Modelos de Valoración de Opciones
Parte 1
Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández
Jorge Otero Rodríguez
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Contenidos
Introducción
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Modelos de Valoración de Opciones
2
Introducción
Límites de
valoración
Opciones
reales
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones: definición y tipología
Una opción de compra o call (venta o put) es un contrato que otorga a su titular el
derecho a comprar (vender) un activo subyacente a un precio determinado (conocido
como precio de ejercicio o strike), en una fecha futura establecida, a cambio del pago de
una prima
Respecto al activo subyacente, la opción puede ser
Financiera: sí el activo subyacente es un activo financiero, como una acción.
Real: sí el activo subyacente es un activo real, como un proceso productivo
Respecto a la fecha de ejercicio, la opción puede ser
Europea: la opción únicamente puede ejercitarse en la fecha de vencimiento
Americana: la opción puede ser ejercitada en cualquier momento desde su emisión
hasta su fecha de vencimiento
Bermuda: la opción puede ser ejercitada en varias fechas establecidas desde su
emisión hasta su fecha de vencimiento. Es una opción híbrida entre el tipo
americano y europeo
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3
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Prima de una opción financiera
Las opciones son un activo/pasivo contingente, dado que su valor depende del valor
del activo subyacente que es función de ciertas contingencias
Valor de una opción (P) = Valor intrínseco (VI) + Valor temporal o extrínseco (VE)
Valor intrínseco (VI): valor que tendría la opción sí se ejerce inmediatamente. Así es
el máximo entre cero y el valor de la opción en caso de ser ejercitada.
Opción de compra: Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)
Opción de venta: Máximo (Precio ejercicio - Precio activo subyacente ; 0)
Valor extrínseco (VE): valoración que hace el mercado de las probabilidades de
beneficios con la opción sí el movimiento del precio del activo subyacente es
favorable. Componente probabilístico.
Valor intrínseco y contingencias
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente > 0 In the money VE decreciente
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente = 0 At the money VE es máximo
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente < 0 Out of the money P = VE
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4
Límites de
valoración
Opciones
reales
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Prima opción = Valor intrínseco + Valor temporal
Call Europea sin reparto de dividendos
7.00
Valor opción - Límite
6.00
13.64
14.19
14.73
15.28
15.83
16.37
16.92
17.47
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
6.53
7.63
8.72
9.81
10.91
Valor opción
12.00
13.09
Valor intrínseco
14.19
15.28
Valor temporal
16.37
17.47
St
7.0
6.0
Valor opción - Límite
Introducción
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47
Valor intrínseco
Valor temporal
St
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5
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
¿Cómo se efectúa el pricing de una opción?
Los métodos de valoración de opciones expresan cuantitativamente el valor del contrato
de opción a través de tres etapas
Definir el contrato, es decir, formalizar matemáticamente los pagos asociados a
cada estado de la naturaleza
Por ejemplo, en el caso de una opción de compra, el valor intrínseco es función del precio del
activo subyacente, siendo el pago asociado a cada estado de la naturaleza:
Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)
Conocer la dinámica generatriz del precio del activo subyacente, esto es, cómo
evoluciona, qué ley determinística o probabilística sigue, cuál es su dinámica
estocástica. En el caso de las acciones negociadas en mercados financieramente
eficientes
 σ2 

