Modelos de Valoración de Opciones
Parte 2
Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández
Jorge Otero Rodríguez
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Opción de retrasar de un proyecto de inversión
Objetivo: valoración de la opción de retrasar un
proyecto de inversión.
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Opción de abandonar un proyecto de inversión
Hoja proyecto - retrasar.
Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja incrementales por
invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del
activo subyacente en t=o (S))
Inversión inicial requerida para acometer el
proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
VA de los flujos de caja en caso de continuar el
proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en
t=o (S))
Fondos recibidos en caso de abandonar el
proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
28/05/2004
Fecha de vencimiento de la opción de abandono
28/05/2014
Fecha de vencimiento del proyecto
Desviación típica del presupuesto de capital
requerido (simulación) ó desviación típica media
del valor de las empresas de la industria (equiv.
Volatilidad subyacente)
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar
a la opción)
Tiempo al vto. exclusividad (años)
Tiempo al vto. Contrato (años)
Ingresos marginales por cada año de espera para
ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de
dividendos (continua))
Factor de descuento
Días al vto.
28/05/2024
Valor de la opción de abandono - Valor intrínseco
285.00
350.00
290.00
30.00%
5.000%
10.000
20.000
Valor de la opción de abandono - Valor
intrínseco
Ubicación:
300.00
250.00
200.00
150.00
100.00
5.000%
50.00
0.00
0
0.602
3653
Tasa compuesta continua libre de riesgo
81
163
244
326
407
Valor de la opción de abandonar (equiv. Prima
del Put)
Desviación típica del presupuesto de capital
requerido (simulación) ó desviación típica
media del valor de las empresas de la
industria (equiv. Volatilidad subyacente)
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vto similar a la opción)
Análisis:
Perfil de resultados.
652
733
815
Valor Put
65.1294
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
d2 = d1 - vol t (.5)
N(d1)
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-0.0174
0.4379
0.9487
0.4433
1.00
-0.5054
0.60
0.6712
0.40
N(d2)
0.3066
N(-d1)
0.3288
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
570
4.88%
Valor Intrínseco Put
Fecha de vencimiento de la exclusividad
489
VA CF
0.6934
175.8939
116.0262
53.9343
62.0919
56.8351
121.9596
65.1246
0.80
0.20
0.00
-0.20 1
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Sensibilidad de la opción ante variaciones
del activo subyacente (delta).
Modelos de Valoración de Opciones
2
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Opción de expandir un proyecto de inversión
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Opción de expansión de un proyecto de inversión
Valor de la opción de expansión (equiv. Prima
del Call)
Valor de la opción de expasión - Valor intrínseco
1,000.00
1,150.00
28/05/2004
28/05/2016
3.000%
25.00%
5.000%
12.000
0.544
4383
4.88%
Valor de la opción de expasión - Valor
intrínseco
Estimación del VA de los flujos de caja
incrementales de la expansión (equiv. Precio del
activo subyacente en t=o (S))
Inversión inicial requerida para la opción de
expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento del proyecto
Costes marginales por esperar un año adicional
para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa
de dividendos (continua))
Desviación típica del presupuesto de capital
requerido (simulación) ó desviación típica media
del valor de las empresas de la industria (equiv.
Volatilidad subyacente)
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar
a la opción)
Tiempo al vto. (años)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
1,800.00
1,600.00
1,400.00
1,200.00
1,000.00
800.00
600.00
400.00
200.00
0.00
0
270
539
809
1,079
1,349
1,618
1,888
2,158
2,428
2,697
VA CF expansión
Valor Intrínseco Call
257.2404
Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
d2 = d1 - vol t (.5)
N(d1)
-0.1398
0.6005
0.8660
0.5320
-0.3340
0.7026
N(d2)
0.3692
N(-d1)
0.2974
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.6308
631.1334
490.2117
233.0005
257.2112
207.4646
398.1329
190.6683
Modelos de Valoración de Opciones
1.00
0.80
0.60
Delta (N(d1)
Objetivo: valoración de la opción de expandir
un proyecto de inversión.
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja proyecto - expandir.
Variables a suministrar.
Estimación del VA de los flujos de caja
incrementales de la expansión (equiv.
Precio del activo subyacente en t=o (S))
Inversión inicial requerida para la opción
de expansión (Equiv. Precio de ejercicio
(K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento del proyecto
Costes marginales por esperar un año
adicional para ejercer la opción de
expansión (equiv. Tasa de dividendos
(continua))
Desviación típica del presupuesto de
capital requerido (simulación) ó
desviación típica media del valor de las
empresas de la industria (equiv.
Volatilidad subyacente)
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vto similar a la opción)
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones
del activo subyacente (delta).
0.40
0.20
0.00
-0.200.00
404.61
809.22
1,213.83
1,618.45
2,023.06
2,427.67
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
VA CF expansión
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
3
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversión
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja proyecto - abandonar.
Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja en caso de
continuar el proyecto (equiv. Precio
del activo subyacente en t=o (S))
Fondos recibidos en caso de
abandonar el proyecto (Equiv. Precio
de ejercicio (K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento de la opción
de abandono
Fecha de vencimiento del proyecto
Desviación típica del presupuesto de
capital requerido (simulación) ó
desviación típica media del valor de
las empresas de la industria (equiv.
Volatilidad subyacente)
Tasa de dto (rentabilidad de deuda
con vto similar a la opción)
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Opción de retrasar un proyecto de inversión
VA de los flujos de caja incrementales por invertir
en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo
subyacente en t=o (S))
Inversión inicial requerida para acometer el
proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento de la exclusividad
Desviación típica del presupuesto de capital
requerido (simulación) ó desviación típica media
del valor de las empresas de la industria (equiv.
