M/G/1
Cola M/G/1
• Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio
exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con
tiempos de servicio con una distribución general . Pero con
tiempos de servicio independientes.
• Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la cola y
la longitud media de la cola.
W  L q t m   t res
Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola por el tiempo medio de servicio
+
probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual
Obtención de parámetros de la M/G/1
• Una petición de trabajo que llega al sistema debe esperar
al tiempo residual de servicio (si el servidor está
ocupado) y a los tiempos de servicio de los trabajos que
le preceden en la cola (si existen)
• Por la propiedad PASTA conocemos que la probabilidad
de que un servidor esté ocupado es de ρ
 


  tm  A
• Y que el tiempo medio de espera es
W  L q t m   t res
Cálculos
• Por el teorema de Little
Lq   W
• Combinando las dos ecuaciones se obtiene la
fórmula de Pollacek – Khinchin
–
W   W t m   t res   W   t res
W 
 t res
1 
Tiempo residual
• La media del tiempo residual es de
E t residual


2
E t servicio
2 E t servicio


• Podemos también a partir de estas fórmulas
calcular el tiempo total en el sistema
– Tiempo en cola +tiempo de servicio
• Y número medio de peticiones en el sistema
– Longitud media de la cola + ocupación media del
servidor (que es igual al tráfico ofrecido)
Cálculo del tiempo residual
• Supongamos que una petición llega cuando se está
atendiendo otra petición, y que el tiempo total del
trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria), y
que tendrá una f.d.p. fX(x), Para buscar esa f.d.p.
observamos que la probabilidad de que llegue un trabajo
estando otro en curso será mayor si la duración del
trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X sea
de longitud x deberá ser proporcional a la longitud x y a
la frecuencia con la que se produzca esa longitud
Cálculo tiempo de vida residual
P ( x  X  x  dx )  f X ( x ) dx  Cxf t . serv ( x ) dx
C es una constante


0
para normalizar
C xf t . serv ( x ) dx  1
C 
C

0
la función
de densidad
xf t . serv ( x ) dx  CE t servicio
1
1
E t servicio
f X x  
E(X ) 

xf t serv  x 
E t serv


0

xf X  x  dx 
1
E t serv


0
x f t serv  x  dx 
2

2
E t serv
E t serv


Cálculo tiempo de vida residual
• Como la llegada del nuevo trabajo puede
ocurrir en cualquier momento de la vida del
trabajo en curso con igual probabilidad,
tendrá su media en la mitad de X
E t residual

E X
2



2
E t serv
2 E t serv


Ep!
• Recordemos la paradoja de la parada de
autobús
Paradoja de la parada de bus
• Los autobuses pasan por una parada
siguiendo un proceso de Poisson, el intervalo
medio de paso es de 8 minutos. Usted llega a
la parado en un instante cualquiera, ¿Cuál
será el tiempo medio de espera?
– A) 8 MINUTOS
– B) 5 MINUTOS
– C) 4 MINUTOS
– D) NO PUEDE CALCULARSE CON ESTOS DATOS
Parada de bus
• 8 minutos es la respuesta correcta , que parece contraponerse
a la lógica de 4 minutos
• La explicación está en que es mayor la probabilidad de llegar a
la parada en intervalos de paso largos
W(τ) Tiempo espera
W
tiempo
T
llegadas
Bus
• Suponemos que Xi es el tiempo entre llegadas
1
T
1 1
W 
W ( ) d   

T 0
T 2

n
i 1
2
Xi
Que es el área de los triángulos de la figura
Cuando T tiende a ∞ el número n de triángulos
tiende a T X
T  X n
W 
1
n

X n
i 1
1
2
X
2
i
1 X
 
2 X
2
¡El mismo resultado !
Bus
• Para tiempos entre llegadas siguiendo una
exponencial negativa
2
2
2
1 X
1
1

W  
 

 X
2 X
2 1


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M/G/1 - tel2013