 St 
Ln   N μ    T;σ  T 
2
S


S 
Ln t   Rentabilidad compuestacontinua generadaen T
S
Establecer un método analítico o numérico que proporcione el valor esperado
monetario actualizado del contrato
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
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Notas
finales
Métodos de valoración de opciones financieras
Método de Black-Scholes (Fisher Black y Myron Scholes,1973)
Método analítico exacto en tiempo continuo
Método Binomial (Cox, Ross y Rubinstein, 1976)
Método numérico en tiempo discreto mediante simulación organizada a través de
árboles binomiales.
Método de Monte Carlo
Método numérico en tiempo discreto mediante simulación aleatoria.
Los modelos asumen que el precio de las acciones sigue un paseo aleatorio los
cambios proporcionales en el precio de las acciones en un período corto de tiempo se
distribuyen normalmente, lo que implica que, el precio de las acciones en cualquier
momento del futuro sigue una distribución lognormal (Ln (St / St-1) sigue una distribución
normal).
Rentabilidad esperada : rentabilidad media anual obtenida a corto plazo
Volatilidad del precio de las acciones : medida de la incertidumbre sobre los
movimientos futuros del precio de las acciones
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Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
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Notas
finales
Genealogía de Opciones (I)
Productos de primera generación: Opciones plain vanilla
Las posiciones básicas que se pueden tomar con una opción con sus
correspondientes perfiles de riesgo son:
Compra de una call
Compra de una put
Riesgo:
limitado al pago de la prima
limitado al pago de la prima
Beneficio:
potencial ilimitado
precio de ejercicio
Expectativas:
alcistas
bajistas
Venta de una call
Venta de una put
Riesgo:
ilimitado
precio de ejercicio
Beneficio:
limitado a la prima
limitado a la prima
Expectativas:
moderadamente bajistas
moderadamente alcistas
Productos de segunda generación: Opciones sintéticas
Su estructura esta formada por dos o más contratos “tradicionales” (futuros/forward,
opciones y swaps), con el objetivo de reducir el precio o prima del instrumento
resultante a cambio de disminuir su potencial de beneficios.
Combinaciones forward / opciones: range forwards, break forwards, forward parciales.
Combinaciones de opciones: collars, cilindros, ratio spreads.
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Genealogía de Opciones (II)
Productos de tercera generación: Opciones exóticas
Son propiamente las opciones exóticas y suponen una modificación de alguna o varias
de las características de las opciones estándar.
Existe una gran variedad de opciones exóticas, que se incrementa cada día debido al
rápido proceso de la innovación financiera que se está dando en los mercados
financieros.
Se podrían clasificar según las siguientes categorías:
Opciones compuestas
Opciones path-dependent o con memoria
Opciones con pay-off modificado
Opciones time-dependent
Opciones multivariantes
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
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Notas
finales
Opciones compuestas
Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato
de opción. Se pueden clasificar en:
Call sobre una call: su comprador adquiere el derecho a comprar una opción call sobre un activo
subyacente.
Ccall = Max call (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0
Call sobre una put: el comprador adquiere el derecho a comprar una opción put sobre un activo
subyacente.
Cput = Max put (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0
Put sobre una call: el comprador adquiere el derecho a vender una opción call sobre un activo
subyacente.
Pcall = Max E2 – call (S, E1, , r, q, T2); 0
Put sobre una put: el comprador adquiere el derecho a vender una opción put sobre un activo
subyacente
Pput = Max E2 – put (S, E1, , r, q, T2); 0
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
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Notas
finales
Opciones exóticas: opciones path dependent (I)
Son aquellas opciones cuyo valor intrínseco al vencimiento no solo depende del
valor del activo subyacente al vencimiento, sino también de la evolución
particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opción.
Se pueden clasificar en:
Dependientes de limite / extremo: tienen una dependencia especifica del valor máximo o mínimo
alcanzado por el activo subyacente durante la vida de la opción ya sea a efectos del calculo de su
pay-off, de la determinación del precio de ejercicio o, por ejemplo, por la existencia de mecanismos de
activación o desactivación de la opción.
Opciones barrera: estándar, con barrera parcial, con barrera múltiple, con barrera exógena, ...
Opciones lookback: con precio de ejercicio fijo o flotante
Opciones ladder:
CT= Max. (ST-E), Max. (LA-E), 0
PT= Max (E-ST), Max (E-LA), 0
Opciones Cliquet
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Límites de
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Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
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Notas
finales
Opciones exóticas: opciones path dependent (II)
Asiáticas: dependen directamente de la evolución del activo subyacente durante la vida de la opción,
ya que el precio utilizado para su liquidación o el propio precio de ejercicio se obtienen como una
media (aritmética, geométrica) del precio del subyacente que se calcula en base a una frecuencia
predeterminada (diaria, semanal, mensual, etc.)
De tipo de cambio medio o con strike fijo (asiáticas)
CT= Max 0, S – E
/ PT= Max 0, E – S
De media ponderada
Con precio de ejercicio medio
De media aritmética
De media geométrica
Opciones apalancadas o Leveraged: su valor intrínseco a vencimiento viene dado por una función
polinomial o potencial, de forma que ofrecen un mayor nivel de apalancamiento.
Opciones polinomiales
Opciones potenciales
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Límites de
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Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
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Notas
finales
Opciones condicionales o con pay-off modificado
Son opciones cuyo pay-off final, a diferencia del perfil continuo del pay-off de una opción estándar
(cero o la diferencia respecto al strike), es de naturaleza discontinua, es decir, pagan cero o una
cantidad prefijada (que puede ser variable) si expiran in-the-money.
Digitales o binarias: proporcionan al inversor un pay-off predeterminado solo si al vencimiento la
opción expira in-the-money.
Cash-or-nothing
CT: 0 si S  E y K si S > E
PT: 0 si S  E y K si E > S
Asset-or-nothing
CT: 0 si S  E y S si S > E
PT: 0 si S  E y S si E > S
Binary gap
Cash or nothing call (put) sobre dos activos
Cash or nothing up-down (down-up) sobre dos activos
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Límites de
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Black
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Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
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Notas
finales
Opciones exóticas: Opciones time-dependent
Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se
designan aquellas que poseen una estructura “especial” de fechas de ejercicio o aquellas en
las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna característica
de la opción o el valor intrínseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en:
Opciones Bermuda: son un híbrido entre opciones europeas y americanas en las que el
ejercicio anticipado es posible pero solo en una serie predeterminada de fechas.
Opciones Chooser: opciones as-you-like-it, permiten al comprador decidir en una fecha futura si
quiere que su opción sea una CALL o una PUT estándar:
Opciones Chooser simples
Opciones Chooser complejas
Forward start options: opciones de tipo europeo por las que se paga la prima en el momento de
su contratación pero que solo comienzan a estar vigentes a partir de una fecha futura.
Opciones con vencimiento extensible
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Límites de
