6. Series
1
Sucesiones
Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + in}:
1 i ,
0,
1 i ,
2,
1 i ,





n 1,
n  2,
n 3,
n  4,
n 5,


Si limnzn = L,
decimos que la
sucesión es
convergente.
2
Otro ejemplo: la sucesión
lim
i
n 
 i n 1 


 n 
converge.
n 1
 0
n
3
Límite de una sucesión
Una sucesión {zn} de números complejos zn = xn + iyn
converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {xn}
converge a a y la sucesión de partes imaginarias {yn}
converge a b.
y
Demostración ( ):
b+
Si |zn-c| < , con zn = xn + iyn
zn
entonces dentro de un círculo
b
c
de radio , para c = a + i b
se cumple que:
b-
|xn-a| <  , |yn-b| < 
Por tanto la convergencia zn  c
implica que xn  a , yn  b.
a-
a
x
a+
4
Demostración ():
Igualmente, si xn  a y yn  b cuando n   , entonces para
un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal
que para  n> N se cumpla que:
|xn-a| < /2, |yn-b| < /2
y
b+
con lo que zn= xn+iyn estará
b+/2
contenido en un cuadrado de
centro c y lado .
b
De modo que zn estará contenido
b-/2
en un círculo de radio  y
b-
centro c.
zn
c
x
a
a-
a-/2
a+
a+/2
5
Diremos que una sucesión {zn} es convergente sii:
lim zn = c. Una sucesión divergente significa que no converge.
n 
Ejemplos:
(1) La sucesión {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es
convergente y límite es 0.
(2) La sucesión {in} = {i, -1, -i, 1,....} es divergente.
(3) La sucesión {zn} con zn= (1+i)n es divergente.
{zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....}
(4) La sucesión {zn} con zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente.
{zn} = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....}
El límite cuando n es c = 2+i
(y |zn-c| = |-1/n+2i/n| = 5/n <  si n > 5/)
6
7
 ni 


 n  2i 
La sucesión
converge a i. Observa que
Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:
zn 
ni
n  2i
Re( z n ) 
cuando

2n
n 4
2
2n
n 4
2
i
n
2
n 4
2
 0 , Im( z n ) 
n
2
n 4
2
1
n  .
8
Igual que hemos hecho mención a la parte real
e imaginaria para la convergencia de la sucesión,
podemos hablar del módulo y el argumento. Así:
Sea
zn   ne
i n
,donde
lim  n   0
Si
n 
lim  n   0
,entonces
 n  | z n |  n  Arg z n
lim z n   0 e
i 0
n 
n 
9
n
z

z n :  1   .
n

Sea por ejemplo la sucesión de términos:
El módulo
converge a:
z

lim | z n | lim  1  
n 
n 
n

n

x
y 
 lim   1    2 
n 
n
n 
 
2

x  y  2 xn 
 lim 1 

2
n 
n


2
Y el argumento a:
2
n/2
2
n/2
e .
x
n
z
z


lim  n  lim Arg z n  lim Arg  1    lim n Arg  1   
n 
n 
n 
n 
n
n


 y

lim n arctan  n
n 
1 x

n

Por tanto la sucesión
converge a:


y
  lim n arctan
 y.
n 
nx



n
z

x iy
x  iy
z
lim  1    e e  e
e .
n 
n

10
Series
Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede
formar a partir de una suma infinita:

z
n
 z 1  z 2  z 3  ...
n 1
Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.
La sucesión de sumas:
s1 = z1
s2 = z1 + z2
s3 = z1 + z2 + z3
........
sn = z1 + z2 +....zn
es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.
11
Series convergentes
Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de
sumas parciales converge, i.e.:
lim s n  s
n 
donde s es la suma o valor de la serie y se expresa:

s
z
n
 z 1  z 2  ...
n 1
Una serie divergente es aquella que no converge.
Llamaremos resto Rnde la serie a:
R n  z n 1  z n  2  z n  3  
Si la serie converge y suma s, entonces
s  sn  Rn
ó
Rn  s  sn
y
lim R n  0
n 
12
Ejercicios: Demostrar que
(1) Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv
sii
u = x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge.
(2) Si una serie z1+ z2 +.... converge, entonces
En caso contrario, la serie diverge.
lim z m  0
m
(3) Que {zm}  0 es condición necesaria para la convergencia,
pero no suficiente.
Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/3 +...
el término 1/n  0 cuando n tiende a infinito, pero la
serie diverge.
13
Serie geométrica
Para la serie geométrica:


az
k 1
 a  az  az    az
2
n 1

k 1
el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:
a (1  z )
n
S n  a  az  az  ...  az
2
n 1

1 z
Observa que zn  0 cuando n   para |z| < 1, en cuyo casi
Sn converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z|  1.
14
Ejemplo:


k 1
(1  2 i )
5
k
k

(1  2 i )
5

(1  2 i )
5
2
2

(1  2 i )
5
3
3
 ...
es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y
z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:
1  2i


k 1
(1  2 i )
5
k
k
i
5


1  2i 2
1
5
15
16
Teorema de Cauchy para series.
Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0
podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| <  para todo
n > N y p =1, 2...
Convergencia absoluta.
Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de
los valores absolutos de sus términos

 |z | = |z1| + |z2| + ......
m=1 m
es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,
la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.
Si una serie es absolutamente convergente es convergente
Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.
17

¿Es la serie 
k 1
i
k
k
2
convergente?
Es absolutamente convergente, puesto que

|ik/k2| = 1/k2 y la serie real
1
 k2
k 1
es convergente.
De modo que la serie original es convergente.
18
Comparación de series:
Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie
convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que
|zn|  bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,
incluso absolutamente.
(Ejercicio: demostrarlo)
Criterio del cociente:
Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que
|zn+1/zn|  q < 1 ( n > N, con un q dado para cualquier N)
la serie converge absolutamente. En cambio si
|zn+1/zn|  1 ( n > N) la serie diverge.
(Ejercicio: demostrarlo)
19
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que
z n 1
lim
n 
L
Entonces se cumple que:
zn
a) Si L < 1 la serie converge absolutamente.
b) Si L > 1 diverge.
c) Si L = 1 “no sabe, no contesta”.
(Ejercicio: demostrarlo)

S 
Dado

(100  75 i )
n
 1  (100  75 i ) 
(100  75 i )
n!
0
2

2!
¿Es S convergente o divergente?
lim
n 
z n 1
zn
 lim
n 
100  75 i
100  75 i
Converge.
n  1!
n 1
n
n!
 lim
n 
100  75 i
n 1
 lim
n 
125
n 1
0
20
Criterio de la raíz:
Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N
n|z |
n
q<1
(n < N)
donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si
para infinitos n se cumple que:
n|z |  1
, la serie diverge.
n
Entonces, si una serie z1+z2+... cumple que para todo n > N
lim n|zn| = L
n
entonces:
a) Si L < 1 la serie converge absolutamente
b) Si L > 1 diverge
c) Si L = 1 no podemos extraer conclusiones
21

Dado
S 

0
 (  1) n 
1 1
1
n
2
 2 n
  4  i    ( 4  i ) 
(4  i)  
4 7
19
2 3
¿Es S convergente?
lim
n 
n
 (4  i) n

 2 2n  3


  lim ( 4  i )  lim
 n  n 4 n  3 n 

17
n
4 3
n

17
4
Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.
Ejercicio: demostrar que

