Interés Compuesto
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Financiera
Interés Compuesto
SUPUESTO LOGICO
Un capital P, invertido en un momento
cualquiera puede crecer durante
intervalos iguales a una tasa constante.
Interés Compuesto
DEFINICION
Capital
Los intereses se
capitalizan, es
decir, se añaden al
capital al final de
cada periodo de
composición.
Intereses
Capital
+
Intereses
Interés Compuesto
Periodo
C. Inicial(P)
10%
Intereses(I)
C. Final (F)
1
1.000
100
1.100
2
1.100
110
1.210
3
1.210
121
1.331
4
1.331
133,10
1.464,10
5
1.464,10
146,41
1.610,51
Interés Compuesto
10%
C. Final (F)
Periodo
C. Inicial(P)
Intereses(I)
1
P
Pi
P(1+i)
2
P(1+i)
P(1+i)i
P(1+i)2
3
P(1+i)2
P(1+i)2i
P(1+i)3
.
......
.......
........
n
P(1+i)n-1
P(1+i)n-1i
P(1+i)n
Interés Compuesto
Características
Los intereses devengan intereses
Los intereses son crecientes en cada periodo
de capitalización
Se aplica en cualquier tipo de operación
tanto a corto como a largo plazo
La equivalencia de capitales es perfecta
Interés Compuesto
Elementos
P:
F:
I:
i:
n:
k:
Valor Presente o capital Inicial
Valor Futuro o Monto final
Intereses
tasa del periodo
nº de periodos
Frecuencia de la capitalización
Periodo de capitalización:
intervalo de tiempo al final del cual se ganan los intereses
Interés Compuesto
Frecuencia de capitalización (k)
Número de veces que se capitalizan los
intereses al año.
¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un
depósito en un banco que paga 21% de interés anual
convertible cuatrimestralmente?
K
12 meses( en 1 año)
4 meses (en un cuatrimestre)
La frecuencia es 3
3
Interés Compuesto
NOTACION Y FORMULAS
F = P(1+i)n
I = P((1+i)n-1)
P = F(1+i)-n
i = Tasa del periodo de capitalización
P = Valor presente o capital invertido
I = Intereses devengados.
n = Nº de periodos de capitalización
F = Valor futuro o Monto final
Interés Compuesto
VALOR FUTURO COMO FUNCION DEL TIEMPO
V.Futuro
I2
P
F = P(1 + i)n
I1
1
2
Tiempo
Interés Compuesto
GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
F = P(1 + i)n
V.Futuro
F = P(1 + i*n)
P
1
Tiempo
Interés Compuesto
Ejercicio Nº1
¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs.
1.000.000 colocados durante un año al 36%
nominal anual capitalizable mensualmente?
R: 1.425.760
¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?
Interés Compuesto
TASAS
Tasa que se declara en la
operación financiera
Nominal: i
Proporcional o
del periodo:ip
Efectiva: ie
ip 
tasa nominal
frecuencia cap.

i
k
Tasa real de
i k
ganancia anual i e  (1  )  1
k
Interés Compuesto
Ejercicio Nº2
¿Cual es la tasa efectiva de la operación si
colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal anual
convertible trimestralmente durante dos años?
R:26,25% anual
Interés Compuesto
TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas son equivalentes si aplicadas a
capitales iguales en el mismo periodo de tiempo
producen el mismo capital final
Tasa nominal: i
Frecuencia anual: k
Tasa nominal:j
Frecuencia anual: p
(1 
i
k
)
k
 (1 
j
p
)
p
Interés Compuesto
Ejercicio Nº3
Hallar
la
tasa
nominal
anual
capitalizable
cuatrimestralmente que es equivalente a 60%
nominal anual capitalizable mensualmente.
R: 64,65%
Interés Compuesto
Ejercicio Nº4
Hallar la tasa efectiva anual equivalente a 48%
nominal anual capitalizable mensualmente(nacm)
R: 60,10%
Interés Compuesto
Ejercicio 5 :
Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año.
Completar la siguiente tabla:
Frecuencia de
capitalización
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal
Diaria
Tasa del
periodo
Tasa
efectiva
Capital
Final
Tasa equivalente
trimestral
Interés Compuesto
La equivalencia de capitales es perfecta
1.000
1.100
0
1210  1000 (1 0,1)
1
2
1100  1000(1 0,1)
1210  1100(1 0,1)
1.210
2
1000 hoy es equivalente a 1210 dentro de
dos periodos.
1000 hoy es equivalente a 1100 dentro de
un periodo.
1100 dentro de un periodo es equivalente
a 1210 dentro de dos periodos.
Interés Compuesto
La equivalencia de capitales es perfecta
P
P1
P2
0
t1
t2
P2  P(1 i) 2
t
P hoy es equivalente a P2 en t2
t1
P hoy es equivalente a P1 en t1
P1  P(1 i)
P1
t
(1  i) 1
P
P2
(1  i)
t2
 P2  P1(1 i)
t 2  t1
P1 en t1 es equivalente a P2 en t2
Interés Compuesto
VALOR PRESENTE
¿Cuánto debo invertir hoy para obtener mañana una
suma de F ?
P = Valor presente de F
Valor
Presente
F
F = P(1 + i)n  P 
Tiempo
F
n
(1  i)
Interés Compuesto
PERIODOS FRACCIONARIOS
Convenio
lineal
Convenio
exponencial
Los intereses de la
fracción se calculan a
interés simple
Los intereses de la fracción
se calculan a interés
compuesto con la tasa
equivalente
Interés Compuesto
Ejercicio Nº6
Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de
Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital
en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado
mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de
Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de
Diciembre?
R: 4.526 $
Interés Compuesto
Ejercicio Nº7
Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9
meses a 20% anual capitalizado semestralmente,
por los siguientes cuatro meses a 30% anual
capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una
tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente
y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24%
anual capitalizado trimestralmente. El monto al
término de la operación fue de 4.049.457,14.
Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual
de la operación.
R: 2.000.000 ; 26,51%
Interés Compuesto
Ejercicio Nº8
En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al
30% nominal anual con capitalización mensual durante
20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs.
200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de
interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado
trimestralmente a partir de finales del séptimo año,
determine la cantidad adicional que se debe depositar
a principios del año 15, para compensar los retiros y la
disminución de la tasa de interés y lograr reunir la
misma cantidad que se hubiese obtenido de no
producirse ningún cambio.
R: 12.552.332
Interés Compuesto
Ejercicio Nº9
Se invierten 100.000 a una determinada tasa nominal
anual capitalizada semestralmente para que al
transcurrir 12 años se obtenga como capital final el
monto de 1.517.862,89. Si al final de cada 3 años, a lo
largo de toda la operación financiera, la tasa nominal
anual se reduce en 2%, determine las cantidades
adicionales iguales a ser colocadas en los años 5 y 9
para seguir disponiendo del mismo capital final.
R : 78.867
Interés Compuesto
Ejercicio Nº10
Un inversionista coloca su capital a una tasa de 20%
nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15
años. El total de intereses devengados entre final del
año 6 y finales del primer trimestre del año 9 es
177.808,86. Determine el capital acumulado al final de
los 15 años.
R: 1.867.918
Interés Compuesto
Solución Nº1
F = P(1+i)n
P: 1.000.000
i
0,36
12
 0, 03 mensual
n = 12 mesesF = 1.000.000(1+0,03)12 = 1.425.760,89
Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89
Interés Compuesto
Solución Nº2
La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta
anualmente que produce el mismo valor futuro
que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso,
8
0,24 