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Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
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Notas
finales
Opciones exóticas: opciones sobre varios subyacentes
Opciones basket o cesta: el pay-off de la opción es función del comportamiento agregado de una serie
de activos que conforman, con unos pesos determinados, una cesta. Efecto diversificación:
CT = Max  0, i ( w i x Sni ) - E
PT = Max  0, E – i ( w i x Sni )
Opciones Rainbow (n colores): el pay-off de la opción se determina a partir de la relación al vencimiento
de múltiples (n) activos.
Opciones sobre dos activos intercambiables, u opciones “exchange
Opciones que entregan el mejor de dos activos
Opciones que entregan el peor de dos activos
Opciones que entregan el mejor de dos activos o dinero
Opciones sobre el mejor de dos activos: valor a vencimiento
Opciones sobre el peor de dos activos
Opciones best/worst performer (de n activos): estas opciones pagan el máximo o el mínimo de varios
activos.
Opciones ligadas al tipo de cambio: dependen explícitamente de un solo activo, pero en las que
interviene el tipo de cambio, por lo que su valoración se ve afectada por movimientos tanto del activo
subyacente como del tipo de cambio. Son
conocidas como “quantos” (quantiy-adjusted options)
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
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Notas
finales
Introducción
A través del arbitraje se pueden obtener unos límites mínimos, que aún no siendo en sí
mismos la prima de la opción, son una referencia de valoración.
Los límites se pueden obtener para:
Tipo de opción: Call - Put.
Tipo de opción (ejercicio): europea - americana.
Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos divisas.
Programa: Opciones_limites.xls.
Ubicación:
Hoja Call Eur sin Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo
subyacente que no distribuye dividendos
Hoja Put Eur sin Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo
subyacente que no distribuye dividendos
Hoja Call Eur Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo
subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
Hoja Put Eur Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo
subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Aplicación
Opciones Financieras
Objetivo: aplicación de límites de
valoración, valor temporal e
intrínseco.
Programa:
Valor intrínseco y temporal - Límites de valoración
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Tasa de dividendos
Nº iteraciones (binomial)
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
12.00
11.85
3.500%
23.25%
1.000%
31
1
365
3.440%
1200
1185
3500
2325
1000
31
1000
Call
Put
1.39
0.83
1.31
0.87
1.39
0.87
Paridad Put Call
S+P
VA(X)+C
12.83
12.83
12.75
12.75
Black Scholes
Black Scholes dividendos
Binomial - Americanas
Black Scholes
Black Scholes dividendos
Put Europea sin dividendos
Opciones_limites.xls.
6.00
5.00
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
13.64
14.19
14.73
15.28
15.83
16.37
16.92
17.47
4.00
Valor opción - Límite
Variables a suministrar.
3.00
2.00
1.00
0.00
Fecha de valoración.
6.53
7.63
8.72
9.81
10.91
12.00
13.09
14.19
15.28
16.37
17.47
-1.00
Limite inferior
Fecha de vencimiento.
Valor opción
Valor intrínseco
Valor temporal
St
6.0
Volatilidad subyacente.
(rentabilidad de deuda tesoro).
Tasa de dividendos.
Valor opción - Límite
Tasa de descuento
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47
Valor intrínseco
Modelos de Valoración de Opciones
Valor temporal
St
17
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Arbitraje
Objetivo: existen cuatro módulos de
arbitraje que determinan la estrategia a
adoptar en caso de que la prima de la
opción no respete el límite de valoración.
Programa:
Opciones Financieras
Límites de valoración
Opciones_limites.xls.
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
20.00
18.00
10.000%
30.15%
1
365
9.531%
Precio de ejercicio.
Mínimo teórico Call Europea sin dividendos
Fecha de valoración.
Mínimo teórico Call Europea
Precio observado de la call
2000
1800
10000
3015
1000
3.7129
2.0000
Se puede arbitrar
Estrategia
Fecha de vencimiento.
Cash Flow
Volatilidad subyacente.
Comprar la opción Call
Vender la acción
Cash Flow neto
Inversión del CF
Tasa de descuento (rentabilidad
de deuda tesoro).
-2
20
18
19.89307653
Al final del período
St
Resultado Call
Resultado en subyacente +/- prima
Resultado total
Sí St es
Sí St es
mayor que menor que
18 p.ej 22,5 18 p.ej 13,5
22.50
13.50
4.50
0.00
-2.61
6.50
1.89
6.50
Tasa de dividendos continua.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Modelos de Valoración de Opciones
18
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
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Notas
finales
Funciones VBA
Alternativamente al análisis desarrollado, se pueden utilizar las siguientes funciones:
Función
Propiedades_Opciones
LimiteInferior_Call_futuros(F , K , t , r )
LimiteInferior_Put_futuros(F , K , t , r )
LimiteInferior_Call_Eur(S , K , t , r )
LimiteInferior_Put_Eur(S , K , t , r )
LimiteInferior_Call_Ame(S , K )
LimiteInferior_Put_Ame(S , K )
PPC_valor_put(S , K , t , r , Prima_Call )
PPC_valor_call(S , K , t , r , Prima_Put )
PPC_DividendosTasa_valor_put(S , K , t , r , q , Prima_Call )
PPC_DividendosTasa_valor_call(S , K , t , r , q , Prima_Put )
PPC_Divisas_valor_put(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Call )
PPC_Divisas_valor_call(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Put )
PPC_DividendosCP_valor_put(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Call )
PPC_DividendosCP_valor_call(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Put )
Dist_Lognormal_LnSt_media(S , t , v , rent_esperada )
Dist_Lognormal_St_esperanza(S , t , rent_esperada )
Dist_Lognormal_St_varianza(S , t , v , rent_esperada )
Dist_Lognormal_LnSt_desvstand(v , t )
Dist_Lognormal_LnSt_LimInfer(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )
Dist_Lognormal_LnSt_LimSuper(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )
Descripción
Valor mínimo para la prima de un Call en Futuros
Valor mínimo para la prima de un Put en Futuros
Valor mínimo para la prima de un Call Europea
Valor mínimo para la prima de un Put Europea
Valor mínimo para la prima de un Call Americana
Valor mínimo para la prima de un Put Americana
Prima de un Put de un activo subyacente que no reparte dividendos
Prima de un Call de un activo subyacente que no reparte
Prima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos en
Prima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos
Prima de un Put de una divisa obtenida por la paridad put-call
Prima de un Call de una divisa obtenida por la paridad put-call
Prima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos
modelo CP obtenida por la paridad put-call
Prima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos
modelo CP obtenida por la paridad put-call
Media del Ln(Precio) - Distribución Lognormal
Esperanza del Precio - Distribución Lognormal
Varianza del Precio - Distribución Lognormal
Desviación Típica del Ln(Precio) - Distribución Lognormal
Intervalo de confianza. Límite inferior para en Ln(St) - Media del
Ln(Precio) - Distribución Lognormal
Intervalo de confianza. Límite superior para en Ln(St) - Distribución
Lognormal
Modelos de Valoración de Opciones
19
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Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
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Notas
finales
Introducción
En 1973 Fisher Black y Myron Scholes contribuyeron de manera decisiva al desarrollo de
la economía financiera al establecer las bases de la valoración de opciones financieras
europeas.
Dada su importancia, se ha utilizado extensivamente sus resultados en diversas áreas, a
saber:
Cálculo de sensibilidades o griegas.
Estrategias con opciones: perfil de beneficios y sensibilidades.
Opciones reales.
Modelos de Valoración de Opciones
20
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Determinación de la prima de opciones CALL y PUT
Call  S N(d1 )  X e rT  N(d2 )
Nd1   Probd1   N(0,1)


