TEMA 5 – SEMEJANZA
5.1 – Figuras semejantes
Matemáticas
4º E.S.O
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.1 – Figuras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes si
los cocientes de de los segmentos
determinados por pares cualesquiera de
puntos correspondientes son iguales.
ML
M 'L'
es la razón de semejanza
Matemáticas
4º E.S.O
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.2 – Teorema de Tales
Matemáticas
4º E.S.O
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos
lados, determina un triángulo semejante al grande.
Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.3 – Semejanza de triángulos
Matemáticas
4º E.S.O
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los
ángulos iguales.
a b c
  k
El cociente
a ' b ' c'
se llama razón de semejanza.
TEMA 5 – SEMEJANZA
Matemáticas
5.3 – Primer criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
 
 
 
A = A‘ y B = B‘  C = C'
C'
C'
C''
C
A
B A'
B'
A'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y los ángulos iguales.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B''
B'
TEMA 5 – SEMEJANZA
Matemáticas
5.3 – Segundo criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
a ' b' c'
C a  b  c
b
a
A
c
C'
C'
b'
C''
a'
B'
B''
A'
c'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a
los del triángulo A'B'C' con la misma razón de
proporcionalidad.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B A'
B'
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Matemáticas
5.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.

b' c'
 y A A'
Cb c
b'
b
a
A
c
C'
C'
C''
a'
B' A'
B''
c
c'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener dos lados proporcionales con la misma razón de
proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B A'
B'
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.4 – Teorema de Pitágoras
Matemáticas
4º E.S.O
• En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
• Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el
triángulo es rectángulo.
32 + 42 = 52
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.4 – Teorema del cateto
Cateto c
c2 = n2 + h2 =
= n2 + mn =
= n(n + m) =
= na
Matemáticas
4º E.S.O
Cateto b
b2 = m2 + h2 =
= m2 + mn =
= m(m + n) =
= ma
En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de
la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.
TEMA 5 – SEMEJANZA
5.4 – Teorema de la altura
Matemáticas
4º E.S.O
Son ambos rectángulos
Los triángulos I y II son semejantes ya que:
 
B  B*
Se deduce que:
m h b
 
h n c
h2 = mn
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es
igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
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5.5 – Áreas de figuras semejantes
IA = 1
pA= 4
SA= 1
Cuadrado A
Matemáticas
4º E.S.O
IB = 2
pB = 8
SB= 4
Cuadrado B
IC = 3
pC = 12
SC= 9
Cuadrado C
Com param os
los cuadrados
Razón de
sem ejanza
Razón de
perím etros
Razón de
áreas
ByA
IB
2

 2  k
IA
1
PB
8

 2  k
PA
4
SB
4
2

 4  k
SA
1
CyA
Ic
3

 3 t
IA
1
Pc
12

 3  t
PA
4
Sc
9
2

 9  t
SA
1
CyB
IC
3

 s
IB
2
PC
12
3


 s
PB
8
2
SC
9 3
2

  s
SB
4 2
2
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