Volatilidad subyacente)
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar
a la opción)
Tiempo al vto. (años)
Costes marginales por cada año de espera para
ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de
dividendos (continua))
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
50.00
Valor de la opción de retrasar - Valor intrínseco
120.00
55.00
28/05/2004
28/05/2024
25.00%
5.000%
20.000
5.000%
Valor de la opción de retrasar Valor intrínseco
Objetivo: valoración de la opción de
abandonar un proyecto de inversión.
Programa:
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
0.363
7305
4.88%
16
32
48
64
80
Valor Intrínseco Call
Valor de la opción de retrasar (equiv. Prima del
Call)
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
d2 = d1 - vol t
N(d1)
(.5)
112
128
144
160
143.61
159.57
Valor Call
7.2931
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-0.0953
0.6008
1.1180
0.4521
-0.6659
0.6744
N(d2)
0.2527
N(-d1)
0.3256
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
96
VA CF proyecto
0.7473
20.2334
12.4051
5.1137
7.2914
5.9889
15.1197
9.1308
Modelos de Valoración de Opciones
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.200.00
15.96
31.91
47.87
63.83
79.78
95.74
111.70
127.65
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
4
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Opción de flexibilidad financiera de una empresa (I)
Objetivo: valoración de la flexibilidad financiera de una empresa.
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja Flexib finan.
Variables a suministrar.
Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de
mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas
sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos
disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv.
Precio de ejercicio del límite inferior (K))
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas
como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))
Fecha de valoración, Fecha de vto
Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad
subyacente)
WACC , RoC, Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Modelos de Valoración de Opciones
5
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Opción de flexibilidad financiera de una empresa (II)
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo
de Maniobra) como % del valor de mdo. de la empresa (equiv. Precio
del activo subyacente en t=o (S))
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la
empresa que pueden ser financiadas sin "flexibilidad financiera", i.e, en
caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos
disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor
de mercado de la empresa (Equiv. Precio de ejercicio del límite inferior
(K))
5.00%
Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la
empresa que pueden ser financiadas como máximo sí se dispone de
"flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))
20.00%
Fecha de valoración
Fecha de vto
Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la
empresa (equiv. Volatilidad subyacente)
WACC
RoC
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)
Tiempo al vto.
Apalancamiento financiero
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
Valor de las opciones Call
Valor de opción de flexibilidad financiera Valor intrínseco
10.00%
28/05/2004
28/05/2008
30.00%
12.00%
17.00%
3.500%
4.000
5.000%
0.868
1461
3.44%
0.20
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0.0%
5%
87%
146100%
3%
Límite inferior
Límite sup.
5.7973%
0.7423%
Valor de la flexibilidad financiera como % sobre el valor de la
empresa
Ha de compararse con el coste de mantenerla
Cálculos
ln(S/K)
(r + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
4.4%
6.5%
8.7%
10.9% 13.1% 15.2% 17.4% 19.6% 21.8%
Necesidades anuales de reinversión (% s/ V.Mdo. Emp.)
Valor Call Sup
Valor Call Inf
Valor Total
Valor Intrínseco Call Sup.
Valor Intrínseco Call Inf
2.1063%
0.6931
0.3176
0.6000
1.6846
-0.6931
0.0199
0.6000
-1.1222
d2 = d1 - vol t (.5)
N(d1)
1.0846
-1.7222
0.9540
0.1309
N(d2)
0.8609
0.0425
N(-d1)
0.0460
0.8691
0.1391
0.0435
0.0954
0.0374
5.7973%
0.0046
0.0060
0.14%
0.9575
0.1739
0.0131
0.0074
0.5697%
0.0869
0.1665
7.96%
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
S N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
2.2%
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
0.60
0.40
Delta (N(d1)
Perfil de resultados.
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Valoración de la flexibilidad financiera (deuda ociosa)
Valor de opción de flexibilidad financiera Valor intrínseco
Análisis:
0.20
0.00
-0.20
1
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Sup
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Inf
Modelos de Valoración de Opciones
TC Spot
Put Delta Bf(0,T)N(d1) Sup
Put Delta Bf(0,T)N(d1) Inf
6
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Valoración de los Recursos Propios
Objetivo: valoración de los recursos propios de
una compañía como una opción.
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Valoración de los Recursos Propios
Valor de mercado de la empresa. (equiv. Precio
del activo subyacente en t=o (S))
Nominal e intereses de la deuda pendiente (Equiv.
Precio de ejercicio (K))
Tasa de dividendos durante la vida de la opción
(anualizada)
Duración media de la deuda
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar
a la opción)
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja RR.Pp.
1,200.00
Valor de los Recursos Propios - Valor intrínseco
1,900.00
0.000%
Valor de los activos (VA flujos de caja
generados por éstos descontado al WACC).
(equivalente al Precio del activo subyacente
en t=o (S)).
Nominal e intereses comprometidos de la
deuda viva (equivalente al Precio de ejercicio
(K)).
Valor de los RR.PP como una opción Call
Valor de la deuda viva
Tasa de dto apropiada para la deuda
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
Duración media de la deuda.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vencimiento similar a la opción).
d2 = d1 - vol t (.5)
N(d1)
Volatilidad. En empresas cotizadas: se
utilizará la volatilidad media de las acciones y
bonos emitidos por la empresa. En empresas
no cotizadas: se utiliza la desviación típica de
la industria a la que pertenece la empresa.
200.00
150.00
100.00
Empresa no cotizada
Empresa cotizada
Desv. Tip. rendimiento de las acciones
Desv. Tip. rendimiento de los bonos
Correlación entre acciones y bonos
Ratio de apalancamiento medio previsto
(VM(D))/(VM(D)+VM(RP))
Volatilidad media
Empresa no cotizada
Desv. Tip. Media en la industria del valor de las
empresas
Volatilidad a emplear
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
Tasa de dividendos durante la vida de la
opción (anualizada).
