2
x 1
x 1 x  1
Definición informal de límite
Sea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si
f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se
dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
lim f  x   L
x0 1
y
y
y
2
2
2
1
1
1
–1
–1
0
1
x2 1
a) f x  
x 1
x
–1
0
1
x
 x2 1

b) g  x    x  1 , x  1
 1, x  1
0
1
c) hx   x  1
x
Comportamientos asociados a la
no existencia de un limite
Funciones sin límite en un punto
1
Crece demasiado
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1

 , x0
b) y   x

 0, x  0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
y
0, x  0


c) y  
1
sen
, x0

x

10
0, x  0
a) y  
1, x  0
8
6
4
2
La función salta
0
-2
Oscila demasiado
-4
x
-6
-8
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.5
Ejercicio
Encontrar
lim g  x 
x  1
lim g  x 
x  2
lim g  x 
x  3
y
y = g(x)
1
1
2
3
x
Tarea
Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1,
–6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?
g x  
x6
x 2  4 x  12
Calculo Analítico de Limites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma:
limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta:
limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto:
limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto:
limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente:
limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia:
limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del
denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Ejercicios
Eliminación de denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos
casos simplificar la fracción y calcular el límite.
x2  x  2
lim 2
x 1
x x
lim
h 0
2h  2
h
Límites por un lado
Definición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
lim f  x   L
xa 
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está
arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos
que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
lim f  x   M
xa 
Límites por un lado y bilaterales
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la
derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx  c f (x) = L  Limx  c– f (x) = L y Limx  c+ f (x) = L
Ejemplo
y
lim f  x   1
y = f (x)
x2
2
lim f  x   1
1
x2
x
0
1
2
3
lim f  x   1
x 0
lim f  x  y lim f  x  no existen
x 0 
x 0
lim f  x   0
x 1
lim f  x   1
x 1
lim f  x  no existe
x 1
lim f  x   1
x2
4
lim f  x   lim f  x   lim f x   f 3  2
x 3 
x 3
x 3
lim f  x   1
x4
lim f  x  y lim f  x  no existen
x4
x4
Tarea #12
¿cuáles límites son verdaderos y cuales son
falsos?
lim f x   0
a)
lim f  x   1
x 1
g)
x 0 
b)
lim f  x   1
h)
x 0 
c)
lim f x   existe
i)
lim f  x   0
d)
lim f  x   1
j)
lim f  x   1
e)
lim f  x   0
k)
f)
lim f  x   no existe
l)
x 0
x 0
x 0
x 1
x 1
lim f  x   lim f  x 
x 0
x 0
x 1
lim f x   2
x2
lim f x   2
x2
Límites infinitos
Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo,
se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
lim f x   
x c
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de
cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito
negativo.
lim f  x   
x c
Ejemplos
y
10
1
lim  
x0 x
8
6
y = 1/x
4
2
0
x
-2
-4
lim
-6
x 0
-8
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
 
x
y
6
4
y = 1/(x – 1)
lim
1

x 1
lim
1
 
x 1
x 1
2
0
x
-2
x 1
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3
y
25
lim
1

2
x
lim
1

2
x
x 0
20
1
y 2
x
15
10
x 0
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
25
lim
1

2
x  3
lim
1

2
x  3
x 3
20
y
15
10
1
x  32
x 3
5
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Límites de funciones racionales
2

x  2
lim
x 2
x2  4
2

 x  2  0
x  2
 lim
 lim
x 2  x  2 x  2
x 2  x  2 
lim
x 2
x2
x2
1
1
lim 2
 lim
 lim

x 2 x  4
x 2  x  2  x  2 
x 2  x  2 
4
x 3
x 3
lim 2
 lim
 
x  2  x  2  x  2 
x 2 x  4
lim
x 2
lim
x 2
x 3
x 3

lim

x 2  4 x2 x  2x  2
x 3
x 3

lim
 no existe
x 2  4 x2 x  2x  2
2 x
  x  2
1

lim

lim
 
x  23 x2 x  23 x2 x  22
Continuidad
Continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
lim f  x   f c 
x c
Ejemplos
y
y = f(x)
y = f(x)
1
1
x
0
x
0
y
y
2
1
y = f(x)
y = f(x)
1
x
0
x
25
20
y  f x  
1
x2
15
10
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Tipos de discontinuidades
y  x
y  sen
y
1
x
1
x2
x2  2
y
x 2
Discontinuidad escalonada
Discontinuidad oscilante
Discontinuidad infinita
Discontinuidad removible
Continuidad en los extremos
Una función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
lim f  x   f a 
xa 
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
lim f  x   f b 
x b 
y = f(x)
a
c
b
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. f(c) existe
(c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe
(f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c)
(el límite es igual al valor de la función)
Ejemplo
y
y = f (x)
2
Continua
1
x
0
1
2
3
4
Discontinua
Reglas de continuidad
Teorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son
continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son
enteros)
Continuidad de polinomios
Teorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional
es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
Ejemplo:
f x  x 4  20
r x  

g  x  5 x x  2 
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y
f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.
Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
g°f
Continua en c
g
f
Continua en c
f (c)
Continua en f(c) g(f (c))
Ejemplos
y
x3
x 2  3 x  10
1
x2
y

x 1 2
y
x2
cos x
x4 1
y
1  sen2 x
Tarea #14
Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.
1
-1
0
1
2
¿En qué puntos son continuas las siguientes
funciones?
a)
x 1
y 2
x  4x  3
b) y  x 1  sen x
c)
y
x tan x
x2 1
Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se
puede definir una función F(x) usando la regla
f(x)
si x está en el dominio de f
L
si x = c
F(x) =
Ejemplo:
x2  x  6
f x  
x2  4
Se puede simplificar en:
x 2  x  6 x  2x  3 x  3
f x  


x  2x  2 x  2
x2  4
Que es continua en x = 2
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