F = 1.000.000 1+

4 

0,24 

 1+

4 

0,24 

1+


4 

2
 1.000.000(1  ie )
8
2
 (1  ie )
4
4
 (1  ie )  ie  (1  0, 06)  1  0, 2625
Tasa efectiva de 26,25% anual
Interés Compuesto
Solución Nº3
3
12
i
0, 60 


1
+
=
1
+




3
12 


 i  0, 6465
Tasa: 64,65% nominal anual capitalizable
Cuatrimestralmente.
En este sentido, la tasa efectiva es la tasa
anual equivalente
Interés Compuesto
Solución Nº4
12
0, 48 

1
+


12


= 1 + ie   ie  0, 6010
Tasa efectiva anual de 60,10%
Interés Compuesto
Solución 5:
Se colocan Bs. 1.000
Completar la siguiente tabla:
a
36% n.a. por un año.
Frecuencia de
capitalización
Tasa del
periodo
Tasa
efectiva
Capital
Final
Tasa equivalente
trimestral
Anual
36%
36%
1.360
31.96% n.a.
Semestral
18%
39.24%
1.392,4
34.51% n.a.
Cuatrimestral
12%
40.49%
1.404,9
35.48% n.a.
Trimestral
9%
41.15%
1.411,5
36.00% n.a.
Bimestral
6%
41.85%
1.418,5
36.53% n.a.
Mensual
3%
42.57%
1.425,7
37.09% n.a.
Quincenal
1,5%
42.95%
1.429,5
37.37% n.a.
Diaria
0,1%
43.30%
1.433,0
37.65% n.a.
Interés Compuesto
Solución Nº6
P 
5.000
10
0,12 

1 

12


 4.526, 43
Necesita depositar 4.526,43 $
Interés Compuesto
Solución Nº7
9
4
2
5
0,20 6 
0,30  
0,27  
0,24 

P 1 +
1
+
1
+
1
+
 
 
 
 = 4.049.457,14
2  
12  
3  
4 

P = 2.000.000
3
2.000.000(1 + i) = 4.049.457,14
i = 26,51%
El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es
26,51%
Interés Compuesto
Solución Nº8
5
100.000
0
200.000

100.000  1 

12 
500.000

 100.000  1 

12*2
0, 30 

200.000  1 

12 

0, 18 

x 1 

4 

10
18%
12*20
0, 30 

7
0, 18 

1



4 

4*13
4*6
 x  12.552.332, 12
X
20
14
12*7
0, 30 

12 

1 

0, 18 
4
4*13


0, 18 

 500.000  1 

4 

4*10
Interés Compuesto
Solución Nº9
i = tasa n.a.c.s.
24
i 

100.000 1 + 
2

i = 24 %
100.000
Diagrama Temporal:
X
22%
24%
0
= 1.517.862, 89
3
X
18%
20%
5
6
9
12
Interés Compuesto
Solución Nº9
3*2
0,24 

100.000 1 

2


2
0,22 

x 1 

2 

3*2
0,22 

1 

2


6
3*2
0,20 

1 

2


6
3*2
0,18 

1 

2


6

0,20  
0,18 
0,18 


1 
 1 
  x 1 
  1.517.862,89
2  
2 
2 


 x  78.867,68
Debe colocar Bs. 78.867,68
Interés Compuesto
Solución Nº10
Diagrama Temporal:
9 trimestres
0
6
8
1
9
15
9


0,20 
P6  1
  1  177.808.86  P6  322.510
4 


P15
0,20 

 322.510 1

4 

9* 4
 1.867.918,6
Al final de los 15años tendrá un capital de Bs.
1.867.918,60
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