250.00
8.000%
Enfoque de cálculo de volatilidad
Empresa cotizada
300.00
3.940
Existen dos vías para calcular la desviación típica. En empresas
cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos
emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la
desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa.
Variables a suministrar.
350.00
Valor RR.PP
Programa:
50.00
25.00%
10.00%
30%
825
9.00%
10.04%
0.726
1439
7.70%
35.1221
1164.8779
13.2%
919
1,013
1,106
1,200
1,294
1,387
1,481
1,575
1,669
VA CF generados por el activo
Valor Intrínseco Call
90%
10.04%
Valor Call
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
-0.4595
0.3231
0.1992
-0.6849
0.00
731.39
-0.20
825.12
918.84 1012.56 1106.28 1200.00 1293.72 1387.44 1481.16 1574.88 1668.61
-0.8841
0.2467
N(d2)
0.1883
N(-d1)
0.7533
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.00
731
0.8117
1386.3216
296.0433
261.0588
34.9845
903.9567
1125.2628
221.3061
Modelos de Valoración de Opciones
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
7
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Valoración de una patente
Objetivo: valoración de una patente como una
opción de compra.
Black_Scholes_opciones_reales.xls.
Ubicación:
Hoja patente.
Variables a suministrar.
VA de los flujos de caja de desarrollar la
patente ahora. (equivalente al Precio del
activo subyacente en t=o (S)).
VA de los costes de desarrollo de la
patente (equivalente al Precio de ejercicio
(K)).
Desviación típica del valor de las
empresas de la industria, o de los
presupuestos de capital de la patente
obtenidos en una simulación.
Duración de la exclusividad de la patente.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vencimiento similar a la opción).
Coste anual de retrasar la inversión (%
sobre el VA de los flujos de caja).
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Valoración de una patente
VA de los flujos de caja de desarrollar la patente
ahora. (equiv. Precio del activo subyacente en t=o
(S))
VA de los costes de desarrollo de la patente
(Equiv. Precio de ejercicio (K))
Desviación típica del valor de las empresas de la
industria, o de los presupuestos de capital de la
patente obtenidos en una simulación
Duración de la exclusividad de la patente
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar
a la opción)
Valor de una patente - Valor intrínseco
250.00
450.00
225.00
400.00
15.00%
350.00
25.00
5.000%
Asumimos que sí no se desarrolla la patente ahora, una vez que
se desarrolle se perderá 1 año de protección disminuyendo los
flujos de caja proporcionalmente (1/vida pendiente de la patente)
¿Aplicar la hipótesis anterior?
300.00
Valor Patente
Programa:
250.00
200.00
150.00
Si
No
100.00
No
Coste anual de retrasar la inversión (% sobre el
VA de los flujos de caja)
Tasa de dividendos durante la vida de la opción
(anualizada)
Factor de descuento
Días al vto.
Tasa compuesta continua libre de riesgo
Valor de la patente (equiv a opción Call)
50.00
2.000%
0.00
2.000%
0
0.281
9131
4.88%
62
124
185
247
309
371
432
494
556
618
555.75
617.50
VA CF desarrollo de la patente
Valor Intrínseco Call
Valor Call
91.6499
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
Cálculos
ln(S/K)
(r - q + vol2/2) T
vol T (.5)
d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5)
0.1054
1.0010
0.7500
1.4752
d2 = d1 - vol t (.5)
N(d1)
0.7252
N(d2)
0.7658
N(-d1)
0.0701
N(-d2)
KB(0,T) VA(K)
Se -qT N(d1)
KB(0,T) N(d2)
Prima del Call (Black-Scholes)
Se -qT N(-d1)
KB(0,T) N(-d2)
Prima del Put (Black-Scholes)
0.9299
0.2342
64.4636
141.0054
49.3676
91.6378
10.6273
15.0960
4.4687
Modelos de Valoración de Opciones
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.200.00
61.75
123.50
185.25
247.00
308.75
370.50
432.25
494.00
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
8
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural
Valor explotación de las reservas de un
recurso natural
Objetivo: valoración de la explotación de las
reservas de un recurso natural
Programa:
Black_Scholes_opciones_reales.xls
MODELO DE BLACK SCHOLES
Aplicación a opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural
Ubicación:
Reservas del recurso natural (unidades físicas)
75,000
Precio medio unitario del recurso en el mercado
4.00
Valoración de la explotación de un recurso natural Hoja recursos naturales
Coste marginal de extracción del recurso natural
1.50
Valor intrínseco
Inversión inicial requerida para que el recurso esté
450,000.00
en condiciones de explotación (Equiv. Precio de
175,000.00
Variables a suministrar
ejercicio (K))
400,000.00
Años hasta la pérdida de los derechos de
350,000.00
explotación o agotamiento de las reservas (equiv.
12.000
Reservas del recurso natural (unidades
Tiempo al vto. (años))
300,000.00
Flujo de caja anual después de impuestos tras la
10,000.00
físicas)
explotación del recurso natural
250,000.00
Desviación típica del precio del recurso natural
30%
200,000.00
(equiv. Volatilidad subyacente)
Precio medio unitario del recurso en el
Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a
5.000%
150,000.00
la opción)
mercado
Margen unitario del recurso natural
2.50
100,000.00
Estimación del VA de los flujos de caja procedentes
50,000.00
explotación del recurso natural (equiv. Precio
187,500.00
Coste marginal de extracción del recurso dedellaactivo
subyacente en t=o (S))
0.00
Flujo de caja anual después de impuestos tras la
natural
explotación del recurso natural (% anualizado)(equiv.