ln S X  r  σ2 2  T
d1 
σ T
N- d1   Prob- d1   N(0,1)
Nd2   Probd2   N(0,1)


ln S X  r  σ2 2  T
d2 
 d1  σ T
σ T
N- d2   Prob- d2   N(0,1)
Put  X e rT  N( d2 )  S N( d1 )
Modelos de Valoración de Opciones
21
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Griegas
Los programas desarrollados son tres, a saber:
Black_Scholes_griegas.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas sin reparto de
dividendos.
Black_Scholes_griegas_dividendos.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas que
distribuyen dividendos.
Black_Scholes_griegas_divisas.xls – análisis de sensibilidad para divisas.
Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:
Tipo de opción: Call - Put.
Tipo de opción (ejercicio): europea.
Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos - divisas.
Las hojas de cálculo permiten:
Obtenerse un completo análisis gráfico en dos y tres dimensiones con tablas de sensibilidad para
los siguientes parámetros:
Prima de un Call, prima de un Put, delta Call, delta Put, gamma, Put,Rho Call, Rho Put, theta Call, theta Put,vega.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de
la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de iteraciones.
Modelos de Valoración de Opciones
22
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Cálculo de griegas (I)
dN(d1)/dd1
 N(d1)
1

e
 d1
2 Π
(d1 ) 2

2
dN(d2)/dd2
 N(d2 )
1

e
 d2
2 Π
2

d1 σ T 

2
Dc Call Delta
Call Delta Δ 
Call
 N(d1)  0
S
Dp Put Delta
Put Delta Δ 
Put
 1 N(d1)  0
S
•Sensibilidad de la prima a las
variaciones del precio del
subyacente.
•Probabilidad de que la opción
sea ejercida.
Modelos de Valoración de Opciones
23
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Notas
finales
Cálculo de griegas (II)
g Gamma
 2Call  2Put
1
N(d1 )
Gammaγ  2  2 

0
S
 S S  σ  T d1
Vega
Vega 
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
 Call  Put
 N(d1 )

 S T 
0
σ
σ
 d1
•Sensibilidad de la Delta a los
cambios del precio del
subyacente (delta de la delta).
•Indica la velocidad de los
ajustes para posiciones de la
delta neutral.
•Sensibilidad de la opción a las
variaciones de la volatilidad
implícita negociada en el
mercado.
•Su signo es positivo para las
compras de opciones y
negativo para las ventas de
opciones.
r Call Rho
Call Rho ρ 
r Put Rho
Put Rho ρ 
Call
 K  T  N(d2 )  erT  0
r
•Sensibilidad de la opción a las
variaciones en el tipo de interés
Put
 K  T  1 N(d2 ) erT  0
r
Modelos de Valoración de Opciones
24
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
q Call Theta
CallTheta 
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Cálculo de griegas (III)
 Call S σ  N(d1 )


 R K erT  N(d2 )  0
T
2  T  d1
q Put Theta
Put S  σ N(d1 )
Put Theta 


 R  K  erT  1  N(d2 )  0
T 2  T d1
•Sensibilidad de la
prima de la opción al
paso del tiempo.
•En general tiene valor
q Call Theta diaria
 Call 
Call ThetaDiaria  
 365días
 T 
q Put Theta diaria
positivo, i.e, a mayor
plazo mayor prima.
 Put 
Put ThetaDiaria  
 365días

