46 Integrales
COORDENADAS POLARES
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Representar puntos del plano en coordenadas
polares.
2. Deducir la relación entre el sistema cartesiano
y el sistema polar.
3. Reconocer y graficar ciertas curvas notables en
coordenadas polares.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Coordenadas Rectangulares
y
y
0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
P (x, y)
x
x
3
Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P
Emplea distancias y
direcciones.
r es la distancia de O a P.
P (r, θ)
r
θ
0
Polo
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
θ es el ángulo entre el eje
polar y el segmento OP.
θ es positivo si se mide en
dirección contraria a las
manecillas del reloj.
Eje Polar θ en radianes.
4
Si r < 0, entonces P(r,θ) se define
como el punto que se encuentra a |r|
unidades del polo en la dirección
opuesta a la que da θ.
P(r,θ)
θ
0
P(-r,θ)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
5
En el sistema coordenado
cartesiano, todo punto tiene
sólo una representación.
y
 
P 1; 3
3
En un sistema de
coordenadas polares cada
punto tiene muchas
representaciones
Es decir, el punto en
coordenadas polares (r; θ),
se representa también por
(r;θ  2n)


3
2
.

3
0
y
(r;θ  (2n  1))
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
 π

P(2, /3)   2;  2nπ 
1
π
 2nπ
3
6
Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano
De la grafica observe que:
Si P es un punto cuyas
coordenadas polares son (r ; θ)
entonces, las coordenadas
rectangulares (x ; y) de P serán:
y
P(x ; y)
P(r ; q)
r
y
q
x
x  r cos q
y  r senq
x Estas ecuaciones permiten
hallar las coordenadas
cartesianas de un
punto cuando se conocen las
coordenadas polares.
Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y,
se usan las ecuaciones
r 2  x2  y2
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
tan θ 
y
x
9
7
Gráficas de Ecuaciones Polares
La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general
F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación
polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3
x2 + y2 = 9
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
0
1
2
3 4
5 6
8
Ejemplo:
Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = /4
y
q  /4
q = /2
tan q  tan/4
x =1
y
q = /4
q = 3/4
q=
0
1
2
3
4
5
x
q=0
x=y
q = 7/4
q = 5/4
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
q = 3/2
9
¿La gráfica pasa por el polo?
1. Resuelve: f(q) = 0.
2. Si existe al menos un valor para el ángulo
q, la gráfica sí pasa por el polo (0; q) si
no, la gráfica no pasa por el polo.
¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas
ecuaciones polares se dan, pasan por el polo?
a) r = 2 senq
b) r = 2 + senq
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
10
(r ; q)
Simetría
1. Si una ecuación no cambia al
sustituir θ por –θ, la gráfica
es simétrica respecto al eje
polar
q
q
o
(r ; -q)
2. Si una ecuación no cambia al
sustituir r por –r, la gráfica es
simétrica respecto al polo.
3. Si una ecuación no cambia al
sustituir θ por Π – θ, la gráfica
es simétrica respecto a la recta
vertical q = Π/2 (eje y)
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
(r ; q)
(-r ; q)
o
(r ; q)
(r ; q)
q
q
11
Algunas curvas polares comunes
Círculos
Cardiodes
En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
r  a(1  cos q)
r  a(1  sen q)
2
1

5
4
3
2
1
1
2
3
4
5

1
2
3
4
r  2(1  cosq )
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
r  2(1  sen q )
5

12
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Ejercicios 10.3 Pág. 647 - 648
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
13
Descargar

Diapositiva 1