Profesor:
Eco. Ricardo Bermejo
INTERES COMPUESTO
El concepto y la formula general del interés compuesto es
una potente herramienta en el análisis y evaluación
financiera de los movimientos de dinero.
El interés compuesto es fundamental para entender las
matemáticas financieras. Con la aplicación del interés
compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la
capitalización del dinero en el tiempo. Los intereses
recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo
capital.
INTERES COMPUESTO
C0
0
P1= C0 + I0
1
P2= C1+ I1
2
P3= C2+I2
3
Pn = Cn-1 +In-1
n años
En el interés compuesto, el interés (I ) ganado en cada periodo (n) es
agregado al capital inicial (C0) para constituirse en un nuevo capital
(Pn) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que
se conoce como capitalización la cual puede ser anual, trimestral,
mensual, diaria y se aplica hasta que vence la transacción.
P = C (1+i) n
Donde :
P = Monto total o capital final
C=
Capital inicial
i = Tasa de interés
n = Periodo de tiempo
En los problemas de interés compuesto i y n deben
expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las
conversiones
apropiadas
cuando
estas
variables
correspondan a diferentes periodos de tiempo.
Ejemplo:
1.-Usted ha depositado S/. 1,500 en una cuenta de ahorros
de un banco local que le ofrece una tasa efectiva anual de 6
%. ¿Qué monto tendrá acumulado al final de tres años?.
Solución:
Datos:
C = 1,500
i = 0.06 anual
n = 3 años
P=
Solución:
P = C (1+i)n
P = 1,500 (1+0.06) 3
P = 1,500 (1.191016)
P = 1,786.52
Luego de tres años se tendrá acumulados S/. 1,786.52
2.-Cacular el monto total que produjo un capital inicial de
S/. 10,000 colocado en un banco durante 5 meses a una tasa
efectiva anual de 18 %.
Solución:
Datos:
C
i
n
P
= 10,000
= 0.18 anual
= 5 meses
=
Solución:
Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .
n = 5 meses
1 año
12 meses
= 0.416667 años
P = C ( 1 + i )n
P = 10,000 ( 1 + 0.18 ) 0.416667
P = 10,000 (1.071399)
P = 10,713.99
3.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/.
5,000 colocado en un banco durante 90 días a una tasa
efectiva anual de 8%.
Solución:
Datos:
C
i
n
P
= 5,000
= 0.08 anual
= 90 días
=
Solución:
Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .
n = 90 días
1 año
360 días
P = C ( 1 + i )n
P = 5,000 ( 1 + 0.08 ) 0.25
P = 5,000 (1.019427)
P = 5,097.14
= 0.25 años
4.- Calcular el monto que produjo un capital inicial de S/.
10,000 colocado en un banco durante 45 días a una tasa
efectiva mensual de 2%.
Solución:
Datos:
C = 10,000
i = 0.02 mensual
n = 45 días
P=
Solución:
Primero debemos expresar i y n en los mismos términos .
n = 45 días
1 mes
30 días
P = C ( 1 + i )n
P = 10,000 ( 1 + 0.02 ) 1.50
P = 10,000 (1.030150)
P = 10,301.15
= 1.50 mensual
5.- Que monto total produjo un capital de S/. 20,000
colocado durante 6 días a una tasa efectiva mensual de
2.5%.
Solución:
Datos:
C = 20,000
i = 0.025 mensual
n = 6 días
P=
Solución:
Primero debemos expresar i y n en los mismo términos .
n = 6 días
1 mes
30 días
P = C ( 1 + i )n
P = 20,000 ( 1 + 0.025 ) 0.20
P = 20,000 (1.004951)
P = 20,099.02
= 0.20 mes
CAPITALIZACION
PERIODO
EQUIV. ANUAL
Anual
1
Semestral
2
Cuatrimestral
3
Trimestral
4
Bimestral
6
Mensual
12
Quincenal
24
Semanal
48
Diario
360
FACTORES FINANCIEROS
En las matemáticas financieras
es posible manejar
cualquier operación y evaluar diversas alternativas de
inversión con los factores financieros.
Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la
empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la
institución ,razón por la cual deben ser evaluados con el
objeto de determinar el impacto que producen en el
entorno empresarial. Son factores financieros: Factor
simple de capitalización (FSC), Factor simple de
actualización (FSA), Factor de capitalización de la serie
(FCS) y el Factor de recuperación de capital (FRC).
FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION (FSC)
Transforma un capital inicial en valor futuro (Vf) con la
formula general de interés compuesto.
VALOR FUTURO (Vf )
El analista de cuentas de un banco de inversión necesita
evaluar el costo financiero de los títulos que vende a sus
inversionistas.
Un gerente financiero para evaluar proyectos
debe
determinar el costo financiero de las operaciones que
realiza.
Una persona que desee administrar sus cuentas bancarias
personales, sus créditos, etc, debe conocer el costo del
dinero.
Por lo tanto, el valor futuro es la cantidad de dinero que se
tendría, si se invirtiese hoy una cantidad y se capitalizase a
un tipo de interés en un periodo determinado de tiempo.
Formula:
P = C (1+i) n
P = Valor futuro (Vf) o capital final
C = Capital inicial
i = Tasa de interés
n = Periodo de tiempo
Ejemplo:
1.-Una persona deposita en una cuenta de ahorros S/. 3,000
al 9% nominal anual capitalizado semestralmente durante
dos años . Deseamos saber cuanto tendremos ahorrado al
final de dicho periodo de tiempo.