5.333%
Tasa de dividendos (continua))
Factor de descuento
0.549
Inversión inicial requerida para que el
VA CF de la explotación recurso natural
Días al vto.
4383
recurso esté en condiciones de
Valor Intrínseco Call
Valor Call
Tasa compuesta continua libre de riesgo
4.88%
Valor de la opción de explotación del recurso
explotación (equivalente al Precio de
40,083.56
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
natural (equiv. Prima del Call)
ejercicio (K))
Cálculos
1.00
ln(S/K)
0.0690
0.80
0.4855
Años hasta la pérdida de los derechos de (rvol- Tq + vol /2) T
1.0392
0.60
0.5335
0.40
explotación o agotamiento de las reservas d = ( ln(S/K) +(r -q + vol /2) t ) / vol t
-0.5057
d = d - vol t
0.20
N(d )
0.7032
(equivalente al Tiempo al vencimiento.
0.00
N(d )
0.3065
85,412.58 170,825.16 256,237.74 341,650.32 427,062.90 512,475.48
-0.200.00
N(-d )
(Años))
0.2968
-0.40
N(-d )
0.6935
-0.60
VA(K)
96042.0363
Flujo de caja anual después de impuestos KB(0,T)
-0.80
69520.6762
Se N(d )
KB(0,T) N(d2)
29440.5579
-1.00
tras la explotación del recurso natural
Prima del Call (Black-Scholes)
40,080.12
VA CF de la explotación recurso natural
29346.6533
Se N(-d )
Call Delta Bf(0,T)N(d1)
Put Delta Bf(0,T)N(d1)
KB(0,T) N(-d2)
66601.4784
Desviación típica del precio del recurso
Prima del Put (Black-Scholes)
37,254.83
natural (equivalente a la volatilidad
subyacente)
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda
con vencimiento similar a la opción)
Modelos de Valoración de Opciones
569,417
512,475
455,534
398,592
341,650
284,709
227,767
170,825
113,883
56,942
0
2
(.5)
2
(.5)
(.5)
2
1
1
2
1
Delta (N(d1)
1
2
-qT
1
-qT
1
9
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Black – Opciones sobre tipos de interés
Caplets - Floorlets
Objetivo: valoración de caplets / floorlets
o de una cartera de ellos (cap/floor).
Programa:
Black_opciones_tipos_interes.xls.
Ubicación:
Hoja Cap & Floor.
Variables a suministrar.
Fecha inicio.
Tipo de interés ejercicio.
Volatilidad.
Fecha vencimiento.
Nocional.
Curva cupón cero (sí se opta por
APLICACIONES DE BLACK SCHOLES
OPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS
Fecha inicio
Ti ejercicio
Volatilidad
Vencimientos (meses)
Nocional
Opción
Floor
Fecha
01/06/2002
4.15%
18.25%
1
10,700,000
Valor del floor en u.m.
35,614.92
En ptos. basicos sobre
nocional
33.28
Cap
Días al Venc.
01-Jun-02
01-Jul-02
01-Aug-02
01-Sep-02
01-Oct-02
01-Nov-02
01-Dec-02
01-Jan-03
01-Feb-03
01-Mar-03
01-Apr-03
01-May-03
01-Jun-03
1
0
30
61
92
122
153
183
214
245
273
304
334
365
Nocional
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
10,700,000
Factor de dto
1.00000
0.99842
0.99643
0.99386
0.99108
0.98716
0.98324
0.97913
0.97510
0.97093
0.96637
0.96176
0.95720
Tipos cupón
Tipos Forward
cero
1.95%
2.16%
2.48%
2.72%
3.13%
3.43%
3.66%
3.83%
4.02%
4.19%
4.35%
4.47%
2.32%
3.01%
3.36%
4.61%
4.78%
4.87%
4.80%
5.52%
5.48%
5.75%
5.53%
Valor floorlets
16,301.64
10,445.62
7,191.30
338.38
266.29
265.10
426.20
69.05
93.63
67.90
149.79
valorar un cap / floor).
Modelos de Valoración de Opciones
10
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Black – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
Función
Opciones_Ti
d1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
d2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Descripción
Nd1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Nd2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )
Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )
Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )
vol_implic_Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackcaplet )
vol_implic_Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackfloorlet )
Modelos de Valoración de Opciones
Parámetro d1
Parámetro d2
Función de probabilidad acumulada para la
variable normalizada estándar d1
Función de probabilidad acumulada para la
variable normalizada estándar d2
Prima de un Caplet por el modelo de Black
Prima de un Floorlet por el modelo de Black
Volatilidad implícita negociada en la prima de un
Caplet por el modelo de Black
Volatilidad implícita negociada en la prima de un
Floorlet por el modelo de Black
11
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Black – Opciones sobre tipos de interés - Swaptions
Objetivo: valoración de un
receiver/payer swaption.
Programa:
Black_opciones_tipos_inter
es.xls.
Ubicación:
Hoja Swaption.
Variables a suministrar.
Fecha inicio.
Tipo de interés ejercicio.
Volatilidad.
Fecha vencimiento.
APLICACIONES DE BLACK SCHOLES
CALCULO DE LA PRIMA DE UN RECEIVER SWAPTION
28/05/2004
28/05/2007
28/05/2011
6
6
11,000,000
5.25%
15.25%
Fecha contrat.
Fecha inicio
Fecha vto.
Vencimientos (meses)
Nominal
Ti ejercicio
Volatilidad
Flujo variable
Receiver
Valor Opción (u.m.)
210,574.75
En ptos. basicos sobre
nocional
191.43
Payer
FECHAS
Días al Venc.