T


Modelos de Valoración de Opciones
25
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Griegas
Variables a suministrar
Activo sin dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
MODELO DE BLACK SCHOLES
Análisis de sensibilidad del parámetro Rho Call - POSICIÓN LARGA
Tipo de cambio spot
Tipo de cambio strike
Tipo de interés anual local
Volatilidad
Rentabilidad moneda extranjera
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
S*exp(-r_ext*t)+P
VA(X)+C
Activo con dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Tasa de dividendos.
CALL
25.75
26.50
3.250%
29.75%
2.01%
1
365
3.198%
28.4584
28.458441
2575
2650
3250
2975
201
1000
Prima
Griegas
Delta
Gamma
Theta
Theta diaria
Vega
Rho
Call
2.80585
Put
3.221
0.527
0.051
-1.568
-0.004
0.100
0.108
-0.453
0.051
-1.242
-0.003
0.100
-0.149
Cálculos intermedios
0.094
d1
-0.204
d2
0.537
N(d1)
0.419
N(d2)
0.463
N(-d1)
0.581
N(-d2)
0
PUT
Se utilizará para graficar las griegas. Es independiente de graficar la prima de la opción (lista desplegable)
Parámetro Rho Call: sensibilidad al tipo de cambio
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
-0.05
Divisas.
0
5
10
21
15
26
31
36
41
Tipo de cambio spot
Tipo de cambio spot.
Tipo de cambio strike.
Tipo de interés anual local.
Volatilidad.
Rentabilidad moneda extranjera.
Tiempo al vencimiento. (años).
Modelos de Valoración de Opciones
26
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Griegas – Activos que no distribuyen dividendos
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas.xls, se pueden
utilizar las siguientes funciones:
Descripción
Función
Black_Scholes - Activo subyacente que no distribuye dividendos
Parámetro d1
d_1(S , K , t , r , v )
Parámetro d2
d_2(S , K , t , r , v )
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1
Nd_1(S , K , t , r , v )
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2
Nd_2(S , K , t , r , v )
Prima de un Call por Black-Scholes
BS_Call(S , K , t , r , v )
Prima de un Put por Black-Scholes
BS_Put(S , K , t , r , v )
Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1 respecto al
dNd1_dd1(S , K , t , r , v )
parámetro d1
Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2 respecto al
dNd2_dd2(S , K , t , r , v )
parámetro d2
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Delta_BS_Call(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Delta_BS_Put(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente
Gamma_BS(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Theta_BS_Call(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Theta_BS_Put(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente
Vega_BS(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés
Rho_BS_Call(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés
Rho_BS_Put(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
ThetaDiaria_BS_Call(S , K , t , r , v )
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
ThetaDiaria_BS_Put(S , K , t , r , v )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call
vol_implic_BS_call(S , K , t , r , CallBS )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
vol_implic_BS_put(S , K , t , r , PutBS )
Modelos de Valoración de Opciones
27
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua)
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_dividendos.xls, se
pueden utilizar las siguientes funciones:
Función
Descripción
Black_Scholes_Dividendos - Activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
d1_dividendos(S , K , t , r , v , q)
Parámetro d1
d2_dividendos(S , K , t , r , v , q)
Parámetro d2
Nd1_dividendos(S , K , t , r , v , q)
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1
Nd2_dividendos(S , K , t , r , v , q)
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2
BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Prima de un Call por Black-Scholes
BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Prima de un Put por Black-Scholes
Delta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Delta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Gamma_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente
Vega_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente
Rho_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés
Rho_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés
Theta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Theta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
ThetaDiaria_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
ThetaDiaria_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
vol_implic_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call
vol_implic_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Modelos de Valoración de Opciones
28
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Garman Kohlhagen - Griegas
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_divisas.xls, se
pueden utilizar las siguientes funciones:
Descripción
Función
Black_Scholes_Divisas
d1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)
d2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)
Nd1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)
Nd2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)
BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Delta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Delta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Gamma_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Vega_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Rho_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Rho_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Theta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
Theta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
ThetaDiaria_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
ThetaDiaria_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)
vol_implic_BS_call_divisas(S , K , t , r_local , CallBS , r_extranjera )
vol_implic_BS_put_divisas(S , K , t , r_local , PutBS , r_extranjera )
