TEMA 6 – SEMEJANZA
6.1 – Figuras semejantes
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos
correspondientes son iguales y sus lados
correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.1 – Figuras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes si
los cocientes de de los segmentos
determinados por pares cualesquiera de
puntos correspondientes son iguales.
ML
M 'L '
es la razón de semejanza
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.2 – Teorema de Tales
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos
lados, determina un triángulo semejante al grande.
Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.3 – Semejanza de triángulos
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los
ángulos iguales.
El cociente
a
a'

b
b'

c
k
c'
se llama razón de semejanza.
TEMA 6 – SEMEJANZA
Matemáticas
6.3 – Primer criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O y 1º Bach.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
 
 
 
A = A‘ y B = B‘  C = C'
C'
C'
C''
C
A
B A'
B'
A'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y los ángulos iguales.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B''
B'
TEMA 6 – SEMEJANZA
Matemáticas
6.3 – Segundo criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O y 1º Bach.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
a'
b'
C a  b  c
b
a
A
c
C'
C'
c'
b'
C''
a'
B'
B''
A'
c'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a
los del triángulo A'B'C' con la misma razón de
proporcionalidad.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B A'
B'
TEMA 6 – SEMEJANZA
Matemáticas
6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos
4º E.S.O y 1º Bach.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.

b' c'
 y A A'
Cb c
b'
b
a
A
c
C'
C'
C''
a'
B' A'
B''
c
c'
• Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes.
• Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por
tener dos lados proporcionales con la misma razón de
proporcionalidad y el ángulo comprendido igual.
• Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.
B A'
B'
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.4 – Teorema de Pitágoras
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
• En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa.
• Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el
triángulo es rectángulo.
32 + 42 = 52
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.4 – Teorema del cateto
Cateto c
c2 = n2 + h2 =
= n2 + mn =
= n(n + m) =
= na
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
Cateto b
b2 = m2 + h2 =
= m2 + mn =
= m(m + n) =
= ma
En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de
la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.4 – Teorema de la altura
Matemáticas
4º E.S.O y 1º Bach.
Son ambos rectángulos
Los triángulos I y II son semejantes ya que:
 
B  B*
Se deduce que:
m
h

h
n

b
c
h2 = mn
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es
igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
TEMA 6 – SEMEJANZA
6.5 – Áreas de figuras semejantes
IA = 1
pA= 4
SA= 1
B y A
C y A
IC = 3
pC = 12
SC= 9
Cuadrado B
Cuadrado C
Ra z ó n d e
s em ej a n z a
Ra z ó n d e
p er ím et r o s
IB
PB
IA
Ic
IA


IC
C y B
4º E.S.O y 1º Bach.
IB = 2
pB = 8
SB= 4
Cuadrado A
Co m p a r a m o s
los cu ad r ad os
Matemáticas
IB
2
1
3
1

 2  k
 3  t
3
2
 s
PA
Pc
PA
PC
PB



8
4
12
4
12
8
 2  k
 3  t

3
2
 s
Ra z ó n d e
á r ea s
SB
SA
Sc
SA
SC
SB

4
1
9

1
 4  k
 9  t
3

  
4
2
9
2
2
2
 s
2
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