Nominal
1095
11,000,000
28-May-04
28-May-07
28-Nov-07
28-May-08
28-Nov-08
28-May-09
28-Nov-09
28-May-10
28-Nov-10
28-May-11
Factor Dto.
1.00000
0.87063
0.84899
0.82781
0.80777
0.78869
0.76971
0.75043
0.73063
0.71112
Tipo cupón
cero
4.73%
4.78%
4.83%
4.85%
4.86%
4.87%
4.90%
4.94%
4.99%
Tipo Forward
0.00%
5.12%
2.17%
2.12%
2.07%
2.02%
1.97%
1.92%
1.87%
72.93%
Nocional.
Curva cupón cero.
Modelos de Valoración de Opciones
12
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Black – Valoración Swaptions - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
Función
Swaps
d1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
d2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
Descripción
Nd1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
Nd2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )
Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )
Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )
vol_implic_Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_payer , Suma_FDto )
vol_implic_Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_receiver , Suma_FDto )
Modelos de Valoración de Opciones
Parámetro d1
Parámetro d2
Función de probabilidad acumulada para la
variable normalizada estándar d1
Función de probabilidad acumulada para la
variable normalizada estándar d2
Prima de un swaption payer por el modelo de
Prima de un swaption receiver por el modelo de
Volatilidad implícita negociada en la prima de un
swaption payer por el modelo de Black
Volatilidad implícita negociada en la prima de un
swaption receiver por el modelo de Black
13
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales - Introducción
Una técnica muy útil y conocida para valorar una opción sobre acciones implica el uso de lo que se
conoce como árbol binomial. Éste es un árbol que representa diferentes trayectorias posibles que
pueden ser seguidas por el precio de las acciones durante la vida de la opción
El planteamiento seguido fue desarrollado en importante trabajo publicado por Cox, Ross y
Rubinstein en 1976
Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:
Tipo de opción: Call - Put
Tipo de opción (ejercicio): Europea - Americana
Tipo de activo subyacente: Sin reparto de dividendos - Con reparto de dividendos
Los programas desarrollados son cuatro, a saber:
Binomial_Europeas.xls – Valoración Opciones Europeas por el método binomial
Binomial_Europeas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Europeas por el método binomial
sobre acciones que distribuyen dividendos
Binomial_Americanas.xls – Valoración Opciones Americanas por el método binomial
Binomial_Americanas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Americanas por el método binomial
sobre acciones que distribuyen dividendos
Las hojas de cálculo permiten:
Obtenerse el árbol completo de valoración de una opción empleando hasta 100 iteraciones
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de
iteraciones
Modelos de Valoración de Opciones
14
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Fundamentos de valoración (I)
del activo subyacente
p
Evolución del precio
Introducción
1-p
S0
p
1-p
T: tiempo en años hasta el vencimiento
N: número de perídos
s: volatilidad anualizada
r*: tipo de interés libre de riesgo (continuo)
r: tipo de interés anual libre (compuesto)
Modelos de Valoración de Opciones
15
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Fundamentos de valoración (II)
Así el valor de las opciones CALL y PUT será
Para n períodos
Call  FD
n
{  j!(nn! j)!   p  (1  p)
n

j
j 0
Put  FD
n


{  j!(nn! j)!   p  (1  p)
n

j
j 0

n j

n j
n j
Máximo
0; u  d
Máximo
0; X - u  d
Modelos de Valoración de Opciones
j
j
S  X
n j
S
}
}
16
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales - Aplicación
Variables a suministrar
Activo sin dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
ÁRBOL BINOMIAL
Tipo de interés.
Valoración de opciones Europeas
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Nº iteraciones (max 100).
Activo con dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de opción
u
Activo subyacente So
26.85 2,685.00 d
Precio de ejercicio
27.25 2,725.00 Ti instantáneo
Tipo de interés
3.85% 385.00 r*
Meses (30 días)
7
7.00 p
Días
15
15.00 1-p
Volatilidad anualizada
22.65% 2,265.00 Volatilidad del período
Nº periodos (max 100)
9
9.00 Tiempo al vto (años)
Período de pago del dividendo
2
2.00 Nº de precios finales
Importe bruto dividendo
2.00 200.00
Reducción del precio ex divid.
90.00%
90.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tipo de interés.
38.49
11.38
Volatilidad anualizada.
36.26
9.22
Nº periodos (max 100).
34.16
7.21
Período de pago del dividendo.
Reducción del precio ex dividendo.
Call
Call
Put
1.2685
Put
1.0327
Paridad Put-Call
B(0,T) K + call:
27.88
Bf(0,T)S(0) + put =
27.88
Nº trayectorias del precio
9
43.37
16.12
40.86
13.68
Tiempo al vencimiento.
Importe bruto dividendo.
