COLEGIO DISTRITAL EL SILENCIO
BARRANQUILLA
2012
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESP. CARLOS PEÑA ARRIETA
SEMEJANZA Y CONGRUENCIA
9°
BIENVENIDOS AL INTERESANTE MUNDO DE LA
SEMEJANZA Y CONGRUENCIA EN GEOMETRÍA
www.fismatblog.wordpress.com
Aquí encontrarás toda la información referente a
informaciones, talleres, y cualquier actividad
programada por el docente.
OBJETIVOS






Conocer los conceptos, símbolos y diferencias
entre figuras semejantes y congruentes.
Identificar figuras semejantes y congruentes.
Construir segmentos, ángulos y triángulos
congruentes.
Apropiar los criterios de congruencia entre
triángulos.
Aplicar los criterios de congruencia, a través del
concepto básico de proporcionalidad.
Aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales en la
construcción de figuras geométricas semejantes y
congruentes.
EJEMPLOS DE
PROPORCIONALIDAD
4
2
¿Cómo se halla el término desconocido en las
proporciones dadas?
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
2
4
3
6
100
4
8
5
10

6
3

8
4

10
5

2
40
30
x
12
12
6
m
a
24
25
m



100
x

7
5
Observemos las siguientes figuras
geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras
geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras
geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras
geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras
geométricas y comparémoslas
SEMEJANZA
Los polígonos de al lado tienen la misma
forma, pero no necesariamente el mismo
tamaño; ellos son semejantes.
E
A
D
B
Mediante la semejanza de
triángulos se pueden calcular
distancias inaccesibles. Por
ejemplo, para
calcular la
altura de un árbol se hace
mediante el concepto de
proporcionalidad.
SEMEJANZA
Figuras semejantes
Matemáticas
9º SILENCIO.
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.
SEMEJANZA
Figuras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes
si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes son
iguales.
ML
M 'L '
es la razón de semejanza
Matemáticas
9º SILENCIO.
SEMEJANZA
Matemáticas
Semejanza de triángulos
9º SILENCIO.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
El cociente
a
a'

b
b'

c
k
c'
se llama razón de semejanza.
SEMEJANZA
Matemáticas
Primer criterio de semejanza de triángulos
9º SILENCIO.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
 
 
 
A = A‘ y B = B‘  C = C'
C'
C'
C''
C
A
B A'
B'
A'
1.- AA ( ángulo-ángulo)
B''
B'
SEMEJANZA
Matemáticas
Segundo criterio de semejanza de triángulos
9º SILENCIO.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
a'
b'
C a  b  c
b
A
C''
b'
a'
a
c
B A'
C'
C'
c'
c'
B'
A'
2. LLL (lado-lado-lado)
B''
B'
SEMEJANZA
Matemáticas
Tercer criterio de semejanza de triángulos
9º SILENCIO.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y
el ángulo comprendido igual.
b'
c'  
 y A A'
c
Cb
b
A
C''
b'
a'
a
c
B A'
C'
C'
c'
B'
A'
c
3.- LAL (lado-ángulo-lado)
B''
B'
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65
65
¡SI!
25
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
B
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5 =3,5 = 5
3
7
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
1,5
P
C
3,5
7
5
A
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR
son semejantes por criterio LLL
10
Q
R
3
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados son
proporcionales
3
9
4
12
=
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL
A
E
3
B
4
9
D
C
12
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
F
Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Semejanza. Teorema de Tales
Matemáticas 9º SILENCIO 2012
Teorema de Tales
Construye un triángulo A´B´C´ y traza una paralela a uno de los lados y
que corte a los otros lados. Se forma así un triángulo pequeño ABC.
A  A´
Vamos a comprobar que los dos
triángulos son semejantes:
Si medimos los valores de los lados
de cada uno de los triángulos se
observa que son proporcionales:
a
a´

b
b´

c
c´
B
c
B´
´
c
bC
a
a
Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos: Aˆ  Aˆ ´,
´
b
´
C´
ˆ B
ˆ ´, Cˆ  Cˆ ´
B
Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales.
Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina
un triángulo pequeño, ABC, semejante al grande, A´B´C´ (A  A´).
Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales.
IMAGEN FINAL
ACTIVIDAD
1. ¿Cuál es la anchura x del lago?
C
N
A
x
M
B
2. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura
tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?
(Haz un dibujo del problema).
3. ¿Cuál es el valor de la incógnita en los siguientes casos? Explique.
30
12

40
a
d
15

7
n
5
5

80
6
n
8

m
12
72
4

k
5
IMAGEN FINAL
¡Qué capo soy!
Ahora soy experto en
semejanzas, te
invito a leer y documentarte
sobre congruencias,
¡ánimo!
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CONCEPTOS GEOMÉTRICOS EN MAESTROS DE ESCUELA