PPTCEG026EM32-A15V1
EM-32
Semejanza de triángulos
Síntesis de la clase anterior
Congruencia 
Dos figuras son congruentes si tienen
la misma forma, el mismo tamaño e igual área.
Criterios de congruencia
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.)
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
4° Lado, lado, ángulo (L.L.A.)
Aprendizajes esperados
• Comprender el concepto de semejanza en figuras planas y
relacionarlo con las transformaciones isométricas.
• Aplicar criterios de semejanza en triángulos para la resolución de
problemas y demostración de propiedades.
Pregunta oficial PSU
43. Si Δ ABC ~ Δ DEF, donde AB es homólogo con DE , AB = a cm y
DE = 3a cm,¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) Si el área del triángulo ABC es 16 cm2, entonces el área del triángulo
DEF es 48 cm2.
B)
3   ABC   DEF
C) El perímetro del triángulo ABC es un tercio del perímetro del triángulo
DEF.
D)
AB // DE , AC // DF y BC / / EF
E) Ninguna de las anteriores.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1. Semejanza
2. Criterios de semejanza
3. Elementos homólogos
1. Semejanza
Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan
dos condiciones:
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Así tendrán igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
D
d
E e
g
b
a
A
J
d
C
B
g I
F e
b
H
a
G
Se llaman lados homólogos a los lados que unen dos vértices con
ángulos respectivamente congruentes.
1. Semejanza
Ejemplo:
En los siguientes hexágonos, los lados AB y GH son homólogos,
como también lo son, BC y HI, CD e IJ, DE y JF, EA y FG.
6
E e
3
J
d
D 2
d
C
g
b
a
A
4
g I
12
4
B
8
F e
5
6
b
a
H
10
G
Además, en este caso, están en la razón 1 : 2.
1. Semejanza
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son
congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.
F
Ejemplo:
b
C

b
4
3
a
A
g
5
B
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
9
12
g
a
D
15
E
Los lados homólogos están en
razón 1 : 3 = k
AB = BC = AC = 1 = k
DE EF DF
3
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
2. Criterios de semejanza
1° Criterio AA
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente
congruentes.
Ejemplo:
F
C
34o
55o
34o
55o
A
B
D
Δ ABC ~ Δ DFE por: AA
Además,
AB = BC = AC = k
DF
FE DE
E
2. Criterios de semejanza
2° Criterio LLL
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
F
a
C
4
g
a
A
6
5
12
8
b
b
g
B
D
10
E
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
AB = BC = AC = 1 = k
FD
DE FE
2
Además, BAC = DFE, CBA = EDF y ACB = FED
2. Criterios de semejanza
3° Criterio LAL
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
F
C
4
57°
AC = BC
FD
ED
12
5
 4 = 5 = 1 =k
12
15
3
57°
A
B
D
15
E
Además, BAC = DFE y CBA = FED
2. Criterios de semejanza
Aplicación:
Determinar la medida del lado QR, en el triángulo PQR de la figura:
R
C
b
4
a
g
10
g
A
a
B
P
b
6
Q
Solución:
Los triángulos de la figura son semejantes por AA, Δ ABC ~ Δ PRQ.
Entonces:
Con k, razón
AB

PR
AB
PR
CB

QR

10
QR
AC
k
de semejanza
PQ

4
6

10
QR

4
6
 60  4  QR
 15  QR
3. Elementos homólogos
En triángulos semejantes, los elementos secundarios homólogos como
alturas, transversales, bisectrices , simetrales y medianas, también son
proporcionales y están en la misma razón que sus lados homólogos.
Ejemplo:
Q
C
4
3
10
6
5
A
B
R
AB
PQ

BC
QR

CA
RP
k

5
10

3
6

4
8
k
8
 k 
1
2
P
K: razón de
semejanza
3. Elementos homólogos
Por otro lado,
Q
C
4
3
hC
6
5
A
10
hR
B
Por Teorema
de Euclides
R
hC 
34

5
12
 2,4
5
hR 
8
6 8
10
Luego, las alturas también están en razón 1:2.
hC
hR

2,4
4,8

1
2
k
 4,8
P
3. Elementos homólogos
Razón entre áreas y perímetros
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a
la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
C
4
hC
10
6
hR
B
5
A
3
R
PABC
PPQR
=
12
24
=
1
2
= k
8
P
3. Elementos homólogos
Razón entre áreas y perímetros
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al
cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Q
Ejemplo:
C
AABC = (4∙3):2= 6
4
A
hC
5
10
6
3
B
5
1
=
=
= k
10
2
PQ
AB
APQR = (6∙8):2 =24
hR
R
AABC
=
APQR
P
8
6
24
=
1
4
= k2
Pregunta oficial PSU
43. Si Δ ABC ~ Δ DEF, donde AB es homólogo con DE , AB = a cm y
DE = 3a cm,¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A) Si el área del triángulo ABC es 16 cm2, entonces el área del triángulo
DEF es 48 cm2.
B)
3   ABC   DEF
C) El perímetro del triángulo ABC es un tercio del perímetro del triángulo
DEF.
D)
AB // DE , AC // DF y BC / / EF
ALTERNATIVA
CORRECTA
E) Ninguna de las anteriores.
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
C
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
1
C
Geometría de Proporción
ASE
2
D
Geometría de Proporción
ASE
3
D
Geometría de Proporción
ASE
4
B
Geometría de Proporción
ASE
5
E
Geometría de Proporción
ASE
6
B
Geometría de Proporción
ASE
7
A
Geometría de Proporción
Aplicación
8
A
Geometría de Proporción
Aplicación
9
E
Geometría de Proporción
ASE
10
B
Geometría de Proporción
ASE
11
E
Geometría de Proporción
Aplicación
12
C
Geometría de Proporción
Aplicación
Tabla de corrección
Nº
Clave
Unidad temática
Habilidad
13
E
Geometría de Proporción
Comprensión
14
B
Geometría de Proporción
Aplicación
15
C
Geometría de Proporción
ASE
16
C
Geometría de Proporción
Aplicación
17
D
Geometría de Proporción
Aplicación
18
E
Geometría de Proporción
Aplicación
19
D
Geometría de Proporción
ASE
20
E
Geometría de Proporción
ASE
21
A
Geometría de Proporción
Aplicación
22
D
Geometría de Proporción
ASE
23
A
Geometría de Proporción
ASE
24
A
Geometría de Proporción
ASE
25
C
Geometría de Proporción
ASE
Síntesis de la clase anterior
Semejanza 
•
•
Ángulos respectivos congruentes
Lados homólogos proporcionales
Triángulos Semejantes
Criterios de Semejanza
1° Criterio AA
2° Criterio LLL
Elementos homólogos
Lados proporcionales

AB
3° Criterio LAL
PR
Alturas
hC
hQ
k

CB
QR

AC
k
PQ
Áreas
A ABC
A PRQ
k
2
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Teorema de Thales y división de
segmentos
Equipo Editorial
Matemática
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