La serie geométrica 
q
m
 1 q  q 
2
m 0
converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.
22
23
24
25
Números primos
(parte I)
26
¿Qué es un número primo?
Un entero mayor que uno se llama número primo si
solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.
"primo" = "de base"
27
Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de
las que espero convencerles tan fuertemente que queden
permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es
que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como
ladrillos en la construcción de los números naturales, los
números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa
de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como
malas hierbas entre los números naturales, parecen no
obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir
donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más
sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números
primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes
que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes
con precisión casi militar.
Don Zagier, "The first 50 million primes"
Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
28
29
El teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética muestra que
los primos son los ladrillos básicos con los que están
construidos los enteros. Dice:
Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito
de forma única como el producto de primos,
con los factores primos en el producto en orden de
tamaño no decreciente.
(Euclides, Elementos).
n

p
ei
i
i
30
¿Cuántos primos existen?
Euclides demostró que siempre existe al
menos un primo entre n y (n! + 1) de la
siguiente manera:
(a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes.
(b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable:
(b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada
la afirmación.
(b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores,
por (a) ninguno de ellos puede dividir a n!
De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1).
(b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación.
(b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento
(b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta
31
encontrar finalmente un primo mayor que n.
Ausencia aparente de un patrón regular
en la secuencia de números primos
Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000:
9.999.901
9.999.907
9.999.929
9.999.931
9.999.937
9.999.943
9.999.971
9.999.973
9.999.991.
Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a
10.000.100, hay solo dos:
10.000.019 y 10.000.079.
32
Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de
nuestra era, que existen infinitos primos y que están
espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre
dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.
33
34
The Counting Prime Function
"¿Cuántos primos menores que un número x hay?"
 ( x )  # primos menores
o igual a x .
Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19 y 23 de modo que (25) = 9.
35
La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por
ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y
existen gaps arbitrariamente largos entre primos.
36
"It is evident that the primes are randomly distributed
but, unfortunately we don't know what 'random'
means".
R.C. Vaughan
37
Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente
"buen comportamiento".
"Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on
how individual eccentricities can exist side by side with law and order".
The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh
38
"For me, the smoothness with which this curve climbs is
one of the most astonishing facts in mathematics."
Don Zagier, "The first 50 million primes"
Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19
39
(n)
n/(n)
10
4
2.5
100
25
4.0
1000
168
6.0
10,000
1,229
8.1
100,000
9,592
10.4
1,000,000
78,498
12.7
10,000,000
664,579
15.0
100,000,000
5,761,455
17.4
1,000,000,000
50,847,534
19.7
n
22.0 - 19.7 = 2.3
10,000,000,000 455,052,512 22.0
Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al
siguiente el cociente n/(n) se incrementa aproximadamente 2.3.
Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formuló la conjetura de
que (n) es aproximadamente igual a n/Ln n.
40
41
Legendre
En 1798 Legendre publica la primera
conjetura significativa sobre la forma
funcional de (x), cuando en su libro
Essai sur la Théorie des Nombres
escribe que:
 ( x) 
x
Ln x - 1.08366
42
http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
43
The logarithmic integral
function Li(x)
Li ( x ) 

x
2
du
Ln u
Zagier en su artículo dice al respecto:
"within the accuracy of our picture, the two coincide exactly." 44
Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso
ocurre por primera vez ¡alrededor de 10320!
45
46
Antes de la existencia de los
ordenadores...Tablas de D. N.
Lehmer: primos hasta 10.006.721
47
reference
1
4
antiquity
2
25
3
168
F. van Schooten (1657; Beiler)
4
1229
F. van Schooten (1657; Beiler)
5
9592
T. Brancker (1668; Beiler)
6
78498
7
664579
8
5761455
Meissel (1871; corrected)
9
50847534
Meissel (1886; corrected)
10
455052511
Lehmer (1959; corrected)
11
4118054813
12
37607912018
13
346065536839
14
3204941750802
Lagarias et al. (1985)
15
29844570422669
Lagarias et al. (1985)
16
279238341033925
Lagarias et al. (1985)
17
2623557157654233
18
24739954287740860
M. Deleglise (June 19, 1996)
19
234057667276344607
M. Deleglise (June 19, 1996)
20
2220819602560918840
M. Deleglise (June 19, 1996)
21
21127269486018731928
22
201467286689315906290
L. Pisano (1202; Beiler)
A. Felkel (1785; Beiler)
J. P. Kulik (1867; Beiler)
Bohmann (1972; corrected)
M. Deleglise and J. Rivat (1994)
project (Dec. 2000)
P. Demichel and X. Gourdon (Feb. 2001)
23
Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm
48
El teorema de los números primos:
En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron
simultáneamente lo que se había sospechado durante
mucho tiempo, el teorema de los números primos:
 ( x) ~
x
ln x
El número de primos que no excede a x es
asintótico a x/log x. En otras palabras, la
probabilidad de que "un número x escogido
al azar sea primo es 1/log x".
49
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena
aproximación a π(x) . Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o
"a(x) ~ b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x
tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa
que a(x) - b(x) sea pequeño.
50
El teorema de los números primos implica que podemos
usar x/(log x - a) (con cualquier constante a) para aproximar
(x). Chebychev demostró que la mejor elección era a = 1.
x
x/log x x/(log x -1)
(x)
1000
168
145
169
10000
1229
1086
1218
100000
9592
8686
9512
1000000
78498
72382
78030
10000000 664579 620420
661459
100000000 5761455 5428681
5740304
51
Li ( x ) 

x
2
du
Ln u
Que Li(x) sea asintótica con (x) es impresionante,
pero lo que nos gustaría es estimar (x) lo mejor
posible. Es decir, si
 ( x )  Li ( x )  E ( x )
nos gustaría conocer este error E(x) lo más
exactamente posible. Y eso nos lleva al problema
más famoso de la matemática...
52
La función zeta ζ(s)

 ( x) 
1
n
n 1
x
 1
1
2
x

1
3
s 1
x

1
4
x
 ... ( x  1)
Euler la llamó función zeta
en 1737. Consideró que s
era un real mayor que 1.

 (2) 

n 1
1
n
2


2
6
53

1
n
 ( x) 
x
 1
2
n 1
1
2
x
 ( x) 
1
2
x

1
4
x
1

1
6
x

x
1
8
x

1
3

x

4
1
10
1
x
x
 ... ( x  1)
 ...
1 
1
1
1
1

 ( x )  x  ( x )   1  x  ( x )  1  x  x  x  x  ...
2
2 
3
5
7
9

1
Repitamos la operación para el siguiente primo: 3.
54
1 
1 
1
1
1
1
1


 ...
 1  x  ( x )  x  x 
x
x
x
x
3 
2 
3
9
15
21
27
1 
1 
1 
1 
1 


 1  x  ( x )  x  1  x  ( x )   1  x   1  x  ( x ) 
2 
3 
2 
2 
3 


1
1
5
x

1
7
x


 ( x) 
1

n 1
11
1
n
x
x

1
13

x

p primo
 ...

 
 p primo

1 
 1  x 
p 


1 
 1  x    ( x )  1
p 

1
Producto de Euler para la función zeta.
Euler utilizó esta identidad
para demostrar que

p prime
1

p
i.e., existen infinitos primos.
55
Retomemos nuestro hilo...
Series de Taylor en variable real:
1
1 x
 1  x  x  x  ...
2
ln( 1  x )  x 
x
3
2

2
1
1 x
3
 ... , x  1
3
 1  x  x  ...
2
2
x
, x 1
4
, x 1
Es fácil ver
por qué el
radio de
convergencia es
|x|<1.
Pero, en este caso:
¿cuál es el motivo?
56
¿Podemos expandir cualquier función compleja
en series?
Podemos expandir funciones analíticas en unas
series especiales llamadas “series de potencias”
¿Cómo hallar esas series ?
(1) Usando el Teorema de Taylor
(2) Usando otras series conocidas
(y algunos trucos)
57
Serie de potencias
Una serie de potencias en
( z  zo )
es:

a
( z  z o )  a o  a1 ( z  z o )  a 2 ( z  z o )  
n
n
2
n0
coeficientes complejos
centro de
desarrollo

P.ej.
1
 n! ( z  i )
n0
n
 1  ( z  i) 
1
( z  i)  
2
2
58
Convergencia de series de potencias
Las series de potencias en general convergen para algunos
valores de z, y para otros.

