UNIDAD No. 5
Series
Series y criterios de convergencia
SERIES


El concepto de serie está íntimamente
relacionado con el concepto de sucesión. Si
{an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ...,
entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ …
se le llama serie infinita.
Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman
los términos de la serie; ak se denomina
término general.
Se presentará una serie infinita en forma
compacta como: 
a
k 1
k
SUCESIÓN DE SUMAS
PARCIALES


ak
Para cada serie infinita 
k 1
existe una sucesión de sumas
parciales {Sn}, definida como sigue:
S1  a1
S 2  a1  a 2
S 3  a1  a 2  a 3

S n  a1  a 2  a 3    a n

CONVERGENCIA DE UNA
SERIE INFINITA
a

 Se dice que una serie infinita

k 1
k
es convergente si su sucesión de sumas
parciales es convergente. Esto es,

Lim
ak 
Sn  S

n
k 1

El número S es la suma de la serie.
Si
Lim
Sn
no existe, se dice que
n
la serie es divergente.
SERIES TELESCÓPICAS


Determine si la serie infinita:
es convergente o divergente
1

k 1 (k  2)(k  3)
SERIES GEOMÉTRICAS

A una serie infinita de la forma:

k 1
2
n 1
ar

a

ar

ar



ar


k 1
se le denomina serie geométrica.
CONVERGENCIA DE SERIES
GEOMÉTRICAS

a
Una serie geométrica converge
1  ar
para |r|<1 y diverge para |r|>1.

Demuestre lo anterior. Para ello:
1.
2.
3.
Determine Sn
Multiplique Sn por r
Efectúe la diferencia Sn-rSn
PROBLEMA


Determine si la serie infinita es
convergente o divergente. En caso
de ser convergente, determine el
valor de la suma.
3

k
k 1 10
SERIES ARMÓNICA

Demuestre
que la serie armónica

1
1 1 1
 1   

2 3 4
k 1 k
es divergente.
CRITERIO PARA LA
CONVERGENCIA DE UNA
SERIE

TEOREMA:

Si la serie  ak es convergente, entonces:
k 1
Lim
ak  0
k 
Lim
Lim
Si
ak no existe o si el k   a k  0 ,
k 

entonces la serie  ak diverge.
k 1
PRUEBA DE LA INTEGRAL Y
ESTIMACIÓN DE LA SUMA

Suponga que f es una función
continua, positiva y decreciente y
an=f(n).

a

Entonces, la serie
es
k 1
k
convergente
si y solo si la integral

impropia: f ( x)dx es convergente.

1
PROBLEMA


1
Determine si la serie:  2 es convergente.
k 1 k
Estime el valor de la suma.
¨ 

Determine si la serie:

k 1
1
k
es convergente.
SERIE P

La serie p:

1

p
converge si p>1 y diverge
n
n 1
cuando p<1.
PRUEBAS DE
COMPARACIÓN

En las pruebas de comparación, la
idea es comparar una serie dada con
una serie conocida que sabemos
puede ser convergente o divergente y
a partir de ello, llegar a alguna
conclusión con respecto a la serie
dada.
TEOREMA


Suponga que  ak y  bk son series
k 1
k 1
de términos positivos.
Entonces:

 Si  bk converge y an<bn para toda n,

k 1
a k también converge.
entonces


k 1
 Si  bk diverge y an>bn para toda n,
k 1

entonces  ak también diverge.

k 1
PROBLEMA

Pruebe la convergencia o divergencia
de la serie:

ln(n)

n 1 n
PRUEBA DE COMPARACIÓN
EN EL LÍMITE



Suponga que  ak y  bk son series
k 1
k 1
con términos positivos.
Lim a n
Si: n   bn  c donde c es un número
finito y c>0, entonces las series
convergen o divergen
simultáneamente.
PROBLEMA
Pruebe la convergencia o la
divergencia de la serie:

1

k
2
1
k 1
 Utilice la prueba de comparación en el
límite considerando:

1
an  k
2 1
y
1
bn  k .
2
SERIES ALTERNANTES
Una serie alternante es aquella cuyos
términos son positivos y negativos
(alternando signo).
 Ejemplos:

(1) n1
1 1 1 1 1
 1     

n
2 3 4 5 6
n 1


n
1 2 3 4 5 6
(1)
       

n 1
2 3 4 5 6 7
n 1
n
PRUEBA DE LA SERIE
ALTERNANTE


Si la serie alternante:
n 1
(

1
)
bn  b1  b2  b3  b4  b5  b6  

n 1
1.
2.
bn>0 satisface las siguientes dos
condiciones:
bn+1 < bn para toda n.
Lim
bn  0
n
entonces la serie converge.
CONVERGENCIA ABSOLUTA
Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN
Y LA RAÍZ


La serie:  ak es absolutamente
k 1
convergente si la serie de valores

absolutos
a converge.

n 1
n
PROBLEMA
(1) n 1
 Muestre que la serie:  n 2
n 1

es absolutamente convergente.
PRUEBA DE LA RAZÓN

Lim an1
 L  1 , entonces la serie
Si
n   an

a
n 1

n
es absolutamente convergente
(y por lo tanto converge).
Lim an 1
 ,
n   an
Lim an 1
Si
 L 1 o
n   an
entonces la serie

a
n 1
n
diverge.
PROBLEMA

Pruebe la convergencia absoluta de la
serie:
3

n
n
(1) n

3
n 1
PRUEBA DE LA RAÍZ

Lim
n a
Si
n  L  1, entonces la serie
n

a
es absolutamente convergente
n 1
(y, en consecuencia, convergente).
n
Lim
n a
n a

L

1
n  
Si n   n
o
,
n

Lim

entonces la serie
a
n 1
n
es divergente.
PROBLEMA

Compruebe la convergencia de la
serie:
 2n  3 



n 1  3n  2 

n
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UNIDAD No. 1