Parámetro d1
Parámetro d2
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada
estándar d1
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada
estándar d2
Prima de un Call por Black-Scholes
Prima de un Put por Black-Scholes
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
el precio del activo subyacente (Delta)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
el precio del activo subyacente (Delta)
Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante
variaciones en el precio del activo subyacente
Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la
volatilidad del activo subyacente
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
el tipo de interés
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
el tipo de interés
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
el tiempo al vencimiento (en años)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
el tiempo al vencimiento (en años)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
el tiempo al vencimiento (en días)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
el tiempo al vencimiento (en días)
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Modelos de Valoración de Opciones
29
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Análisis de estrategias
Objetivo: analizar el perfil de resultados y
sensibilidades de la conjunción de
diversos activos (opciones y acciones)
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls
Ubicación:
Hoja Analisis de posiciones
Variables a suministrar
Precio acción subyacente
Precio de ejercicio
Vencimiento (días)
Volatilidad
MODELO DE BLACK SCHOLES
Análisis de estrategias
Black_Scholes_Opciones_reales
Precio accion subyacente
Precio de ejercicio
Vto (días)
Volatilidad
Tipo de descuento
Vto (años)
30.50
30.00
90 90
23.75% 2375
3.490% 3490
0.25
Tipo de activo (opción u acción)
Número de títulos
Análisis:
Perfil de resultados
Sensibilidades de los activos ante
variaciones del activo subyacente
(griegas)
Desv. Estand. Precio acción
Diaria
Semanal
Hasta vto.
0.46
1.00
4.33
Número de
títulos
300
Tipo
(S/C/P)
S
Precio
Ejercicio
30.00
9,150.00
Volatilidad
implícita
N/A
-150
C
30
-273.95
-273.95
23.75%
-200
P
30
Total
-213.89
8,662.16
0
-213.89
8,662.16
23.75%
Número de
títulos
300.00
(150.00)
(200.00)
Tipo
(S/C/P)
S
C
P
Precio teórico Precio efectivo
9,150.00
Griegas
Delta
Gamma
Vega
Theta (diaria)
Rho
300.00
(91.01)
78.65
287.64
0.00
(16.04)
(21.39)
(37.43)
0.00
(8.73)
(11.64)
(20)
0.00
1.39
1.29
3
0.00
6.16
(6.44)
(0)
495.69
(150.38)
129.95
VaR diario
Var semanal
475.27
(216.08)
(477.29)
VaR (nivel de confianza)
Número de
Tipo
VaR diario
títulos
(S/C/P)
300.00
S
225.17
(150.00)
C
(68.31)
(200.00)
P
59.03
215.89
Tipo de descuento
3050
3000
95%
Var semanal
Bº/Pª = Valor de la posición -VF(Coste de la posicion)
Resultados (Bº/Pª) vs días al vto.
St
1.00
16.00
31.00
46.00
27.00
-112.10
-119.42
-141.26
-171.39
27.35
-42.13
-52.75
-82.15
-118.65
27.70
27.83
11.42
-27.13
-70.38
28.05
97.80
71.82
22.89
-27.21
28.40
167.77
126.92
67.01
10.33
28.75
237.72
175.01
104.40
41.75
29.10
307.39
214.44
134.37
66.71
29.45
373.70
243.79
156.41
84.95
29.80
423.08
262.09
170.23
96.37
30.15
434.32
268.94
175.79
101.00
30.50
406.04
264.58
173.26
98.99
30.85
358.54
249.80
163.05
90.62
31.20
306.59
225.83
145.72
76.25
31.55
254.14
194.15
121.96
56.33
31.90
201.66
156.31
92.54
31.36
32.25
149.19
113.76
58.26
1.85
32.60
96.71
67.79
19.89
-31.65
32.95
44.24
19.42
-21.83
-68.63
33.30
-8.24
-30.55
-66.24
-108.58
33.65
-60.71
-81.55
-112.77
-151.04
34.00
-113.19
-133.19
-160.94
-195.60
-0.84
-13.44
-26.03
-38.63
Interés
Modelos de Valoración de Opciones
Confianza
61.00
-204.72
-156.99
-113.77
-75.47
-42.46
-15.03
6.60
22.32
32.09
35.96
34.07
26.64
13.93
-3.72
-25.96
-52.38
-82.60
-116.21
-152.83
-192.07
-233.58
-51.22
76.00
-239.16
-195.47
-156.18
-121.60
-91.98
-67.51
-48.33
-34.49
-26.00
-22.78
-24.72
-31.64
-43.31
-59.48
-79.86
-104.14
-132.00
-163.13
-197.20
-233.90
-272.94
-63.82
95.00%
90.00
-271.52
-230.94
-194.64
-162.86
-135.76
-113.49
-96.12
-83.69
-76.18
-73.51
-75.58
-82.22
-93.25
-108.45
-127.58
-150.38
-176.58
-205.91
-238.11
-272.91
-310.05
-75.58
1.959962787
Rango
-1.96
-1.76
-1.57
-1.37
-1.18
-0.98
-0.78
-0.59
-0.39
-0.20
0.00
0.20
0.39
0.59
0.78
0.98
1.18
1.37
1.57
1.76
1.96
30
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración - Activo sin dividendos
Black_Scholes_y_derivaciones.xls
Ubicación:
Precio del activo subyacente en t=o (S)
Precio de ejercicio (K)
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento
Volatilidad subyacente
Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro)
Tiempo al vto. (años)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
8.25
8.00
28/05/2004
24/11/2004
22%
3.250%
0.493
0.984
180
3.20%
Prima del Call (Black-Scholes)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.7142
0.3371
Cálculos
ln(S/K)
(r + v^2/2) T
v T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5)
d2 = d1 - v t (.5)
N(d1)
0.0308
0.0280
0.1567
0.3753
0.2186
0.6463
Precio de ejercicio
N(d2)
0.5865
N(-d1)
0.3537
Fecha de valoración
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
S N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.4135
7.8729
5.3319
4.6177
0.7142
2.9181
3.2552
0.3371
Hoja BS convencional
Variables a suministrar
Precio del activo subyacente
Fecha de vencimiento
Volatilidad subyacente
Prima del Call - Valor intrínseco
3.50
3.00
2.50
Prima
Programa:
MODELO DE BLACK SCHOLES
Activo sin dividendos
2.00
1.50
1.00
0.50
Tasa de descuento (rentabilidad de
deuda tesoro)
0.00
5.72
6.22
6.73
7.24
7.74
8.25
8.76
9.26
9.77
10.28
10.78
St
Valor Intrínseco Call
Valor Call
Valor Put
Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
0.60
Delta (N(d1)
Objetivo: valoración de opciones
europeas sobre acciones que no
distribuyen dividendos
0.40
0.20
0.00
-0.205.72
6.22
6.73
7.24
7.74
8.25
8.76
9.26
9.77
10.28
10.78
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Análisis:
St
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Perfil de resultados
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta)
Modelos de Valoración de Opciones
31
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazo
MODELO DE BLACK SCHOLES
Activo con dividendos - Fechas concretas - Modelo C/P
Dividendo nº 1
Dividendo nº 2
Dividendo nº 3
Dividendo nº 4
VA dividendos
Tiempo al vto. (años)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
Prima del Call (Black-Scholes)
Prima del Put (Black-Scholes)
Cálculos
ln((S-VA(Dividendos))/K)
(r + v^2/2) T
v * T ^.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5)
d2 = d1 - v t (.5)
N(d1)
9.15
8.50
28/05/2004
28/05/2005
32%
3.000%
Fecha de
percepción Importe
27/06/2004
0.25
11/08/2004
0.25
10/09/2004
0.50
25/10/2004
0.50
1.49
1.000
0.970
365
2.96%
Prima - Valor intrínseco
6.00
5.00
4.00
Prima
Precio del activo subyacente en t=o (S)
Precio de ejercicio (K)
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento
Volatilidad subyacente
Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro)
3.00
2.00
1.00
0.00
2.89
3.85
4.80
5.76
0.7371
1.3233
6.71
7.66
8.62
9.57
10.52
11.48
Valor Intrínseco Call
-0.1037
0.0800
0.3175
-0.0748
-0.3923
0.4702
Valor Call
Valor Put
Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
N(d2)
0.3474
0.60
N(-d1)
0.5298
0.40
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
(S-VA(Dividendos)) N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.6526
8.2488
3.6028
2.8657
0.7371
4.0598
5.3831
1.3233
0.20
0.00
-0.202.89
3.85
4.80
5.76
6.71
7.66
8.62
9.57
10.52
11.48
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
St - VA(Dividendos)
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones
12.43
St - VA(Dividendos)
Delta (N(d1)
Objetivo: valoración de opciones
europeas sobre acciones con un
calendario de reparto de dividendos a
corto plazo.
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS dividendos CP.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento (rentabilidad de
deuda tesoro).
Dividendos: importe y fechas de
percepción.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
32
12.43
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo)
A continuación se detallan las funciones que permiten obtener los parámetros de
sensibilidad y primas de estas opciones:
Función
Black_Scholes_DividendosCP
d1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)
d2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)
Descripción
Parámetro d1
Parámetro d2
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada
Nd1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)
estándar d1
Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada
Nd2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)
estándar d2
BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
Prima de un Call por Black-Scholes
BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
Prima de un Put por Black-Scholes
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
Delta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el precio del activo subyacente (Delta)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
Delta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el precio del activo subyacente (Delta)
Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante
Gamma_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
variaciones en el precio del activo subyacente
Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la
Vega_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
volatilidad del activo subyacente
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
Rho_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tipo de interés
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
Rho_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tipo de interés
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
Theta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tiempo al vencimiento (en años)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
Theta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tiempo al vencimiento (en años)
Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en
ThetaDiaria_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tiempo al vencimiento (en días)
Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en
ThetaDiaria_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)
el tiempo al vencimiento (en días)
vol_implic_BS_call_dividendosCP(S , K , t , r , CallBS , VA_Dividendos )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call
vol_implic_BS_put_dividendosCP(S , K , t , r , PutBS , VA_Dividendos )
Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Modelos de Valoración de Opciones
33
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración - Activo con reparto de dividendos en tasa continua
Objetivo: valoración de opciones europeas
sobre acciones con una tasa de reparto de
dividendos continua.
MODELO DE BLACK SCHOLES
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS dividendos continuos.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Black-Scholes - Tasa de dividendos continua
Precio del activo subyacente en t=o (S)
Precio de ejercicio (K)
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento
Tasa de dividendos (continua)
Volatilidad subyacente
Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro)
Tiempo al vto. (años)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
25.00
24.50
28/05/2004
12/07/2004
5.000%
24%
3.500%
0.123
0.996
45
3.44%
Prima del Call (Black-Scholes)
Prima del Put (Black-Scholes)
1.0561
0.6043
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + s2/2) T
s T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)
0.0202
0.0015
0.0825
0.2628
d2 = d1 - s t (.5)
0.1803
N(d1)
0.6036
N(d2)
0.5715
N(-d1)
0.3964
Prima del Call - Valor intrínseco
5.00
4.50
4.00
3.50
Prima
Programa:
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento (rentabilidad de
deuda tesoro).
Tasa de dividendos continua.