Por ejemplo la serie

n0
(Serie
z  1 z  z  z 
geométrica)
n
2
3
converge para |z |<1, pero diverge para |z |≥1.
Radio de
convergencia
R =1
Fuera del círculo de
convergencia la serie
de potencias diverge.
Círculo de convergencia:
mayor círculo centrado
en z0 en el que la serie de
potencias converge. 59
Radio de convergencia
infinito; R = 
Ejemplos:


n0
1
z  1 z 
n
n!
z
2

2!
z
3

3!
La serie converge para todo z
Radio de convergencia cero;
R=0


n! z  1  z  2! z  3! z  
n
2
3
n0
La serie diverge para todo z (excepto z = 0)
60

a
( z  z o )  a o  a1 ( z  z o )  a 2 ( z  z o )  
n
n
2
n0
(1) La serie de potencias siempre converge para z = zo
(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:
zo
z  z o  R : diverge
z  z o  R : converge
Los valores z tq. z  z o  R pueden converger o no
61
En resumen:
El radio de convergencia R puede ser:
(i) cero (converge solo en z = z0).
(ii) un número finito R (converge en todos los puntos
del círculo |z − z0| < R).
(iii)  (converge para todo z).
La serie de potencias puede converger en algunos,
todos o ninguno de los puntos de la circunferencia de
convergencia. Hay que determinarlo por separado.
62
¿Hay una forma rápida para hallar el radio de convergencia?
La fórmula de Cauchy-Hadamard :
lim
a n 1
n 
(i)
(ii)
(iii)
lim
a n 1
n 
lim
R
 L  0,
R = 1/L.
0
R es .
an
a n 1
n 
lim
an

1
n 
an
a n 1
an

R = 0.
63
Ejemplo:

( 2 n )!
 ( n! )
2
( z  3i )  1  2 ( z  3i )  6 ( z  3i )  
n
2
n0
lim
n 
a n 1
an
 2 ( n  1)  ! ( n ! ) 2
 lim
2
n   ( n  1)! 
( 2 n )!
 lim
R 
n 
( 2 n  2 )( 2 n  1)
( n  1)
2
4
1
R
1
4
64

( 2 n )!
 ( n! )
2
( z  3i )  1  2 ( z  3i )  6 ( z  3i )  
n
2
n0
z  3 i  1 / 4 : converge
z o  3i
z  3 i  1 / 4 : diverge
65
Ejemplo:

 ( z  4i )
n
 1  ( z  4i )  ( z  4i )  
2
n0
lim
a n 1
n 
an
 lim
n 
1
1
1
1
R
R 1
z  4 i  1 : diverge
zo  4i
z  4 i  1 : converge
66
Ejemplo:


ne ( z  1)  e ( z  1)  2 e ( z  1)  
n
n
2
n0
lim
n 
a n 1
an
 lim
n 
( n  1) e
ne
n
2
n 1
 lim e
n 
n 1
e
n
1
R
R  1/ e
zo  1
z  1  1 / e : diverge
z  1  1 / e : converge
67

Otro ejemplo:

(  1) ( z  1  i )
k
k!
k 1
(  1)
an 
(  1)
n 1
n!
, lim
n 
k
n2
( n  1)!
(  1)
n 1
 lim
n 
1
n 1
0
n!
El radio de convergencia es .
68
Recuerda además que todo lo dicho para series,
evidentemente funciona para series de potencias.
Por ejemplo:
lim
(1) Si
n
n 
zn
1
la serie diverge.

lim z n  0 
(2) Si
n 
 z la serie diverge.
n
n0
(3) Comparar:

z

n
si z n  b n y
converge
n0
(4) Si
b
n
converge
n0
lim
n 
z n 1
1
la serie diverge.
zn
69

k
 6k  1 
k
  2 k  5  ( z  2i)

k 1 
n
6
n

1
 6n  1 
an  
3
 , lim n a n  lim
n  2 n  5
 2 n  5  n 
El test de la raíz nos muestra que R = 1/3. El
círculo de convergencia es |z – 2i| = 1/3.
La serie converge absolutamente para:
|z – 2i| < 1/3.
70
Resumen y varios comentarios interesantes:

a
(Observa que para nosotros era: R   lim n 1
 n  a
n
En el punto iv se resuelve el enigma) 




1
71
72
73
74
Series de Taylor
75
76
77
Series de potencias y funciones analíticas
Cualquier función analítica f (z) puede ser representada por una
serie de potencias con radio de convergencia R  0. La función
representada por la serie es analítica en todo punto dentro del
radio de convergencia.
Ejemplo:
f (z) 
1
1 z


z
n
 1 z  z  z 
2
3
n0
la serie converge para |z|≤1
Radio de convergencia R = 1
78
¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función
analítica determinada?
A las series de potencias que representan funciones
analíticas f (z) se les llama series de Taylor.
Vienen dadas por la fórmula:

f (z) 

n0
an ( z  zo ) ,
n
an 
1
f
n!
(n)
( zo )
(Cauchy, 1831)
79
Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):
f
(0)
( z )  sin z
f
(4)
( z )  sin z
f
(0)
(0)  0
f
(4)
(0)  0
f
(1 )
( z )  cos z
f
(5)
( z )  cos z
f
(1 )
(0 )  1
f
(5)
(0 )  1
f
(2)
( z )   sin z
f
(2)
(0)  0
f
(3)
( z )   cos z
f
(3)
(0)   1
f
f
(2k )


(0)  0
( 2 k 1)
( 0 )  (  1)

sin z 

k 0

sin z 

k 0
f
(n)
(0)
k

z 
n
n!
(  1)

k 0
f
(2k )
(0)
( 2 k )!

z
2k


k 0
f
( 2 k 1)
(0)
( 2 k  1)!
z
2 k 1
k
( 2 k  1)!
z
2 k 1
80
Demostración del teorema de Taylor:
y

Por la fórmula integral de Cauchy:
r1
z
r0
z0
C0
f (z ) 
C1
1
2 i
f ( )
   z d
C1
x Vamos a desarrollar el integrando:
1
 z

1
(  z 0 )  ( z  z 0 )

1
  z0
1
1
z  z0

  z0
N

 z  z0 



N 1

  z 0 
 z  z0 
z  z0
1 


1
 ...  



z  z0
  z0
  z0
  z0 

1


  z0









81
f ( )
 z
f (z ) 

f ( )
  z0
1
2 i

f ( )
(  z 0 )
f ( )
   z d
2
( z  z 0 )  ... 
f ( )
(  z 0 )
N
( z  z0 )
N 1

f ( )( z  z 0 )
N
(  z )(   z 0 )
N

C1
N
 f ( )
)
z

z
)(

(
f
f ( )
f ( )
N 1
0

)
z

z
(

...

)
z

z
(

0
0
N
N
2

(  z )(   z 0 )
(  z 0 )
2  i C    z 0 (  z 0 )
1
1
f ( z )  f ( z 0 )  f ' ( z 0 )( z  z 0 )  ... 
f
( N 1 )
( z0 )
( N  1)!
( z  z0 )
N 1

 d

 RN (z)
Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:
f
(n)
( z0 ) 
f ( )
n!