Solución:
Datos:
C = 3,000
i = 0.09 anual
n = 2 años
P=
Capitalización semestral
1 año = 2 semestres
Llevando i y n a capitalización semestral
Sí i=0.09 anual
Entonces el i semestral es 0.09 /2
Luego debemos llevar el n a semestral:
Si n=2 años
Entonces el n semestral es 2 x 2
Reemplazando los datos en la formula:
P = C ( 1 + i )n
P = 3,000 ( 1 + 0.09 ) 2 x 2
2
P = 3,000 ( 1 + 0.045 ) 4
P = 3,000 (1.192519)
P = 3,577.56
Al final del periodo el ahorrista recibirá S/. 3,577.56
Ejemplo:
2.-Usted ha depositado S/. 2,000 en la cuenta de ahorros de
un banco a una tasa de interés de 12 % nominal anual
capitalizado trimestralmente. ¿Cuanto retirara al cabo de
tres años?
Solución:
Datos:
C = 2,000
i = 0.12 anual
n = 3 años
P=
Capitalización trimestral
1 año = 4 trimestres
Llevando i y n a capitalización trimestral.
Sí i= 0.12 anual
Entonces el i trimestral es 0.12 /4
Luego debemos llevar el n a trimestral:
Si n=3 años
Entonces el n trimestral es 3 x 4
Reemplazando los datos en la formula:
P = C ( 1 + i )n
P = 2,000 ( 1 + 0.12 ) 3 x 4
4
P = 2,000 ( 1 + 0.03 ) 12
P = 2,000 (1.425761)
P = 2,851.52
Al cabo de tres años el ahorrista retirara S/. 2,851.52
Ejemplo:
3.-Usted ha depositado cinco mil dólares en una cuenta de
ahorros a largo plazo al 6% nominal anual capitalizado
mensualmente en seis años y tres meses. Halle el monto
obtenido al final de dicho periodo de tiempo.
Solución:
Datos:
C = 5,000
i = 0.06 anual
n = 6 años y 3 meses
P=
Debemos expresar i y n en los mismos términos .
Hallando n: 6 años y 3 meses
n = 3 meses
n = 6 + 0.25
n = 6.25 años
1 año
12 meses
= 0.25 años
Capitalización mensual:
1 año = 12 meses
Llevando i y n a capitalización mensual.
Sí i= 0.06 anual
Entonces el i mensual es 0.06 /12
Luego debemos llevar el n a mensual:
Si n=6.25 años
Entonces n mensual es 6.25 x 12
Reemplazando los datos en la formula:
P = C ( 1 + i )n
P = 5,000 ( 1 + 0.06 ) 6.25 x 12
12
P = 5,000 ( 1 + 0.005 ) 75
P = 5,000 (1.453633)
P = 7,268.17
El monto obtenido al final del periodo de tiempo es U$$
7,268.17
FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION (FSA)
Al tener el flujo de efectivo que se recibirá al final del
periodo el valor actual se obtiene despejando P.
VALOR ACTUAL (C)
El valor actual es exactamente lo opuesto al proceso de
valor futuro.
Formula:
C=
P
( 1 + i )n
Donde :
C = Valor actual (Va)
P = Capital final o valor futuro
i = Tasa de interés
n = Periodo de tiempo
Ejemplo:
1.-Un alumno desea seguir una especialización en finanzas
después de terminar su carrera de tres años. Si su
especialización le cuesta S/.7 000,monto que tendrá que
desembolsar cuando empiece sus estudios. ¿Cuanto tendría
que depositar en una cuenta que le paga 6% anual para
contar exactamente con la suma necesitada al iniciar su
especialización.?
Datos:
C=?
P = 7,000
i = 0.06 anual
n = 3 años
Solución:
C=
7,000
(1+0.06)3
C=
7,000
1.191016
C = 5,877.33
Para obtener los S/.7,000 necesitara depositar en el banco
S/. 5,877.33
Ejemplo:
2.-¿Cuál es el valor actual de S/. 5,000 depositados en una
cuenta de ahorros del Banco durante 5 años, a la tasa de 6%
nominal anual capitalizado trimestralmente.
Solución:
Datos:
C
P
i
n
=?
= 5,000
= 0.06 anual
= 5 años
Capitalización trimestral:
1 año = 4 trimestres
Llevando i y n a capitalización trimestral.
Sí i= 0.06 anual
Entonces el i trimestral es 0.06 /4
Luego debemos llevar el n a trimestral:
Si n=5 años
Entonces n trimestral es 5 x 4
Reemplazando los datos en la formula:
C=
5,000
( 1 + 0.06 ) 5 x 4
4
C=
5,000
( 1 + 0.015 ) 20
C=
5,000
1.346856
C = 3,712.35
El valor actual será S/.3,712.35
Ejemplo:
3.-¿Cuál es el valor actual de un pagare de S/. 60,000
pagadero en dos años y ocho meses a la tasa de 8 %
nominal anual capitalizado semestralmente?.
Solución:
Datos:
C
P
i
n
=?
= 60,000
= 0.08anual
= 2 años y 8 meses
Debemos expresar i y n en los mismos términos .
Hallando n: 2 años y 8 meses
n = 8 meses
1 año
= 0.666667 años
12 meses
n = 2 + 0.666667
n = 2.666667 años
Capitalización semestral:
1 año = 2 semestres
Llevando i y n a capitalización semestral.
Sí i= 0.08 anual
Entonces el i semestral es 0.08 /2
Luego debemos llevar el n a semestral:
Si n=2.666667 años
Entonces n semestral es 2.666667 x 2
Reemplazando los datos en la formula:
C = 60,000
( 1+0.08 ) 2.666667 x 2
2
C = 60,000
( 1+0.04 ) 5.333334
C = 60,000
1.232663
C = 48,675.10
El valor actual será S/.48,675.10
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