Integrales
• Integrales Simples.
• Integrales Múltiples.
• Integrales de Superficie.
• Integrales en Línea.
Unidad IV
Integral doble
La integral doble
• Sea R una región cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una función
definida en un rectángulo que contiene a R.
Hacemos una partición del rectángulo que contiene a la región R en
n x n rectángulos, donde el k-ésimo rectángulo tiene dimensiones Xk
por Yk (no necesariamente iguales).
Luego evaluamos una función g(x,y) en algún punto (Xk*, Yk*) de
cada rectángulo, y formamos la suma...
n2
g(xk*, yk*) D xk Dyk
k=1
La integral doble
•
•
•
•
•
La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de
Riemann.
A continuación se ilustra lo anterior.
Ejemplos:
1) Integrando g(x,y) = x + 1
Región R : Área comprendida entre las curvas
y = x; y = 4 - x, x = 0.
En las siguientes imágenes se hará una partición del rectángulo en 8
x 8 = 64 rectángulos. Si el punto medio de una subregión queda dentro
de R, se le incluye en la partición y por lo tanto en la suma de
Riemman.
Funciones = {x, 4 - x}
• Gráfica de funciones
en el plano xy
La integral doble
• Gráfica de la región R
La integral doble
• Partición de la región
R en 64 rectángulos.
La integral doble
• A continuación se muestra el resultado de evaluar
la función g(x, y) = x + 1 en el punto medio de
cada rectángulo de la partición y el cálculo de la
sumatoria de Riemann,
n2
g(xk*, yk*) Dxk Dyk
k=1
• y la integral doble de la función sobre la región R,
aunque aún no hemos definido que significa
"Integral doble".
La integral doble
• Para la función g(x, y) = 1 + x La suma de
Riemann = 6.625 para n = 64
rectángulos Integral doble = 6.66667
•
Como habrás observado, el valor de la
suma de Riemann está cercano al valor de
lo que llamamos "Integral doble".
La integral doble
• Enseguida se ilustrará
la partición
tridimensional de el
• volumen comprendido
entre la superficie
• z = g(x, y) y la región
R.
La integral doble
• Se hace las columnas
para calcular el
volumen.
La integral doble
• Volumen de los 64
paralelepipedos es
6.625
• Volumen exacto =
6.66667
La integral doble
• A continuación veremos otro
ejemplo de lo anterior para
reafirmar el concepto.
• Ejemplo 2. Integrando g(x,y) =
25 - x8 - y8
Región R : área comprendida
entre las curvas y = x8 - 4 ; y =
4 - x8.
En seguida se hará una partición
de la región R en 8 x 8 = 64
rectángulos.
La integral doble
• Funciones =
• {- 4 + x2 , 4 - x2}
• Gráfica de funciones en el
plano xy
• Gráfica de la región R
La integral doble
• Partición de la región
R en 64 rectángulos
La integral doble
• A continuación se muestra el resultado de evaluar la función g(x,y) =
25 - x2 - y2 en el punto medio de cada rectángulo de la partición y el
cálculo de la sumatoria de Riemann,
• Para la función g(x, y) = 25 - x2 - y2
•
• La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectángulos
•
• Integral doble = 438.242
La integral doble
• En las siguientes gráficas
se ilustrará la partición
tridimensional de el
volumen comprendido
entre la superficie
• z = g(x,y) y la región R.
La integral doble
• La región se divide en
partes iguales (en este
caso) y se calcula el
volumen.
La integral doble
• Volumen de los 64
paralelepípedos es
433.484
• Volumen exacto
438.248
La integral doble
• Definición:
Si g(x, y) está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy,
la Integral Doble de g(x, y) sobre R se define como:
•
•
•
n2
R
g(xk*, yk*) Dxk Dyk
g(x, y) dA = lim
n 0
k=1
•
cuando la norma de la partición tiende a cero. ( lo que equivale a n
0)
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La integral doble