LICEO TAJAMAR
PROVIDENCIA
GUÍA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA N° 1, Tercera Etapa
Nombre de la Guía de Aprendizaje: SEMEJANZA nº1
SECTOR: Matemática
NIVEL: 2º medio
PROFESOR(A): María Cecilia Palma Valenzuela
UNIDAD TEMÁTICA: nº 4 : SEMEJANZA
CONTENIDOS DE LA UNIDAD:
1) Semejanza de figuras
2) Criterios de semejanza en el triángulo : AA, LLL, LAL.
3) Análisis de Semejanza en figuras planas
OBJETIVO DE APRENDIZAJE:
• Reconocer trazos proporcionales y razón de semejanza.
•Conocen los criterios de semejanza de triángulos
•Identificar criterios de semejanza de figuras planas.
• Aplican en el análisis de diferentes polígonos y en la resolución de problemas los criterios de semejanza.
e-mail DE LOS PROFESORES CON RESPONSABILIDAD EN EL NIVEL:
María Cecilia Palma V¨: [email protected] (2º A, 2ºB, 2ºG)
Carmen Quintanilla: [email protected] (2ºC, 2ºD, 2ºE, 2ºF, 2ºH)
Trabajo Individual o grupal (máx. integrantes): Máximo tres integrantes
Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: 10 días hábiles desde la fecha
en que las Guías estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.
OBSERVACIÓN.
• Esta guía sólo abarca desde la página 144 hasta la página 155
de la Unidad nº 4.
• Pueden ir comprobando los contenidos que aparecen en el
libro de 2º Medio que Uds. Poseen, es la unidad nº4
• Debes escribir en tu cuaderno los ejercicios de las páginas
144 y 145, resuélvelos, si tienen dudas en los ejercicios
pueden hacer consultas a mi email: [email protected]
. Les recomiendo que a su vez lean comprensivamente los
contenidos.
• Queridas alumnas, es conveniente que escriban en sus
cuadernos la materia que viene a continuación.
Introducción : Razón entre trazos.
• Definición:
•
Llamamos razón entre dos trazos y
a
la razón entre las medidas de dichos trazos
expresados en la misma unidad de longitud.
• 1) Si la razón entre los trazos es un número
racional , los trazos son CONMENSURABLES.
Ejemplo: La razón entre el lado de un cuadrado y
su perímetro es 1 : 4
• 2) Si la razón entre los trazos es un número
irracional, los trazos son INCONMENSURABLES.
Ejemplo: La razón entre la altura de un triángulo
equilátero y su lado es:
Para los alumnos de Segundo Medio
• En esta presentación encontrarás :
Definición y
ejemplos del
concepto de
semejanza
Descripción
del concepto
de
semejanza y
ejemplos
Criterios de
semejanza
de triángulos
y ejemplos
Una sencilla
demostración
Algunos
ejercicios
sencillos
Todos estos elementos son
la base de los contenidos
relacionados con la unidad
de semejanza
Semejanza
Descripción: Dos figuras son semejantes cuando
tienen la misma “forma”, pero no
necesariamente el mismo tamaño
Ejemplos de
figuras semejantes
No son figuras semejantes
Definición geométrica: Dos figuras son semejantes
cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos
(correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus
ángulos correspondientes son congruentes
Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos
son semejantes?
5cm
¿Tienen sus lados respectivos
proporcionales?
10
4

5
2
Así es, ya que
los productos
“cruzados” son
iguales
10 •2 = 5 • 4
2cm
4cm
¿Son sus ángulos correspondientes congruentes?
Efectivamente, al tratarse de dos
rectángulos, todos los ángulos miden
90º y se cumple que los ángulos
correspondientes son congruentes
Al cumplirse las dos condiciones
anteriores, podemos decir que
los dos rectángulos son
semejantes
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales y
sus lados homólogos son proporcionales.