2  i   z 
C
0
n 1
d
82
Donde hemos definido el residuo Rn:
RN (z) 
f ( )( z  z 0 )
1
2 i
 (  z )(   z
C1
0
N
)
N
d
Observemos que:
| z  z 0 | r ; |   z 0 | r1  r ; |   z | |   z 0 |  | z  z 0 | r1  r
Si M es el valor máximo que puede alcanzar f ( )
sobre C1:
N
N
r
M 2  r1
Mr 1  r 
RN (z) 
2  ( r1  r ) r1
N

 
( r1  r )  r1 
Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito
del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,
la serie de Taylor converge a f(z).
83
Brook Taylor
(1685-1731)
En 1715 agregaba a las matemáticas
una nueva rama llamada ahora “El
cálculo de las diferencias finitas”,
e inventó la
integración por
partes . Descubrió la célebre
fórmula conocida como la serie de
Taylor.
Taylor también desarrolló los
principios fundamentales de la
perspectiva (1715).
James Gregory (1638 – 1675)
descubrió las “series de Taylor”
40 años antes que Taylor ...
84
Ejemplo:
f (z) 
Encontrar la serie de Taylor para
f (z) 
1
1 z
, f ( z ) 
1
1  z 
2
, f ( z ) 
2
1  z 
3
1
1 z
, f ( z ) 
3!
1  z 4
(1) Tomemos centro z = 0 :
1
1 z



an z
f (0)  1
n
n0



(n)
f
(0)
z
n
zo  0
z 1
n!
n0

z
f  ( 0 )  2
f  ( 0 )  3!


f ( 0 )  1
n
punto singular
n0
 1 z  z  z 
2
3
centro
R 1
85
f (z) 
1
1 z
, f ( z ) 
1
1  z 
2
, f ( z ) 
2
1  z 
, f ( z ) 
3
(2) Tomemos centro z =1/2 :
1
1 z
zo 


 a z  
n
1
2
n0



n0


f
(n)
( 12 )
n!
1  z 4
f ( 12 )  2
z 1
1 n
2
3!
2
f  ( 12 )  2
3
f  ( 12 )  2 . 2
4
f  ( 12 )  3! 2
z  
1 n
2
punto singular
centro
 2 z  
n 1
1 n
2
n0
 2  4z 
1
2
  8z  
1 2
2
 16  z 

1 3
2

R 
1
2
86
Una función analítica f (z) puede ser representada
mediante series de potencias con distintos centros zo
(aunque hay únicamente una serie para cada centro).
1
1 z
 1 z  z  z 
2
zo  0
3
z 1
1
1 z
 2  4z 
1
2
  8  z  12 2  16  z  12 3  
zo 
1
2
z 1
Hay por lo menos un punto singular en la
circunferencia de convergencia
87
f (z)  e
Ejemplo:
z
con centro z = 0
z
z
z
z
f ( z )  e , f ( z )  e , f ( z )  e , f ( z )  e
f (0)  1

e 
z
a
z
n
n
f ( 0 )  1
n0



f
(n)


n0
z
f  ( 0 )  1
n
zo  0
n!
n0

(0)
z
f  ( 0 )  1
n
n!
 1 z 
z
2
2

z
R 
3
3!

centro
¡no hay puntos singulares!
88
Unicidad del desarrollo de Taylor
Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor
1 (n)
n
de z0 , tq:
f ( z)   an ( z  zo ) ,
an 
f ( zo )
n!
n0
¿Existirá otra serie 
de potencias: f ( z )   b n ( z  z o ) n ,
con
bn  a n ?
n0
f ' ( z )  b1  2 b 2 ( z  z o )  3 b3 ( z  z o )  ...
2
f ' ' ( z )  2 b 2  3  2  b 3 ( z  z o )  ...
Tomando z = z0 en las
expresiones anteriores:

f ( z 0 )  b0
 f
f ' ( z 0 )  b1
f ' ' ( z 0 )  2 b2 ;

f ' ' ( z0 )
2
 b2
(n)
( z 0 )  n! b 2 ;
f
(n)
( z0 )
n!
 bn
n  0 , 1, 2 , ...
Son los mismos coeficientes del
desarrollo de Taylor
89
Derivar la serie de Taylor directamente a partir
de la fórmula

f (z) 

an ( z  zo ) ,
n
an 
n0
1
f
(n)
n!
( zo )
puede ser complicado.
Normalmente se usan otros métodos:
(1) La serie geométrica
(2) La serie binomial
1 z


z  1 z  z  z 
n
2
3
n0
m 1 n n
m ( m  1) 2 m ( m  1)( m  2 ) 3
 z  1  mz 
    1 
z 
z 
n
2!
3!
n0



1
(1  z )

1
n
m
(3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc.

sin z 

n0
(  1)
n
z
2 n 1
( 2 n  1)!
 z
z
3
3!

z
5
5!

90
Ejemplo: Expandir f ( z ) 
1
1 z
2
para z = 0
(usar la serie geométrica)
Primero dibujamos el centro y los puntos singulares
de f(z) para hacernos una idea:
puntos singulares:
z  i,  i
Parece que el radio de convergencia es R=1.
centro
91
Sabemos que
Por tanto
1
1 z
1
1 z
2
 1 z  z  z 
2

1
3
 1 z  z  z 
2
1  ( z )
2
4
6
La serie geométrica converge para |z|<1
por tanto nuestra serie converge para |z|2 <1
O lo que es lo mismo: para |z|<1. Y efectivamente el radio
de convergencia es R = 1 como habíamos predicho.
92
Ejemplo: Expandir f ( z ) 
1
3  2z
para z = 1
(usar la serie geométrica)
De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares
de f(z):
centro z = 1
puntos singulares:
z  3/2
Parece que el radio de convergencia es R = 1/2
93
1
Sabemos que
por tanto
1 z
1
3  2z

 1 z  z  z 
2
1
1  2 ( z  1)
3
 1  2 ( z  1)  4 ( z  1)  
2
La serie geométrica converge para |z |<1,
por tanto nuestra serie converge para |2(z-1)|<1
es decir, para |z -1| < 1/2.
94
Encuentra la serie de Maclaurin de la función:
f (z) 
f (z) 
1
1 w
z
z
z 9
4

1
9 1  ( z / 9)
4



f
(n)
z
1
9 1  ( z / 9)
4
(0)
z
n
n!
n0

 1  w  w  w  ... 
2
3

(  1) w
n
n
n0
2
3
 z4 
 z4 
1
z
 
  ... 
 1
 
4



1  ( z / 9)
9  9 
9


4
n
4


z /9
z
z


n
 
  (  1)   
4

1  ( z / 9) n0
 9  9 



n0
(  1)
9
n 1
4


z
n
 (  1)  9 
n0



n
n
z
4 n 1
95
Ejemplo: Expandir f ( z ) 
1
(1  z )
2
para z = 0
(Usar la serie binomial)
Centro y puntos singulares  R = 1:
Punto singular:
Centro z = 0
z 1
96
La serie binomial es:
(1  z )
m 1 n n
 z 
    1  
n
n0



1
n
m
1  mz 
m ( m  1)
z 
2
m ( m  1)( m  2 )
2!
Por tanto:
1
(1  z )
2

1
[1  (  z )]
3
3!
 1  2z  3z  4z  
2
2
z 
(1  z )
3
m
es singular en z = -1
La serie binomial converge para |z |< 1
Por tanto nuestra serie converge para |-z |<1
Es decir |z |< 1.
97
Ejemplo:
2 z  15 z  34
2
Expandir f ( z ) 
( z  4) ( z  2)
2
en z = 0
Puntos singulares:
z  4,  2
Centro z = 0
… el radio de convergencia
debería ser R = 2.
98
Usaremos fracciones parciales:
2 z  15 z  34
2
f (z) 
( z  4) ( z  2)
2
A

( z  4)
2

B
( z  4)

C
z2
 2 z  15 z  34  A ( z  2 )  B ( z  4 )( z  2 )  C ( z  4 )
2
 f (z)  
1
( z  4)
2

2
2
z2
Ahora

1
( z  4)
2

1
(4  z )
2

1
4 [1  ( z / 4 )]
2
2
2
3


1 
z
z
z

1  2  3    4     
16 
4

4
4
converge para z / 4  1  z  4
99
y
2
z2

2
2z

1
1  ( z / 2)
2
3


z z
z
  1          
2 2


2
converge para z / 2  1  z  2
Así que
f (z)  
1
( z  4)
2

2
z2
2
3


 1
 
z
z
z
z z
z
   2  2 3  3 4  4 5     1          
4
4
4
2 2

2
 4
 
2

17
16

15
3
z 
32
converge para z  2
100

1
( z  4)
2

1
4
2
2
z
4
3
3
z
2
4
4
4
z
3
4
5

Converge para
|z|<4.
Para:

