10. LIMITES DE FUNCIONES
Definición de límite
La función
no está definida en el punto x = 1 ya que
se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos
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Definición de límite
A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones:
I) Cuando x toma valores próximos 1, la función f(x) toma valores
próximos a 1/2.
II) Cuanto más próximo es x a 1, más lo es f(x) a 1/2.
III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2,
eligiendo x convenientemente próximo a 1.
Por verificarse la tercera, diremos que ½ es el límite de la función
cuando x tiende a 1. Es decir, ½ es el límite de f(x), cuando x se
acerca a 1, si para cualquier valor ε, positivo y pequeño que se
considere, por ejemplo ε = 0,0000001, siempre podemos encontrar
valores x, suficientemente próximos a 1 pero distintos de 1, de
modo que sea
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Definición formal de límite
Se dice que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor
a, si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que para los x que
verifican 0 < | x – a | < δ se tiene que | f(x) – L | < ε.
Abreviadamente podemos escribir
La definición dada se escribe en forma equivalente empleando
intervalos en la forma:
El valor del límite es independiente del valor de la función en el
punto, y que en general el valor de δ depende del ε elegido y del
punto a considerado.
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Propiedades de los límites
Las principales propiedades de los límites de funciones son las
siguientes: Si
y
,
entonces se verifica que:
1. Si existe el límite de una función en un punto, es único.
2.
3.
4.
5.
6.
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Ejemplo 1.
Las funciones
y
toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1
y como es
también es
Ésto es lo que ocurre cuando se efectúa en forma directa el
cálculo del límite
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Límites laterales
En la definición de límite tomamos valores de x próximos al
valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el límite exista a
condición de que tomemos valores de x próximos pero sólo a un
lado del punto a, esta idea nos lleva a los límites laterales.
Escribiremos
Para la existencia de límite de una función en un punto han de
existir los límites laterales y coincidir, es decir,
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Límites laterales
Ejemplo 2.
La función
posee en el punto x = 1 límite por la izquierda, que vale 2, límite
por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la
función no tiene límite en ese punto.
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Límites infinitos y límites en el infinito
Se considera la recta real ampliada,
el límite de
una función en un punto puede ser
ó
y la variable puede
tender a
óa
y se escribe, por ejemplo,
Indeterminaciones y cálculo de límites
Aparte de la indeterminación de la forma
con k ≠ 0, que
obliga a hallar los límites laterales para decidir la existencia o no del
límite, existen siete indeterminaciones más, que se representan como
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Ejemplo 3.
El límite
minación.
no presenta indeter-
Ejemplo 4.
El límite siguiente es indeterminado de la forma
calculamos así:
y lo
Donde hemos simplificado la expresión entre x - 2, ya que
numerador y denominador son polinomios múltiplos de x - 2,
al tener ambos el valor x = 2 como raíz.
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Ejemplo 5.
El límite
presenta una indeterminación del tipo
y si simplificamos numerador y denominador, resulta
es decir, tenemos otra indeterminación. Ésta se resuelve hallando
los límites laterales, que son
por lo que el límite pedido no existe.
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Ejemplo 6.
El límite
presenta una indeterminación
que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la
potencia mayor del denominador, que es
Si hubiésemos dividido entre la potencia mayor del numerador, que
es
nos habría quedado una indeterminación del tipo
lo
que nos habría obligado a calcular los límites laterales.
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Ejemplo 7.
Para hallar el limite
multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la
expresión conjugada del denominador, que es la que origina la
indeterminación, obteniendo
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