Gestión Económica y Financiera
Valoración de
Opciones
Ing. Wilbert Zevallos Gonzales
Contenido
1
Teoría de valoración de opciones
2
Factores que determinan el valor de una opción
3
Estrategias con opciones
4
Modelos de valoración de opciones
5
Ejercicios
Teoría de Valoración de Opciones
Concepto de Opción
Una opción es un contrato entre dos partes en el que el comprador adquiere
el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender un determinado
activo subyacente a un precio específico, en o durante un periodo de
tiempo también determinado, a cambio de una prima o premio.
Paralelamente, el vendedor o emisor se obliga a
vender o comprar dicho activo en las condiciones
pactadas.
Teoría de Valoración de Opciones
Opciones de compra (Call)
Da el derecho al comprador del contrato de adquirir el activo subyacente.
Es decir a tomar una posición larga o compradora, si la opción se ejerce.
Opciones de venta (Put)
Da el derecho al comprador a vender un activo subyacente. Es decir, a
adoptar una posición corta o vendedora si decide ejercer la opción.
Cuando el comprador puede ejercer su derecho en cualquier día en que la
opción sea negociada, la opción se dice que es de estilo americano, y
cuando solo puede ser ejercida en su fecha concreta de vencimiento, se
dice que es de estilo europeo.
Teoría de Valoración de Opciones
Elementos de los contratos de opciones
 Comprador (Buyer)
 Vendedor (Seller)
 Prima o Premio (Premium)
 Activo subyacente (Underlying)
 Precio de ejercicio de la opción (Strike price)
 Fecha de expiración (Expiration date)
Teoría de Valoración de Opciones
El tenedor de una opción puede realizar tres acciones diferentes:
 No hacer nada: la opción expira en una fecha determinada.
 Ejercer la opción: lo que se traducirá en comprar o vender el activo
subyacente al precio del ejercicio de la opción.
 Vender o compensar la opción: lo que supondrá el tener que vender
una opción idéntica a la que hubo comprado previamente
Factores que determinan el valor
de una opción
 El comprador de una opción paga una prima al vendedor por el derecho
que adquiere.
 La prima es siempre un costo efectivo para el comprador ya que sólo debe
realizar una inversión inicial y no incurre en ninguna otra obligación.
 En cambio, para un vendedor, la prima representa la cantidad máxima que
puede ganar, ya que se enfrenta a la posibilidad de que la opción se
ejerza.
 Al ejercerse ésta, el vendedor tendrá una posición de perdida, ya que el
comprador sólo ejercerá una opción cuando ésta tenga lo que se
denomina “valor intrínseco”
Factores que determinan el valor
de una opción
 Los tres elementos esenciales de la prima de una opción son: el precio del
subyacente, el tiempo que falta hasta el vencimiento y la volatilidad del
precio del activo subyacente.
 Por lo tanto los componentes de una prima son:
Prima = Valor intrínseco + Valor en el tiempo
 Valor intrínseco es la diferencia entre el precio de mercado del activo
subyacente y el precio de ejercicio de la opción.
Factores que determinan el valor
de una opción
Las opciones se pueden clasificar de acuerdo a si el precio del activo
subyacente es mayor o menor que su precio de ejercicio en:
 Opciones dentro de dinero (in the money, o ITM): Son aquellas que si
se ejerciesen ahora mismo proporcionarían una ganancia.
 Opciones fuera de dinero (out of the money, o OTM): Son aquellas que
si se ejerciesen ahora mismo proporcionarían una perdida.
 Opciones en el dinero (at the money, o ATM): Son aquellas cuyo precio
de ejercicio es igual, o muy parecido, al precio del activo subyacente.
Factores que determinan el valor
de una opción
 En cuanto al valor tiempo, es el montante monetario que el comprador
de una opción ha de pagar por la posibilidad, en el tiempo, de un cambio
en el precio del subyacente que, a su vez, pueda originar un aumento en
el valor de la opción.
Valor en el tiempo= Prima - Valor intrínseco
Los componentes del valor tiempo son:
 El tiempo que queda hasta el vencimiento
 La volatilidad del precio del activo subyacente
 Los tipos de interés sin riesgo a corto plazo
 La oferta y la demanda de la opción.
Estrategias con opciones
• Comprar una opción de compra (buy a call)
• Vender una opción de compra (write a call)
• Comprar una opción de venta (buy a put)
• Vender una opción de venta (write a put)
Estrategias con opciones
“Compra de una call”