Converge para
|z|<2
2
3
z
z
 1         
z2
2 2
2
2
z
1
z 4
2

2
z2
hay convergencia
en el área común
101
Otras series útiles (Ejercicio: demostrar por la fórmula de Taylor)
sin z  z 
cos z  1 
z
3
3!
2
z
z

5!
4
z

2!
e  1 z 
z
5

z 

z 
4!
z
2

z
3

2!
3!
3
5
z
z
sinh z  z 


3!
5!
2
4
z
z
cosh z  1 


2!
4!
Ln (1  z )  z 
z
2
2

z
z 
z 
z 
3
3

z 1
102
Ejemplo:
(de uso de series conocidas)
Expandir f ( z )  sin 2 z 2 en z = 0
no hay puntos singulares…el radio de convergencia
debería ser R = .
Usando la serie
sin z  z 
z
3

3!
f ( z )  sin 2 z
2
5

5!
2
2
 2z 
z
(2 z )
3!
3
2

(2 z )
5

5!
103

Ejemplo:
e  e
( z  1)
z


f (z) 
an ( z  zo ) ,
an 
n0
f
(0)
(z)  e  f
(0)
f
(1 )
(z)  e  f
(1 )
z
z
(| z  1 |  )
n!
n0
n
n
1
f
(n)
n!
( zo )
(1)  e
(1)  e


e 
z

n0
f
(n)
(1)
n!

( z  1) 
n

n0
e
n!

( z  1)  e 
n
n0
( z  1)
n
n!
104
De otra manera:

e 
z

n0
e  ee
z
z 1
z
n
(| z |  )
n!
(| z  1 |  )

e 
z
z

n0
e
z 1
n!



n0
e  ee
z
n
z 1
( z  1)
n
n!

 e
n0
( z  1)
n!
n
105
En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso
aparecer dentro del círculo de convergencia.

Centro z o
Ln z 
 1  i

an ( z  1  i)
n
n0
a o  Ln (  1  i )
an 
lim
n 
z  0
Ln z  
a n 1
(  1)
n(1  i)
(  1)
 lim
n 
an

n
n2
n(1  i)
( n  1)(  1  i )
1
1 i
Recordemos que el Ln z es singular (no analítico)
sobre el eje negativo.
n 1

n 1
n
(  1)
n 1
1
2
 R 
2
106
107
108
109
110
111
112
113
114
Una serie de potencias

 k 0 ak ( z  z0 )
k
puede diferenciarse término a término en cu círculo de
convergencia
| z  z0 |  R
115

f (z) 

a k ( z  z 0 )  a 0  a1 ( z  z 0 )  a 2 ( z  z 0 )  a 3 ( z  z 0 )  
k
2
3
k 0

f ( z ) 

ka k ( z  z 0 )
k 1
 a1  2 a 2 ( z  z 0 )  3 a 3 ( z  z 0 )  
2
k 1


f  ( z ) 
k ( k  1) a k ( z  z 0 )
k 2
 2  1a 2  3  2 a 3 ( z  z 0 )  
k 2

f  ( z ) 

k ( k  1)( k  2 ) a k ( z  z 0 )
k 3
 3  2  1a 3  
k 3
f ( z 0 )  a 0 , f ' ( z 0 )  1! a1 , f " ( z 0 )  2! a 2 ,...
an 
f
(n)

( z0 )
n!
,
n0
f ( z) 

k 0
f
f
(k )
(n)
( z0 )
k!
( z 0 )  n! a n
( z  z0 )
k
116
Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la función
f(z) = 1/z alrededor de z0 = 1.

Respuesta: f ( z ) 
 (  1)
n
( z  1)
n
con | z  1 | 1
n0
Ejercicio: Diferenciando la serie anterior obtener el
desarrollo de Taylor de la función g(z) = 1/z2 alrededor
de z0 = 1.
f (z) 
1
1
; f '(z)  
z
z
2
  g ( z );

g ( z )   f ' ( z )    (  1) n ( z  1)
n
g (z)   f '(z)
n 1

n 1


n 1
(  1)
n 1
n ( z  1)
n 1

  (  1) ( n  1)( z  1) ; con | z  1 | 1
n
n
n0
117
1
1 z
1
1 z

1
1  2i

1
(1  2 i )
2
( z  2i) 
1
(1  2 i )
( z  2 i )  ...
3
2
 1  z  z  z  ...
2
3
118
Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la función
“seno integral” (se trata de una función que aparece con
frecuencia en problemas de radiación electromagnética
y que no es posible evaluar en términos de funciones
elementales):
Si( z ) 

z
f ( ) d  con
0
y
f ( 0 )  1;
f ( ) 
sin(  )

;
si
  0
 0
si
Observa que la serie de Taylor



sin    


  converge también para 0.
sin 

 1
3
5
7
3!
5!
5!

2
3!


4
5!


6

7!
119
Integrando la serie término a término:
Si( z ) 

z
sin 

0
 z
z
3
3  3!

Si( z ) 

n0


d 
z
1d  
0
z
5
5  5!

z

0
2
3!
d 

z
0

4
5!
d 

z
0

6
d  
7!
7
7  7!
(  1)

z
 ...
n
( 2 n  1)( 2 n  1)!
z
2 n 1
120
121
122
123
Multiplicación de series
Podemos multiplicar dos series de potencias término a término,
y “recolectar” los términos con igual potencia para determinar
una nueva serie de potencias, el producto de Cauchy de las
dos series:

f (z) 

a k z  a 0  a 1 z  a 2 z  ...
k
2
k 0

g (z) 
b
z
m
m
b 0  b1 z  b 2 z  ...
2
m 0

 
k 
m 
f ( z ) g ( z )    a k z   bm z  
 k 0
 m  0

a 0 b 0  (a 0 b1  a 1b 0 )z  (a 0 b 2  a 1b1  a 2 b 0 )z

 (a
n0
2
 ... 

0
b n  a 1b n- 1  ....  a n b 0 )z
k

c
n0
n
z ; donde c n 
n
m
a
k
bn  k
k 0
124
Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el
desarrollo de Maclaurin de f(z) = ez /(1-z).
1
1 z


z
n
2
3
n0

e 

z  1  z  z  z   ; | z | 1

n0
z
n
 1 z 
n!
z
2
2!

z
3
  ; | z | 
3!
2
3


z
z
2
3
f (z) 
  1  z 

   1  z  z  z   
1 z 
2!
3!

e
z


1  2 
1
1 3

1  (1  1) z   1  1   z   1  1 
  z  ... 
2! 
2! 3! 



 n 1  n
   m !  z Para |z| < 1, la condición “más fuerte” de las dos.
n  0  m 1

125
126
127
128
129
130
131
132
De hecho, podemos definir las funciones
elementales a partir de series de potencias.
Por ejemplo:
133
Como hemos visto podemos expandir una función analítica
en serie de Taylor alrededor de un centro. Por ejemplo,
1
1 z
zo  0
 1 z  z  z 
2
3
Podemos expandir la misma función
respecto a distintos centros. Por ejemplo:
1
1 z
zo 
 2  4z 
1
2
  8z  
1 2
2
1
2

Notemos que (a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z0).
(b) la serie converge dentro de un disco.
134
Pero hay otro tipo de series que:
(a) incluyen potencias negativas de (z-z0)
(b) convergen dentro de un anillo
Tales series se llaman series de Laurent.
Ejemplo
 2z  3
z  3z  2
2

1
z
2

1
z

1
2

z

4
z
2

8
Converge para 1<|z|<2
Puntos singulares en z = 1, 2
Centro
135
Recordatorio:
Singularidades aisladas
Supongamos que z = z0 es una singularidad de
una función compleja f. El punto z0 se llama
singularidad aislada si existe un disco
puntuado abierto 0 < |z – z0| < R en el que la
función es analítica.
136
La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo.
Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares,
podremos separar el plano complejo en distintas regiones de
convergencia.
Ejemplo
f (z) 
1
1 z
centro
centro
Dentro del disco |z|<1 tenemos la
serie de Taylor:
1
1 z
 1 z  z  z 
2
3
En el anillo 1< |z| < 
tenemos la serie de Laurent:
1
1 z