1.062
0.942
3.78%
1.0026
0.5071
0.4929
0.18
0.63
10.00
32.18
5.43
30.32
3.95
36.26
9.08
34.16
7.05
32.18
5.18
30.32
3.63
Modelos de Valoración de Opciones
38.49
11.24
34.16
6.91
32.18
5.00
30.32
3.29
30.32
3.07
17
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales – Funciones VBA
Alternativamente a las cuatro aplicaciones desarrolladas, sí únicamente se desea
conocer el precio de la opción calculada a través del método de árbol binomial, se
pueden utilizar las siguientes funciones:
Función
Binomial_General
Bin_Call_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones )
Bin_Call_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones )
Bin_Put_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones )
Bin_Put_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones )
Descripción
Bin_Call_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )
Bin_Put_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )
Bin_Call_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Put_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Binom(n , m )
Bin_up(v , t , n_iteraciones )
Bin_down(v , t , n_iteraciones )
Bin_probabilidad_p(v , r , t , n_iteraciones )
Bin_probabilidad_q(v , r , t , n_iteraciones )
Bin_Probabilidad_p_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones )
Bin_probabilidad_q_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones )
Prima de un Call Europeo
Prima de un Call Americano
Prima de un Put Europeo
Prima de un Put Americano
Prima de un Call Americano sobre divisas, índices o acciones
con distribución de dividendos
Prima de un Put Americano sobre divisas, índices o acciones
con distribución de dividendos
Prima de un Call - Simulación de Montecarlo
Prima de un Put - Simulación de Montecarlo
Probabilidad distribución Binomial
Incremento en el precio del activo subyacente en los
movimientos de ascenso en el árbol binomial (parámetro u)
Disminución en el precio del activo subyacente en los
movimientos de descenso en el árbol binomial (parámetro d)
Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un
árbol binomial
Probabilidad de descenso del precio del activo subyacente en
un árbol binomial
Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un
Probabilidad de descenso del precio del activo subyacente en
Modelos de Valoración de Opciones
18
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y Exóticas
La técnica de los árboles binomiales es de especial utilidad para determinar el precio de opciones
cuyo valor depende total o parcialmente de cómo se ha llegado al precio final, y no exclusivamente
de la cuantía de éste.
Pueden valorarse las siguientes opciones.
Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo
subyacente a lo largo de la vida de la opción.
Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción
será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.
Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor cero.
As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción
sea call o put.
El programa desarrollados se encuentra en el fichero Binomial_Exoticas.xls.
El programa permite:
Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo
subyacente.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción.
Modelos de Valoración de Opciones
19
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y Exóticas
Opciones Exóticas
Simulación Árboles Binomiales
Variables a suministrar
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
Activo subyacente So.
22.75
23.00
3.250%
18.50%
1
365
3.198%
2275
2300
3250
1850
1000
Número de simulaciones
Número de iteraciones
S knockout call
S knockout put
Valor de la opción
100
50
40
7
100
50
2
2
1.17
Call Asiática
10.00
9.00
Precio de ejercicio.
8.00
Tipo de interés.
Valor opción - Límite
7.00
Tiempo al vencimiento.
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
-1.00
Volatilidad anualizada.
14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0
Valor opción
Valor intrínseco
Valor temporal
St
10.00
9.00
Número de simulaciones.
S knockout call.
S knockout put.
8.00
Valor opción - Límite
Número de iteraciones.
16.98
17.80
18.63
19.45
20.28
21.10
21.93
22.75
23.57
24.40
25.22
26.05
26.87
27.70
28.52
29.35
30.17
31.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0
Valor intrínseco
Valor temporal
St
Resulta de especial utilidad comprobar como por ejemplo las opciones asiáticas al utilizar
una media y por tanto, atenuar las variaciones, abarata las opciones call, o como el valor
de una opción call se reduce al incrementar el nivel knockout. Así, podemos comprobar
empíricamente aquello que nos indica la intuición.
Modelos de Valoración de Opciones
20
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Árboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el
precio de la opción exótica calculada a través del método de árbol binomial, se pueden
utilizar las siguientes funciones:
Función
Binomial_Exoticas
Bin_Call_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Put_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Exotica_Call_o_Put(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Call_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout )
Bin_Put_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout )
Bin_Call_o_Put_Exotica_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max )
Bin_Call_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Call_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )
Modelos de Valoración de Opciones
Descripción
Prima de un Call asíatica
Prima de un Put asíatica
Prima de un opción As you like it
Prima de un Call Knockout
Prima de un Put Knockout
Prima de un opción As you like it Knockout
Prima de un Call Lookback en la que Sn =
min(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Call Lookback en la que Sn =
max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Put Lookback en la que Sn =
min(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Put Lookback en la que Sn =
max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de una opción As you like it en la que
Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de una opción As you like it en la que
Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n
21
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Introducción
La valoración de opciones exóticas, exige la utilización de procedimientos alternativos. Uno de ellos
consiste en simular diversas trayectorias del activo subyacente, y calcular de conformidad con los
fundamentos de la opción (asiática, lookback,....) su valor.
Pueden valorarse las siguientes opciones.
Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo
subyacente a lo largo de la vida de la opción.
Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción
será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.
Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor cero.
As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción
sea call o put.
El programa desarrollados se encuentra en el fichero Box_Muller_Exoticas.xls.
El programa permite:
Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo
subyacente.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción.
Modelos de Valoración de Opciones
22
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Simulación - Opciones Europeas y Exóticas
 Objetivo: valoración de opciones
europeas y exóticas sobre acciones
con una tasa de reparto de dividendos
continua.
 Programa:
•
Box_Muller_Exoticas.xls
Opciones Exóticas
Simulación Box Muller
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Tasa de dividendos
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
 Variables a suministrar
 Análisis:
•
Perfil de resultados de opciones
convencionales y exóticas en un
entorno de simulación de
Montecarlo.
1855
1900
3500
2350
500
1000
Número de simulaciones
Número de iteraciones
S knockout call
S knockout put
Valor de la opción
100
50
150
50
100
50
2
2
3.35
3.35
As you like it
10.00
8.00
Valor opción - Límite
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Tasa de dividendos continua.
Volatilidad anualizada.
