EL MÉTODO DE LA
SECANTE Y SECANTE
MODIFICADO
Métodos abiertos
El Método de la Secante


Se deriva del
método de
Newton-Raphson
Se aproxima la
derivada
mediante
diferencia finita
dividida hacia
atrás
x i 1  x i 
f ( x i ) 
f ( xi )
f ( x i )
f ( x i 1 )  f ( x i )
x i 1  x i
Fórmula de la Secante

Se obtiene la fórmula de la secante:
x i 1  x i 


f ( x i )( x i 1  x i )
f ( x i 1 )  f ( x i )
Se observa que este método requiere
2 valores iniciales de x.
Sin embargo, no se necesita que f(x)
cambie de signo, por lo que no es un
método cerrado.
Algoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1
2) Se calcula f(xi) y f(xi-1)
3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula
de la secante
4) Se vuelve al paso 2 para encontrar
una nueva raíz
Diferencia entre Secante y
Falsa Posición


Si recordamos la
fórmula de la falsa
posición:
Y vemos la fórmula
de la secante:
x r  xu 
x i 1  x i 
f ( x u )( x l  x u )
f ( xl )  f ( xu )
f ( x i )( x i 1  x i )
f ( x i 1 )  f ( x i )
Diferencia entre Secante y
Falsa Posición

Se diferencian
por la forma
en que uno de
los valores
iniciales se
reemplaza con
la
aproximación.
Ejemplo del Método de
Secante
Problema 6.5 (Chapra, Canale):
Determine la menor raíz real de:

f ( x )   11  22 x  17 x  2 . 5 x
2
3
a) Gráficamente
b) Usando el método de la secante para un
valor de Es con tres cifras significativas
Resolución Problema 6.5
f ( x )   11  22 x  17 x  2 . 5 x
2
a) Gráficamente
x
y
-1
30.5
-0.5
4.56
0
-11
1
-18.5
2
-7
3
8.5
4
13
5
-8.5
x   0 .4
3
Resolución Problema 6.5
f ( x )   11  22 x  17 x  2 . 5 x
2
b) Por el método de la secante (Es<0.05%)
Iteración
xi-1
xi
xi+1
Es(%)
1
-1
0
-0.2651
-
2
0
-0.2651 -0.4123
35.7
3
-0.2651 -0.4123 -0.3793
8.7
4
-0.4123 -0.3793 -0.3813
0.52
5
-0.3793 -0.3813 -0.3813
0.004
3
Método de la Secante
Modificado


Se aproxima la
derivada de la
función con un
método de cambio
fraccionario de la
variable.
Se reemplaza en la
ecuación de
Newton-Raphson
f ( x i ) 
f ( xi  xi )  f ( xi )
x i 1  x i 
xi
f ( xi )
f ( x i )
Fórmula de la Secante
Modificada
 Con lo que se obtiene la fórmula de la
secante modificada:
x i 1  x i 
xi f ( xi )
f ( xi  xi )  f ( xi )
Nótese que ahora solo se requiere un valor
de x inicial y el valor del cambio fraccionario.
Ejemplo del Método de
Secante Modificado

Problema 6.7 (Chapra, Canale):
Calcule la raíz real de x3.3=79, con el
método de la secante modificado que
cumpla con Es=0.1%. Intente diferentes
valores de δ y analice los resultados.
Resolución Problema 6.7
x
 Para δ=0.01
3 .3
 79
x=3.758707344
Iteración
xi
xi+δxi
xi+1
Es(%)
1
3.5
3.535
3.7803
-
2
3.7803 3.8181
3.7589
0.5
3
3.7589 3.7964
3.7587
0.005
Resolución Problema 6.7
x
 Para δ=0.1
3 .3
 79
x=3.758707344
Iteración
xi
xi+δxi
xi+1
Es(%)
1
3.5
3.85
3.7723
-
2
3.7723 4.1495
3.7592
0.3
3
3.7592 4.1351
3.7587
0.01
Ejemplo Programado en
MatLab …
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