1
z

1
z
2

1
z
3

137
Por supuesto, podemos tener
distintos centros ...
1
f (z) 
1
1 z
1
1
centro
centro
En el anillo 2< |z+1|< 
tenemos la serie de Laurent.
Dentro de un disco |z+1| < 2
tenemos la serie de Taylor.
1
1 z

1
2

1
z 1
4

( z  1)
8
2

1
1 z

1
z 1

2
( z  1)
2

4
( z  1)
3

138
El centro podría ser, incluso, el punto singular ...
f (z) 
centro z0=1
1
1 z
En este caso, la serie es válida
para 0< |z-1|<  , un disco con
el punto singular z0=1 situado en
el centro.
En este caso, la serie está formada por un único término
1
1 z
139
La función f(z) = (sin z)/z3 es no analítica en z = 0 y
no podemos expandirla como serie de Maclaurin.
Sabemos que:
sin z  z 
z
3

3!
z
5
z

5!
7
 ...
7!
converge para todo z. Así que:
f (z) 
sin z
z
3

1
z
2

1
3!

z
2
5!

z
4

7!
convergerá para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.
140
Ejemplo
¿Cuántas series con centro z0 = 1/4 puede tener la función
sin z
?
La función presenta dos singularidades
z z2
2
| z-1/4 | < 5/4
(polos simples), en z = -1, 2.
5/4 < | z-1/4 | < 7/4
7/4 < | z-1/4 | < 
El anillo siempre está entre los puntos singulares.
141
Ejemplo
¿Cuántas series con centro z0 = 0 tiene la función
e
z
( z  2)
2
?
La función presenta una singularidad
(polo de segundo orden) en z = 2.
|z| < 2
2 < |z| < 
142
Ejemplo
Centro z = 2 para:
3
( z  i )( z  1)( z  4 )
Tres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4.
| z-2 | <1
1< | z-2 | <2
2 z2 
5
5  z2 
143
¿Cómo hallar la serie de Laurent? Teorema de Laurent:
Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo de
centro z0, r0< |z - z0| < r1. Entonces f(z) admite representación
en serie de Laurent:
f ( z )  a 0  a1 ( z  z 0 )  a 2 ( z  z 0 )  a 3 ( z  z 0 )  
2

b1
z  z0

b2
( z  z0 )
2

b3
( z  z0 )
3

3
b4
( z  z0 )
4

donde
an 
1
f (z)

2 i ( z  z
C
bn 
1

2 i
0
)
n 1
dz , n  0 , 1, 2 , ...
f ( z )( z  z 0 )
n 1
r0
r1 C
dz , n  0 , 1, 2 , ...
C
¿Cuánto valen los bn’s cuando
f(z) es analítica en |z-z0| < r1?
Pierre Alphonse Laurent (1843)144
Demostración del teorema de Laurent:
y

Por la fórmula integral de Cauchy para un
dominio doblemente conexo:
z
r1
r0
z0
f (z ) 
C1
C0
f ( )
1
2 i
f ( )
1
   z d   2 i    z d 
C1
C0
x
f ( )
 z

f ( )
  z0

f ( )
(  z 0 )
2
( z  z 0 )  ... 
f ( )
(  z 0 )
N
( z  z0 )
N 1

f ( )( z  z 0 )
N
(  z )(   z 0 )
N
145
1
 z

1
( z  z 0 )  (  z 0 )

1
z  z0
1
1
  z0

z  z0
N

   z0 



N 1


z

z
   z0 
  z0
1 
0 


1
 ...  

  z0
z  z0 
z  z0
z  z 0 

1

z  z0


1
z  z0
 f ( )
 z


1
1
(  z 0 )
f ( )
z  z0

1
( z  z0 )
f ( )
(  z 0 )
2
 ... 
1
(  z 0 )
1
1
( z  z0 )








2
 ... 
1
1 N
( z  z0 )
f ( )
(  z 0 )
1 N
N

(  z 0 )
N
1
( z  z0 )
N
z 
1
( z  z0 )
N

(  z 0 )
N
f ( )
( z  z0 )
N
z 
146
f (z ) 
1
2 i
f ( )
f ( )
1
   z d   2 i    z d 
C1

C0
N
 f ( )
f ( )( z  z 0 )
f ( )
f ( )
N 1

( z  z 0 )  ... 
( z  z0 )


2
N
N

2  i C    z 0 (  z 0 )
(  z 0 )
(  z )(   z 0 )
1
1

 d 

N
 f ( )
(  z 0 ) f ( ) 
f ( )
1
f ( )
1

 ... 


 d
1
2
1 N
N
N

2  i C  z  z 0 (  z 0 ) ( z  z 0 )
(  z 0 )
( z  z0 )
( z  z0 ) z   
0
1
N 1
f (z) 
a
n0
N
( z  z0 )  R N ( z )  
n
n
n 1
bn
( z  z0 )
n
Q N (z)
147
QN (z) 
1
1
2 i ( z  z 0 )
N

C0
f ( )(   z 0 )
(z   )
N
d
Observemos que:
| z  z 0 | r ; |   z 0 | r1  r ; |   z | |   z 0 |  | z  z 0 | r1  r
Si M es el valor máximo que puede alcanzar f ( )
sobre C1:
N
N
r0 M 2  r0
Mr 0  r0 
1
QN (z) 

 
N
2 r
r  r0
( r  r0 )  r 
Y puesto que r/r1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito
del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,
la serie de Taylor converge a f(z).
148
Hallando la serie de Laurent
Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas formas
de hallar la serie de Laurent de una función. En la práctica, no
usaremos la fórmula anterior. Un método más simple consiste
en usar la serie geométrica, tal como hicimos con la serie de
Taylor.
Ejemplo (1)
Expandir la función 1/(1-z) en potencias negativas de z
1
1 z

1
z (1  1z )
Dado que

1
1 z
1
1
1
1
1
1
1
1

1













2
3
2
3
4
z
z z
z
z z
z
z

 1 z  z 
2
converge para |z |<1, la serie
converge para |1/z| < 1, o |z|>1
149
Ejemplo
1
i z

Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2
(Serie de Taylor)
1

i  2  ( z  2)
1
( i  2 ) 1 
z2
i2

2


1
z  2 ( z  2)


 
1 
2
i2
i2
(i  2 )


1
i2
Dado que

1
1 z
z2
(i  2 )
2

( z  2)
2
(i  2 )
3
 1 z  z 
2
converge para  z  2  / i  2   1

converge para |z|<1, la serie
ó
z  2  
5
150
Otra posibilidad consiste en expandir la función
1/(i-z) en potencias negativas de z-2 (serie de Laurent):
1
iz

1
i  2  ( z  2)

1
z2
Dado que

1
1 z

i2
( z  2)
2
1
( z  2 ) 1 

(i  2 )
2
i2
z2

2
( z  2)
 1 z  z 
2


i2
(i  2 )



1 
2
z2
z  2 ( z  2)

1

3
converge
para |z|<1, la serie converge para
i  2  /  z  2   1
ó
 z  2  / i  2   1
ó
z  2  
5
151
Ejemplo (3)
Expandir la función
e
2z
(1  z )
2
3

e e
2 ( z 1 )
( z  1)
3
e
2z
(1  z )
3
con centro z = 1


2 ( z  1) 2

1  2 ( z  1) 
 
3 
( z  1) 
2!

e
2
2
3
4


1
2
2
2
2
2
 e 




( z  1)  
3
2
( z  1)
2! ( z  1) 3!
4!
 ( z  1)

converge para 0 < |z -1|<
¡El centro es el punto singular !
152
Cada serie de Laurent tiene dos partes:
f ( z )  a 0  a1 ( z  z 0 )  a 2 ( z  z 0 )  a 3 ( z  z 0 )  
2
3
Potencias positivas (serie de Taylor)
... 
b1
z  z0

b2
( z  z0 )
2

b3
( z  z0 )
3

DENTRO
b4
( z  z0 )
4

Potencias negativas (Parte Principal)
FUERA
153
Ejemplo
Expandir la función
1
( z  1)( z  3 )
con centro z = 0
¿De cuántas formas podemos hacerlo?
centro
(a) |z| < 1
(b) 1 < |z| < 3
(c) 3 < |z| < 
1 1  1 1 
 
