UNIDAD N° 2
LIMITES DE
FUNCIONES
Docente
Valentin Prieto Saucedo
Santa Cruz - Bolivia
Definición de Limites
En matemática, el límite es un
concepto
que
describe
la
tendencia de una sucesión o
una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o
función
se
acercan
a
determinado valor. En cálculo
(especialmente
en
análisis
real
y
matemático)
este
concepto
se
utiliza
para
definir
los
conceptos
fundamentales de convergencia,
continuidad,
derivación,
integración, entre otros.
Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0,
excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite
L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número e > 0,
d > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d
existe un número correspondiente
 | f(x) – L | < e
Proceso de Calculo de Limites
y = f(x)
y = f(x)
L +1/10
L +1/10
L
L
L–1/10
L–1/10
O
O
x0
hacer que | f (x) – L| < e = 1/10
x0+d1/10 x0 x0+d1/10
Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número)
y = f(x)
y = f(x)
L +1/100
L
L +1/100
L
L–1/100
L–1/100
O
x0
hacer que | f (x) – L| < e = 1/100
O
x0+d1/100 x0 x0+d1/100
Respuesta: | x – x0 | < d1/100
Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) =
M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma:
limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta:
limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto:
limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto:
limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente:
limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Tipos de Indeterminación
Operaciones Conocidas
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden
sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
calcularse
por
Indeterminación 0/0
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero,
se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el
límite.
Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0
lim
h 0
2h 
h
2
x x2
2
lim
x 1
x x
2
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe
Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar
luego remplazar el limites.
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