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.4285
24.3945
14.9984
13.9422
1.0561
9.8480
10.4523
0.6043
0.00
20.96
21.77
22.57
23.38
24.19
25.00
25.81
26.62
27.43
28.23
Valor Intrínseco Call
Valor Call
Valor Put
Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.2020.96
21.77
22.57
23.38
24.19
25.00
25.81
26.62
27.43
28.23
-0.40
Análisis:
-0.60
-0.80
Perfil de resultados.
-1.00
St
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones
29.04
St
Delta (N(d1)
Precio de ejercicio.
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
34
29.04
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración - Garman Kohlhagen - Divisas
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS divisas - Garman
Kohlhagen.
Variables a suministrar.
TC spot (cents./Unidad) (S).
Precio de ejercicio (K).
Fecha actual.
TC Spot (cents./unidad) (S)
Precio de ejercicio (K)
Fecha actual
Fecha de vencimiento
Volatilidad anualizada del TC
Rentabilidad letra tesoro
Rentabilidad título soberano extranjero
Días al vencimiento
Años al vto
Factor de descuento (doméstico), B(0,T):
Tasa de dto continuo compuesta (doméstica)
Factor de descuento (extranjero), Bf(0,T):
Tasa de dto continuo compuesta (extranjera)
90.000
0.247
0.9914
0.01%
0.9918
0.01%
Prima Call (cents.)
Prima Put (cents.)
6.8032
7.1633
Paridad Put-Call
B(0,T) K + call:
Bf(0,T)S(0) + put =
Cálculos
ln ([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)])
s2T/2
Fecha de vencimiento.
Volatilidad anualizada del TC.
Rentabilidad letra tesoro.
Rentabilidad título soberano
extranjero.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
99.35
99.75
28/05/2004
26/08/2004
35.75%
3.50%
3.35%
Prima del Call - Valor intrínseco
40.00
Prima (Garman-Kohlhagen
adaptación de Black-Scholes)
Programa:
MODELO DE BLACK SCHOLES
Garman Kohlhagen - Divisas - Black-Scholes
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
64.78
71.70
78.61
85.52
92.44
99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
TC Spot
105.696
Valor Intrínseco Call
Valor Call
Valor Put
Valor Intrínseco Put
105.696
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-0.004
1.00
0.016
0.80
s T (.5)
d1=(ln([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) +s2T/2)/sT (.5)
0.178
0.06821
0.60
d2 = d1 - s t (.5)
-0.1093
0.40
N(d1)
0.5272
N(d2)
0.456
N(-d1)
0.473
N(-d2)
0.544
Delta (N(d1)
Objetivo: valoración de opciones
europeas sobre acciones con una tasa
de reparto de dividendos continua.
0.20
0.00
64.78
-0.20
KB(0,T)
Prima Call (cents.)
Bf(0,T) S(0) N(d1)
98.893
6.80317
51.946
-0.40
B(0,T) K N(d2)
Prima Put (cents.)
TC forward teórico, f (0,T):
Call delta, Bf(0,T)N(d1):
45.142
7.16330
99.3868
0.5229
-0.80
Put delta, -Bf(0,T)N(-d1):
-0.4689
Modelos de Valoración de Opciones
71.70
78.61
85.52
92.44
99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
-0.60
-1.00
TC Spot
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
35
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración - Warrants
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja Warrants.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio del activo subyacente en t=o (S)
Precio de ejercicio (K)
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento
Tasa de dividendos (continua)
Volatilidad subyacente
Nº acciones en circulación
Nº warrants vivos
Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro)
Tiempo al vto. (años)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
15.65
17.25
28/05/2004
24/11/2004
5.000%
37.00%
750,000
15,000
3.500%
0.493
0.983
180
3.44%
Prima Warrant Call (Black-Scholes)
Precio ajustado de las acciones
Prima Warrant Put (Black-Scholes)
Precio ajustado de las acciones
0.8478
15.3598
2.7934
15.3979
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + s2/2) T
s T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)
-0.0973
0.0261
0.2598
-0.2743
Tasa de dividendos (continua).
d2 = d1 - s t (.5)
-0.5342
N(d1)
0.3919
Volatilidad subyacente.
N(d2)
0.2966
N(-d1)
0.6081
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Nº acciones en circulación.
Nº warrants vivos.
Tasa de descuento (rentabilidad de
deuda tesoro).
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
Prima del Call - Valor intrínseco
12.00
10.00
Prima del Warrant
Programa:
MODELO DE BLACK SCHOLES
Valoración de Warrants - Tasa de dividendos continua
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
64.78
71.70
78.61
85.52
Valor Intrínseco Call
0.7034
16.9548
5.9841
5.0291
0.9550
9.2847
11.9257
2.6410
92.44
99.35
106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
St
Valor Call
Valor Put
Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
0.60
0.40
Delta (N(d1)
Objetivo: valoración de warrants sobre
opciones europeas sobre acciones con
una tasa de reparto de dividendos
continua.
0.20
0.00
-0.2064.78
71.70
78.61
85.52
92.44
99.35
106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
St
Análisis:
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Modelos de Valoración de Opciones
36
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Valoración Warrants - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
Función
Warrants
Warrant_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
Warrant_Put_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
Warrant_Sajustado_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
Warrant_Sajustado_BS_Put_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
vol_implic_Warrant_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q , N_Acc , N_Warr )
vol_implic_Warrant_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q , N_Acc , N_Warr )
Descripción
Prima de un Call Warrant
Prima de un Put Warrant
Precio ejustado del subyacente al vencimiento de los Call Warrant
Precio ejustado del subyacente al vencimiento de los Put Warrant
Volatilidad implícita negociada en un Call Warrant
Volatilidad implícita negociada en un Put Warrant
Modelos de Valoración de Opciones
37
Descargar

Modelos de valoración de opciones