 

( z  1)( z  3 ) 2  z  1  2  z  3 
1
154
(a) |z| < 1
1  1   1  
 


( z  1)( z  3 ) 2   z  1   z  3  
1
 1

1 
1
1
  
 
  
2  1  (  z )  3  1  (  z / 3)  
2


1
1
z
z
2
  1  z  z     1   2    
2
3
3 3



1
3


4
9
z
13
z 
2
27
Dentro del disco, términos positivos:
serie de Taylor.
155
(b) 1 < |z| < 3
1  1   1  
 


( z  1)( z  3 ) 2   z  1   z  3  
1
1 1
 
2 z

 1

1
1

  
 
 1  (  1 / z )  3  1  (  z / 3)  
2


1 1 
1
1
1
z
z

   1   2      1   2    
2 z 
z z
3 3
 3


1
2z
3

1
2z
2

1
2z

1
6

z
18

z
2

54
potencias negativas potencias positivas
1 < |z| < 
|z| < 3
156
Serie de Laurent
En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término
expandir en potencias negativas y cuál, si lo había,
expandir en potencias positivas?
El término
1
z 1
está “fuera”
- términos negativos
El término
1
z3
está “dentro”
- términos positivos
El anillo final resulta de
la superposición
157
(c) 3 < |z| < 
1
( z  1)( z  3 )

1  1   1  



2  z  1   z  3  
1 1
 
2 z

 1

1
1

  
 
 1  (1 / z )  z  1  (3 / z ) 
2

1 1 
1
1
3 3
 1
   1   2      1   2    
2 z 
z z
z z
 z


1
z
2

4
z
3

13
z
4

potencias negativas
3 < |z| < 
potencias positivas
|z |< 
158
f (z) 
1
( z  1) ( z  3 )
2
(a) 0 < |z – 1| < 2
f (z) 
1
( z  1) ( z  3 )
2

1
1
( z  1)  2  ( z  1)
2

1
2 ( z  1)
1
2
1
( z  1)
2
2
3


( z  1 ) ( z  1)
( z  1)
f (z) 
1


 ... 
2 
2
3
2 ( z  1) 
2
2
2

1

1
2 ( z  1)
2

1
4 ( z  1)

1
8

( z  1)
 ...
16
159
f (z) 
1
( z  1) ( z  3 )
2
(b) 0 < |z – 3| < 2.
f (z) 
1
( z  1) ( z  3 )
2

1
( z  3)
z  3


1

4 ( z  3) 
2 
1
[ 2  ( z  3 )]
2
2
(binomial válida para
|(z – 3)/2| < 1 o |z – 3| < 2)
2


1
(  2 )  z  3  (  2 )(  3 )  z  3 
f (z) 



  ... 
1 
4 ( z  3) 
1!  2 
2!
 2 

f (z) 
1
4 ( z  3)

1
4

3
16
( z  3) 
1
( z  3 )  ...
2
8
160
f (z) 
f (z) 

8z  1
0 < |z| < 1.
z (1  z )
8z  1
z (1  z )
1

8z  1 1
1 z
z
 (8 
1
z

) 1  z  z  ...
2

 9  9 z  9 z  ...
2
z
161
f (z) 
1
1 < |z – 2| < 2.
z ( z  1)
En el centro z = 2 f es analítica.
Queremos encontrar dos series de
potencias enteras de z – 2; una
convergiendo para 1 < |z – 2| y la otra
para |z – 2| < 2.
f (z)  
1
z
f1 ( z )  

1
z  2  z  2
 z  2
  1 

 
  ... 
2
2
 2 
 2 

2
 
1
2

z2
2
2

( z  2)
2
3
2

1
z

1
z 1
 
 f1 ( z )  f 2 ( z )
1
2 z2
 
1
2
1
1
z2
2
3
( z  2)
2
4
|(z – 2)/2| < 1 o |z – 2| < 2.
3
 ...
162
f2 ( z) 
1
z 1

1
1 z  2

1
1
z2
1
1
z2
2
3


1
1
 1 
 1 


 
  ... 
1 
z2
z  2  z  2
 z  2


1
z2

1
( z  2)
2

1
( z  2)
3
 ...
|1/(z – 2)| < 1 o 1 < |z – 2|.
163
f(z) = e3/z , 0 < |z|.
e  1 z 
z
z
2

2!
e
3 z
 1
3
z

z
3
 ...
3!
3
2
2! z
2

3
3
3! z
3
 ...
164
f (z) 
1
z ( z  1)
(a) 0 < |z| < 1,
(b) 1 < |z|,
(c) 0 < |z – 1| < 1
(d) 1 < |z – 1|.
165
f (z)  

1
z

1
z
1
f (z) 
1
1
z ( z  1)
1
f (z) 
z
z 1 z
1  z  z
2
 ...

 1  z  z  ...
2
1
1
1

z
1 
1
1

1   2  ...  
2 
z 
z z

2
1
z
2

1
z
3

1
z
4
 ...
166
f (z) 
1
1
(1  1  z )( z  1)
1
z  1 (1  z  1)
1
z 1
1
z 1

f (z) 
1
1
( z  1) 1  ( z  1 )

1
1
( z  1)
2
1

1  ( z  1)  ( z  1)
2


 ... 

 1  ( z  1)  ( z  1)  ...
2
1
z 1


1
1
1
1




...

2 
2
3
( z  1) 
z  1 ( z  1)
( z  1)

1
1
( z  1)
2

1
( z  1)
3

1
( z  1)
4

1
( z  1)
5
 ...
167
Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en
torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista
del desarrollo, clasificar las singularidades.
f (z) 
1
z ( z  3)
2
Puntos singulares

f (z) 


an ( z  z0 ) 
n
n0

n 1
bn
( z  z0 )
z0 = 0
z0 = 3
0  z  z0  R
n
Para w  1 :

1
1 w


w ;
1 w
n0

 1 
 

2

(1  w )
1  w 
1
Examen
JUNIO 04/05: P-1

1
n


n
n
n0


(  1) w ;
(  1)
n 1
nw
n 1
n 1
168
z
Si 0 
z0 = 0
1 0  z  3:
3
 1
0
n

1
z
n
3

        n 1 z
z
z3
3 n0  3 
n0 3
1
3
1
1
f (z) 
z
z0 = 3
z3
Si 0 
2
1
1

z3

 

1

3
n0
z
n
3
n
 1

2
3 
3
 1
z
z
z
2

1
1 0  z 3  3:
3
f (z) 
2

1

 z  3 
1




 3 

1

1
z3 z
2

1
3
3
2


1
3
2
 (  1)
n0

 (  1)
1
n 1
Polo doble
2
0
3
1
3
n 1
 z3
n

 3 
3
n 1
 1
2
3
( n  2 )( z  3 ) 
z3
n
Polo
simple
169
P1. Junio 2006
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z)
válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares.
f (z) 
1
z ( z  2)
n
,
n N
Respuesta.
f (z) 
1
z ( z  2)
n
Puntos singulares, z = 0, z = 2.
170
• Entorno de z = 0;
0 < |z| < 2
1
f (z) 
z
1
z2
n

(  1)
1
z
n
z
2 (1 

)
2
2

z
2
1
• Entorno de z = 2;
f (z) 
1
z
n
1
z2
1
2z
n


k 0
z
k
2
k

1
2


k n
z
2
k
kn
0 < |z - 2| < 2
 g (z)
1
z2
2
4
171
g (z) 
1
z
n
es analítica en |z – 2| < 2 => Admite desarrollo de Taylor:

g (z) 
g

g (z) 
z
g
(k )
n
g (z) 


k 0
( z  2)
k
g ( z ) 
n
z
n 1
g  ( z ) 
;
( n  k  1)! 1
k
( n  1)!
n ( n  1)
z
z
(  1) ( n  k  1)!
nk
; g
(k )
n2
;
( 2 )  (  1)
k
( n  k  1)! 1
( n  1)!
k

k 0

;
( z )  (  1)

(2)
k!
k 0
1
(k )
2
nk
k ! ( n  1)!
(  1) ( n  k  1)!
( z  2)  f ( z )  g ( z )
k
2
1
( z  2)
nk

k
2
nk
k ! ( n  1)!
( z  2)
k 1
172
Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función
f (z) 
a
sin(  z )
( z  1) z
2
2
válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el
desarrollo es convergente.
Respuesta.
Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z→0) f(z) = 1)
amáx = |z – 0| = 1. Recordemos que:
sin z  z 
z
3

3!
sin(  z )
z



n0
(  1)
z

5
 
5!
(  1)
n
 ( 2 n  1)!
z
2 n 1
| z | 
n0
n
( 2 n  1)!