Criterios de semejanza de
triángulos
Existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triángulos
Existen tres criterios de semejanza
de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
I.
Primer criterio
AA
Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
A´
A
a´
a
b
C
Es decir:
g
B
Si a  a´ ,
b´
b  b´
g´
C’
de lo anterior se deduce que
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
B´
g  g´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65
65
¡SI!
25
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA
II. Segundo criterio
LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son
semejantes entre sí.
A´
A
b
a
C
Es decir:
b´
B
a´
c
C’
a
b
c
=
=
a´
b´
c´ =K
Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
c´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí recibe
el nombre de razón de
semejanza.
B´
Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
P
Verifiquemos si las medidas de los lados
son proporcionales
1,5
B
C
3,5
1,5
=
3
3,5
7
=
5
10
7
5
A
10
Efectivamente , así es, ya que los
productos “cruzados” son iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Q
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio
LLL
3
R
III. Tercer criterio
LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes
entre sí.
A´
A
a
C
a´
a
c
B
a´
C’
Es decir:
a = c
a´
c´
y
c´
a = a´
Entonces D ABC semejante a D A´B´C´
B´
Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados son
proporcionales
D
A
3
9
= 4
12
Efectivamente así es, ya
que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL
9
E
3
B
C
4
12
Efectivamente, porque, tal
como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
F
Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Algunas aplicaciones de
estos conceptos
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes
y halla la razón de semejanza.
a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Representemos el ejercicio
65
8
12
78
10
52
Comprobemos que las medidas de los lados
homólogos son proporcionales
52 = 65 = 78 =
8
10
12
6,5
Efectivamente, al calcular
los productos “cruzados”,
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una de
las razones
65 : 10 = 6,5
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
Ejercicio
Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
Representamos la situación
x=9
5
3
12 = y
4
z =15
Luego, debe ocurrir:
X
3
=
Y
4
Escala de
ampliación
=
Z
3
=
=3
5
1
Entonces:
La razón de
semejanza es 3
X =3
3
Y
=3
4
Z =3
5
X= 3· 3 = 9
Y = 4 · 3 =12
Z = 5 · 3 = 15
Otro ejercicio similar
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de
un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso
afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
50
20
30
12
16
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
40
Comprobemos que las medidas de los lados
homólogos son proporcionales
30 = 40 = 50
12
16
20
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una de
las razones
50 : 20 = 2,5
Para terminar una pequeña
demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
B
C
A
E
Demostración
Afirmaciones
 ABC   CDE
 BAC   CDE
D
Razones
Por ser ángulos alternos internos entre //
Por ser Ángulos alternos internos entre //
Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
semejantes
Alumnos (as) de Segundo Medio:
•Si esta presentación te ha servido recomiéndasela a otro compañero.
•Aportes y comentarios serán bienvenidos
Prof: A. Barriga
Otros ejercicios resueltos.
B
• 1) Los triángulos
siguientes son
semejantes
• En efecto :  A =  A’ ;
 B =  B’ ;  C =  C’
• a = b = c = 2 esto es:
a'
b'
10
6
C
B’
A
8
c'
5
3
C’
A’
4
2)Según la figura, si AB // DE ,
es ABC  DCE ?
• Si AB // DE ,
entonces ( se forman
ángulos alternos
internos entre
paralelas )
• y E=A
(son ángulos alternos
internos entre
paralelas)
• por lo tanto por A-A :
•
ABC 
DCE
A
B
C
D
E
• 3) ¿ Son semejantes los
triángulos CRJ y LBQ?
• Como
• 15  12 y ademas  R =  B = 35º
10
8
8
B
Q
35º
• Entonces por LAL
10
L
C
15
35º
R
12
J
• 4) ¿ Son semejantes
los triángulos TMQ y
CJX ?
• Como 18  12  15 =
12
8 10
•
• Entonces por L L L
TMQ  CJX
T
18
J
M
10
12
8
X
15
Q
C
12
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Diapositiva 1