Semejanza de Triángulos
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus
ángulos iguales y sus lados correspondientes son
proporcionales.
C
A’
A
Si A=A’ , B=B’ , C=C’
C’
B’
AB
BC = CA
=
A’B’ B’C’ C’A’
B
Entonces
ABC es semejante al
A’B’C’
Notación:
Utilizamos el símbolo ”≈” para semejanza.
Para decir que el
ABC es semejante al
A’B’C’ escribimos:
ABC ≈
A’B’C’
Razón de semejanza es la comparación por
cociente de dos lados homólogos.
Si ABC ≈
A’B’C’
C
C’
AB
BC = CA
=
A’B’
B’C’ C’A’
A’
A
B
B’
Teorema de Tales:
Si dos rectas concurrentes (r y r’) son cortadas por
varias paralelas , los segmentos determinados por la
intersección de dichas paralelas, en ambas rectas, son
proporcionales.
Por el teorema de Tales sabemos
c'
que:
b'
a'
a
b
c
ab a’b’;
=
bc b’c’
ab = a’b’
ac a‘c’
bc = b’c’
ac a’c’
Ejemplo:
Sabiendo que AC = 6 cm, A’C’ = 10 cm y BC =5.6,
Halla la longitud del lado B’C’
′ ′
′ ′
=


B’
B
A
A’
6 cm
C
10 cm
C’

′ ′
=

. 
(. )
= ′ ′

.  = ′ ′
Determina si los triángulos ABC y DEF son semejantes:
Si tienen los siguientes datos:
A
D
B
C
A= 87° 43’ 23’’
C= 58° 37’ 57’’
E
F
E= 33° 39’ 26’’
F= 58° 37’ 25’’
La suma de los ángulos interno de un triángulo suman 180°
87° 43’ 23’’
58° 37’ 57’’
Como podemos observar los
ángulos del triángulo ABC
son iguales que los del
triángulo CDE por lo tanto
los triángulos son
semejantes
145° 80’ 80’’
146° 21’ 20’’
179° 59’ 60’’
146° 21’ 20’’
33° 38’ 40’’
=
B
33° 39’ 26’’
58° 37’ 25’’
91° 76’ 51’’
92° 16’ 51’’
179° 59’ 60’’
92° 16’ 56’’
87° 43’ 4’’
=
D
1.80 m
¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de
16 m al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de
estatura, proyecta una sombra de 1.20 m?
16 m
1.20 m
La relación entre los ángulos es la siguiente:
CAB = C’A’B’ y
ABC = A’B’C’
Por lo tanto
ABC ≈
A’B’C’ y la proporcionalidad se establece
como:
h= 1.80 m, S= 16 m, s= 1.20 m
H= S
Donde
Estos datos se sustituyen en la proporción
h s
tenemos:
H = 16
1.80
1.20
16 (1.80)
H =
1.20
H = 24 m
Para encontrar la anchura AB de un rio se construyeron 2
triángulos semejantes, como se muestra en la figura . Y al medir
se encontró que:
AC= 17 m, CD = 5 m, DE= 20 m ¿Cuál es la anchura del rio?
Donde
AC = AB
CD DE
17 = AB
5
20
17(20) = AB
5
68 m = AB
Ejercicios en clase
Para medir lo largo de un lago se
construyeron los siguientes triángulos
semejantes, en los cuales se tiene
que:
AC= 215 m, A’C = 50 m, A’B’ = 112 m,
¿Cuál es la Longitud del lago?
A cierta hora del día un
edificio de 60 ft. de altura
proyecta una sombra de 42 ft.
¿Cuál es la longitud de la
sombra que proyecta un
semáforo de 10 ft. de altura a
la misma hora?
AC = AB
A’C A’B’
60 = 42
10 EB
215= AB
50 112
EB = 42(10)
60
EB = 7 ft.
215(112) = AB
50
481.6 m = AB
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Geo 18 semejanza de triángulos