2 n 1
z
2n
converge
en z  
173



1 
1
1

 1  1
2n
2 n 1


 2
  z    nz

2
2
2
( z  1)
z n0
z
 1  z  2z 2z  n  0

1
f (z) 
sin(  z )
( z  1) z
2
2


sin(  z )
1
z
( z  1)
n
1   (  1)
f ( z )  2  

z  n  0 ( 2 n  1)!
2

nz
2n
, z 1
n0




2 n 1 2 n 1
2n 
   nz  
z


 n  0
 n (  1) k
f ( z )    

n  0  k  0 ( 2 k  1)!

2

2 k 1
 2n2
(  k )  z
,

z 1
174
P1. Septiembre 2007
1
4z
 donde se considera la determinación
Sea la función f ( z )  2 log 
z
 z 1 
del argumento (0,2π). Se pide:
a) Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las
singularidades, especificando el tipo.
b) Indicar las coronas en torno a z0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo
de Laurent.
c) Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z0 = 0 en la corona |z| > 4.
175
Respuesta.
a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en
aquellos puntos en los que:
1
- El cociente 2 no es analítico, es decir, el punto z = 0.
z
4 z
log

no
función
z

1


- La
es analítica. Para analizar el dominio
de holomorfía de esta función se debe considerar:
4 z
* Por un lado, los puntos singulares de
, en este
z 1
caso, z = 1.
* Por otro lado, los puntos singulares de log w con la
determinación (0,2π). Esta determinación no es
analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen
Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy
176
w 
4z
z 1

( 4  x )  iy
( x  1)  iy

( 4  x )( x  1)  y
( x  1)  y
2
2
2
i
 3y
( x  1)  y
2
2
con lo que
w0 z4
 3y

 Im( w )  0  ( x  1) 2  y 2  0
y  0

 

2
 ( 4  x )( x  1)  0  1  x  4
 Re( w )  0  ( 4  x )( x  1)  y  0
2
2

( x  1)  y
4z
Así, log 
 no es analítica en todo el segmento real
 z 1 
z  x  1, 4 
177
Con todo, la función f es analítica en
todo el plano complejo menos en z = 0
y en el segmento z  x  1, 4 
Im (z)
Re (z)
- Los puntos z  x  1, 4  no son aislados, luego la función no admite
desarrollo en serie en torno a ellos.
- El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo
g (z)
f
(
z
)

observamos que f se puede expresar de la forma
con
2
4z
g ( z )  log 

 z 1 
z
analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠ 0. Luego
z = 0 es un polo doble.
178
b) El único punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede obtener
tanto la serie de Laurent de la función en torno a z0 = 0 válida en la
corona 0 < |z| < d(0,1) = 1, como la serie convergente en el dominio |z| >
4.
Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos
4 z
g
(
z
)

log

, de modo que
respecto de z la función
 z 1 
3
1 
 1
g ´( z ) 
 


( 4  z )( z  1)
 4  z z 1
y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z|
4
> 4 o, expresado de modo más conveniente,
1
z
179
1
4z
1
z 1


1
1
z 4
1
z
1
z
1
1
1

1
z

1


4
n
z
n
n0


z
n0
4
z
1
1
n
z
z
1
1
z
(... continuar el problema ...)
180
Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y
Laurent) de las funciones complejas:
a) f (z) 
1
1 z
;
b) f ( z) 
1
(1  z )
2
,
alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de
las series obtenidas.
Respuesta.
a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1.
Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el
desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1.
181
Entonces:
f (z) 
1
1 z

1
1
2
z 1
1 (

)

1

2
n0
(  1)
2
n
n
( z  1) 
n
2

 f (z) 

n0
(  1)
2
n
n 1
( z  1)
n
Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para
|z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent.
Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:
182
f (z) 
1
1 z

1
1
z 1

1

z 1
 f (z) 
n0
1 (

2
z 1
(  1) 2
n
( z  1)
)

n
n

n
 ( z  1)

n
n 1

n0
1
g (z) 
b) Observemos que
(  1) 2

d

(
1
d
g (z)  
dz

g (z) 

n0

(
n0
(  1)
2

n
n 1
( z  1) ) 
(  1) ( n  1)
n

n 1
(  1)
2
n 1
n 1
n
)
n 1
2
( z  1)
n 1
(1  z )
dz 1  z
entonces derivando las series anteriores obtenemos:
2
(  1)
n 1
n
 df ( z )
( z  1)
dz
;
n 1
n
2
n2
( z  1) , con z  1  2 (Serie de Taylor)
n
183
y
n 1 n 1


d
(  1) 2

g (z)  
n

dz  n 1 ( z  1)






n 1
(  1)
n 1
2
( z  1)
n 1
n
n 1
con z  1  2 (Serie de Laurent)
184
Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la
función compleja:
f (z) 
1
z ( z  1)( z  2 )
Respuesta.
1
1
1 
f (z) 
 


z ( z  1)( z  2 )
z  z 1 z  2 
1


1
1
1

 

z  z (1  1 ) 2 (1  z ) 
z
2 

185
11
f ( z )   
z  z

 
n0
1
z
n2


n0


1

n0
z
2
z
n

1


2
n0
z
n
2
n

 


n 1
n 1
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar
el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos:
e
1/ z

n
Encontremos las serie de Laurent
de e1/z:
dz
C
e 
z

n0
z
 1 z 
n!

z  1 / z; e
1/ z


z
2

3!
(1 / z )
n

2 i
f ( z )( z  z 0 )
C
n  0 , 1, 2 , ...
  ; | z | 
 1
n!
Recordemos:
bn 
3
2!
n0
1
z
b1  1 
n 1
1
1

z
2! z
1
2 i
e
2

1
3! z
3
  ; 0  | z | 
1 1
1/ z
( z  0)
1/ z
dz  2  i
dz
C
dz
e
C
199
Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de
Laurent alrededor de z0 = i.
¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes an y bn
son cero a excepción de b2 = 1. Entonces, como:
an 
1
f (z)

2 i ( z  z
C
bn 
1

2 i
0
)
n 1
dz , n  0 , 1, 2 , ...
f ( z )( z  z 0 )
n 1
dz , n  0 , 1, 2 , ...
C

C
dz
( z  i)
n3
 0 si n  2

 2 i si n   2
¡Hemos resuelto
infinitas integrales
de una tacada!
200
Acabemos con la pregunta de la transparencia
sobre series de Taylor en variable real:
1
1 x
 1  x  x  x  ...
2
ln( 1  x )  x 
x
2
2
1
1 x

x
, x 1
3
 ... , x  1
3
 1  x  x  ...
2
2
3
4
, x 1
Es fácil ver
por qué el
radio de
convergencia es
|x|<1.
Pero, en este caso:
¿cuál es el motivo?
201
202
203
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6_ Series - Departamento de Matemática