Número de simulaciones
Número de iteraciones
S knockout call
S knockout put
6.00
4.00
2.00
0.00
10.01
11.71
13.42
15.13
16.84
18.55
20.26
21.97
23.68
25.39
27.09
-2.00
St
Valor opción
Valor intrínseco
Valor temporal
10.00
12.57
13.42
14.28
15.13
15.99
16.84
17.70
18.55
19.40
20.26
21.11
21.97
22.82
23.68
24.53
25.39
26.24
27.09
9.00
8.00
Valor opción - Límite
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
18.55
19.00
3.500%
23.50%
5.00%
1
365
3.440%
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
10.01
11.71
St
13.42
15.13
Valor intrínseco
Modelos de Valoración de Opciones
16.84
18.55
20.26
21.97
23.68
25.39
27.09
Valor temporal
23
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Simulación - Opciones Europeas y Exóticas
 Objetivo: ilustrar la simulación de
Montecarlo utilizada a través del
procedimiento Box Muller.
 Programa:
•
•
Box_Muller_Montecarlo.xls
Grafico_Sendas_precios.xls
 Variables a suministrar
•
•
•
•
•
•
•
•
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Tasa de dividendos continua.
Volatilidad anualizada.
Número de simulaciones
Número de iteraciones
Simulación Box Muller
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Tasa de dividendos
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
 Análisis:
•
•
•
Perfil de resultados de opciones
europeas y asiáticas en un entorno
de simulación de Montecarlo.
Tabla con precios generados y
estadísticos de resumen
Gráfico de sendas de precios (al
abrir actualizar vínculos)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
100.00
95.00
3.50%
22.30%
9.98%
3.00
1,096.46
0.03
0
0
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
10,000.00
9,500.00
3,500.00
2,230.00
998.00
3,004.00
4
1
96.17
99.57
97.30
102.56
103.99
101.21
94.98
102.42
100.70
97.24
97.68
102.24
104.05
99.64
99.99
102.45
2,000.00
2,000
Número de simulaciones
250.00
250
Número de iteraciones (max 250)
Puede consultar el precio medio de cada simulación en la última columna
261.15
Máximo
00:03:56
Tiempo Consumido
21.00
Mínimo
5.08
Call Asiática
90.01
Promedio
9.58
Put Asiática
240.15
Rango
6.77
Call Europea
24.95
Desv. Tipica
19.49
Put Europea
26
22
18
13
9
6
5
4
3
2
92.06
92.88
94.76
95.99
95.96
99.13
96.38
99.91
100.00
97.34
97.92
99.46
99.48
95.97
95.11
104.39
106.93
105.66
105.64
106.14
102.74
105.68
111.03
109.32
103.18
94.25
94.78
94.70
97.74
99.52
97.23
94.71
92.77
93.43
94.41
109.73
107.86
106.05
104.24
101.28
97.16
96.91
97.93
95.11
99.76
95.56
98.11
100.73
101.41
98.95
106.86
101.28
100.68
99.22
96.62
105.71
103.54
103.90
107.18
106.10
98.10
98.70
103.69
103.69
103.69
108.20
107.50
106.52
104.17
100.96
111.17
110.88
105.02
101.88
102.31
104.27
101.32
99.70
102.39
104.51
Modelos de Valoración de Opciones
24
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Simulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrolladas, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
Función
Box_Muller_Exoticas
BM_Call_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Put_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Call_o_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones )
BM_Call_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout )
BM_Put_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout )
BM_Call_o_Put_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max )
BM_Call_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Call_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Call_o_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
BM_Call_o_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )
Box_Muller_General
Box_Muller()
Variable normal generada mediante procedimiento Box Muller
BM_Call(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones )
Prima de un Call - Simulación Montecarlo
BM_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones )
Prima de un Put - Simulación Montecarlo
Modelos de Valoración de Opciones
Descripción
Prima de un Call asiático
Prima de un Put asiático
Prima de una opción As you like it
Prima de un Call Knockout
Prima de un Put Knockout
Prima de una opción As you like it Knockout
Prima de un Call Lookback en la que Sn =
max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Call Lookback en la que Sn =
min(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Put Lookback en la que Sn =
max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de un Put Lookback en la que Sn =
min(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de una opción As you like it en la que Sn
= max(St) ; t=0,1, .........,n
Prima de una opción As you like it en la que Sn
= min(St) ; t=0,1, .........,n
25
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Muestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de Moro
A los efectos de ilustrar el
procedimiento de extracción
de muestras de una
distribución normal (empleada
MUESTREO EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Algorítmos: Box Muller - Inversión de Moro
Distribución de frecuencias. Muestra de 10000 extracciones de una distribución Normal a
través del algorítmo de Moro
Algoritmo
Moro
Box Muller
1,200
100%
90%
posibilidad de extraer
muestras de hasta 20.000
observaciones por el
50%
40%
400
% Freq. Acum
60%
600
30%
20%
200
10%
Freq.
Promedio 
Mediana
Rango
Mínimo
Máximo
Estadísticos descriptivos - t
-0.011 Varianza s^2
-0.014 Desviación estandar s
8.319 Coef. Variación
-4.168 Curtosis (normal K=0)
4.151 Asimetría (normal s=0)
4.151
3.596
3.042
2.487
1.932
1.378
0.823
0.269
-0.286
-0.840
0%
-1.395
t
-1.950
0
-2.504
al.xls, que ofrece la
70%
-3.059
Muestreo_Distribucion_Norm
80%
800
-3.613
fichero
%
0.01%
0.02%
0.04%
0.07%
0.10%
0.30%
0.70%
1.26%
2.56%
4.74%
8.34%
13.29%
19.88%
29.24%
39.33%
50.21%
60.94%
71.24%
79.86%
1,000
-4.168
Wiener), puede consultar el
10,000
Freq.
en los procesos de Gauss-
Nº de extracciones (máximo 20.000)
Distribución de frecuencias - t
Clase
Freq.
%
Freq. Acum.
-4.168
1
0.01%
1
-3.891
1
0.01%
2
-3.613
2
0.02%
4
-3.336
3
0.03%
7
-3.059
3
0.03%
10
-2.781
20
0.20%
30
-2.504
40
0.40%
70
-2.227
56
0.56%
126
-1.950
130
1.30%
256
-1.672
218
2.18%
474
-1.395
360
3.60%
834
-1.118
495
4.95%
1,329
-0.840
659
6.59%
1,988
-0.563
936
9.36%
2,924
-0.286
1,009
10.09%
3,933
-0.009
1,088
10.88%
5,021
0.269
1,073
10.73%
6,094
0.546
1,030
10.30%
7,124
0.823
862
8.62%
7,986
Freq. Acum.
0.998
0.999
-91.7355102
0.049
-0.003
algoritmo de Box Muller o a
través de la Inversión de Moro
Modelos de Valoración de Opciones
26
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones
reales
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Simulación de Montecarlo
Relevancia del número de simulaciones
 Objetivo: ilustrar la importancia del
número de iteraciones en una
simulación de Montecarlo.
 Programa:
•
Montecarlo_factores.xls
 Variables a suministrar
•
Activo subyacente So.
•
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
•
Tiempo al vencimiento.
•
Volatilidad anualizada.
•
Número de simulaciones
•
Número de iteraciones
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Nº iteraciones (Binomial)
Nº simulaciones (Montecarlo)
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
23.50
24.25
3.440%
19.58%
50
1000
1
365
3.382%
2350
2425
3440
1958
50
1000
1000
Black Scholes
Binomial Eur
Binomial Ame
Control Variable
Montecarlo Box Muller
Montecarlo Binomial
Call
1.865
1.867
1.867
1.865
1.790
1.988
Put
1.795
1.811
1.915
1.900
1.822
2.006
Nº simulaciones
Nº iteraciones
•
Simulaciones de Montecarlo
Importancia del número de simulaciones
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
100
1.81
2.24
2.33
1.64
1.92
1.63
2.21
1.72
1.84
1.94
200
1.55
1.56
1.63
1.37
1.91
2.25
1.77
1.71
2.05
2.04
300
1.89
1.75
1.51
2.16
1.96
1.81
1.79
1.73
1.84
1.96
400
1.71
1.91
1.91
1.95
1.98
1.96
1.87
1.76
1.80
1.92
500
1.73
1.69
1.85
2.06
1.92
1.86
1.88
1.96
1.93
1.91
600
1.72
1.93
1.82
1.87
1.93
1.93
1.78
1.90
1.81
1.66
700
1.65
1.63
1.61
1.88
1.94
1.80
1.95
1.92
1.83
1.76
800
1.84
1.87
1.80
1.76
2.04
2.09
1.92
2.13
1.81
1.75
900
1000
1.93
1.99
1.87
1.86
1.95
1.81
1.89
1.94
1.92
1.99
1.96
1.98
1.90
1.71
1.84
1.85
1.67
1.87
1.86
1.92
 Análisis:
•
Tabla y gráfico en tres dimensiones
(iteraciones vs simulaciones) para
apreciar las variaciones en la prima.
Modelos de Valoración de Opciones
27
Introducción
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Opciones
reales
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Black Scholes: convergencias de valoración
 Objetivo: ilustrar la convergencia de
diversos métodos de valoración
respecto a la valoración de Black
Scholes.
 Programa:
•
Convergencias.xls
MODELO DE BLACK SCHOLES
Convergencia de métodos de valoración
Precio acción
Precio de ejercicio
Tipo de interés anual
Volatilidad
Nº iteraciones (Binomial)
Nº simulaciones (Montecarlo)
Tiempo al vto. (años)
(días)
Tipo de interés continuo
17.65
16.00
3.975%
28.45%
50
5000
1
365
3.898%
 Variables a suministrar
1765
1600
3975
2845
50
5000
1000
Black Scholes
Binomial Eur
Binomial Ame
Control Variable
Montecarlo Box Muller
Montecarlo Binomial
Call
3.2180484
3.2130563
3.2130563
3.2180484
3.1923038
3.2930684
Put
0.9445230
0.9513708
0.9840631
0.9772153
0.9352054
0.9988215
Paridad Put Call
S+P
VA(X)+C
18.5945230
18.5945230
18.6013708
18.6013708
Convergencia Binomial - Black Scholes
4
•
Activo subyacente So.
3.5
•
Precio de ejercicio.
2.5
Tipo de interés.
1.5
3
2
•
•
Tiempo al vencimiento.
1
0.5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
•
Volatilidad anualizada.
•
Número de simulaciones
•
Número de iteraciones
Call (Binomial Europea)
Call (Binomial Americana)
Put (Binomial Europea)
Put (Binomial Americana)
Modelos de Valoración de Opciones
Call (Black Scholes)
Call (Control Variable)
Put (Black Scholes)
Put (Control Variable)
28
Límites de
valoración
Black
Scholes
Opciones reales: extensiones
del modelo de Black Scholes
Opciones sobre
tipos de interés
Árboles
binomiales
Simulación de Montecarlo:
opciones europeas y exóticas
Notas
finales
Links de interés
Microsoft PowerPoint Viewer 97 (versión 2000)
Visor de presentaciones Power Point. Útil en caso de carecer de la aplicación
completa.
http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?displaylang=es&FamilyID=7C404
E8E-5513-46C4-AA4F-058A84A37DF1
Excel 97/2000 Viewer
Visor de hojas de cálculo Excel. Permite visualizar e imprimir una hoja de cálculo.
Útil en caso de carecer de la aplicación completa.
http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyID=4EB83149-91DA-41108595-4A960D3E1C7C&displaylang=EN
* Aplicaciones gratuitas y de libre distribución
Modelos de Valoración de Opciones
29
Descargar

Modelos de valoración de opciones