Ejemplo: Analice la siguiente opción Call sobre libras esterlinas. La opción
le da el derecho a comprar 25.000 £ en un plazo de dos meses y a un precio
de ejercicio (strike-price) de 1.8U$/£. El costo de la opción (prima) será de
0.04 US$/£.
BENEFICIOS: ilimitados
Situación
Comprador
Ganancias
1.8
Pérdidas
($1.000)
PERDIDAS: Limitadas
1.84
Estrategias con opciones
“Compra de una call”
Precio
0
1
1.5
1.8
1.82
1.84
1.9
2
Costo opción
$1,000
$1,000
$1,000
$1,000
$1,000
$1,000
$1,000
$1,000
Ejercer
0
0
0
0
45000
45000
45000
45000
Ingresos
0
0
0
0
45500
46000
47500
50000
Flujo de caja
-$1,000
-$1,000
-$1,000
-$1,000
-$500
$0
$1,500
$4,000
Estrategias con opciones
“Compra de una call”
Flujo de caja Call Option
$5,000
$4,000
$3,000
$2,000
Flujo de caja
$1,000
$0
-$1,000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-$2,000
Precio (Tasa US$/libra)
1.8
2
Estrategias con opciones
“Venta de una call”
BENEFICIOS: limitados
$1.000
Situación
vendedor
Ganancia
1.84
1.80
PERDIDAS: ilimitadas
Perdidas
Estrategias con opciones
“Venta de una call”
Flujo de caja Call Option (Vendedor)
1500
1000
500
0
-500 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-1000
-1500
-2000
Precios (Tasa US$/libra)
1.6
1.8
2
2.2
Estrategias con opciones
“Compra de una put”
PRECIO DE EJERCICIO: 3000
PRIMA: 75
BENEFICIOS: ilimitados
Ganancias
2,925
-75
PERDIDAS: limitadas
3,000
Pérdida
limitada
Estrategias con opciones
“Venta de una put”
PRECIO DE EJERCICIO: 3000
PRIMA: 75
BENEFICIOS: limitados
+ 75
Ganancias
2,925
Perdidas
3,000
PERDIDAS: ilimitadas
Modelos de Valoración de
Opciones
 Los modelos de valoración de opciones pretenden, mediante estructuras
analíticas, dar a conocer el valor teórico de una opción en función de una
serie de variables.
 Dado que la reproducción de la realidad es imposible, los modelos
teóricos parten de supuestos basados en el ideal de mercado perfecto.
 Los modelos de valoración de opciones se basan en la consideración de
las siguientes variables: precio del activo subyacente, precio de ejercicio,
tiempo hasta la expiración, tipo de interés y volatilidad del mercado.
 Los modelos mas utilizados son:
El modelo Binomial
El modelo Black - Scholes
El modelo Binomial
 Es un modelo discreto que considera que la evolución del precio del activo
subyacente varia según un proceso binomial multiplicativo.
 Es decir, solo puede tomar dos valores posibles, uno al alza y el otro a la
baja, con probabilidades asociadas “p” y “(1-p)”
Su Con probabilidad de p
S
Sd Con probabilidad de 1- p
S = Precio del activo subyacente en el momento presente
u = Movimiento multiplicativo al alza del precio
d = Movimiento multiplicativo a la baja del precio
Modelo Binomial para un solo
periodo
Supongamos que el valor de una acción ordinaria es de $100 y que dentro de
un periodo dicho titulo puede tomar un valor de $120, o bien, haber
descendido hasta los $90.
Si adquirimos por C dólares una opción de compra europea sobre dicha
acción con vencimiento dentro de un periodo, entonces:
Movimientos del precio de la acción
Valor de la opción de compra
120
100
20
C
90
0
Modelo Binomial para un solo
periodo
Si H es el numero de acciones ordinarias que compramos por cada opción de
compra emitida tenemos que si:
 El valor de la acción ordinaria dentro de un periodo es de $120, y el de la
opción de compra es $20, por lo tanto el flujo de caja será: H x 120 – 20
 El valor de la acción ordinaria dentro de un periodo es de $90, y el de la
opción de compra es $0, por lo tanto el flujo de caja será: H x 90 – 0
Igualando ambos flujos de caja y despejando H obtendremos :
120 H – 20 = 90 H – 0
H = 2/3
Modelo Binomial para un solo
periodo
Esto es, la cartera formada por 2/3 de una acción ordinaria y la venta de una
opción de compra sobre ella no tiene ningún riesgo, por lo tanto, el
rendimiento que se obtendrá con ella, será un rendimiento sin riesgo (Rf)
Flujo de caja
 1 Rf
Inversion
Si el precio de la acción fuese de $120 y el tipo libre de riesgo durante ese
periodo fuese del 6%, tendríamos que el valor del flujo de caja seria:
2/3 x 120 – 20 = $60, y el de la inversión: 2/3 x 100 – C, despejamos C
60
 1  0,06  C  10,0629
2 / 3 *100  C
Modelo Binomial para un solo
periodo
Si la opción de compra valiese en el mercado $11, entonces el rendimiento
seria:
60
 1,078  R f  7,8%
2 / 3 *100  11
Una vez visto como se calcula el ratio de cobertura a través de un ejemplo
numero, ahora vamos a obtenerlo de una formula.
S = Precio de la acción subyacente en la actualidad
Su = Precio de la acción dentro de un periodo si es alcista
Sd = Precio de la acción dentro de un periodo si es bajista
Modelo Binomial para un solo
periodo
Movimientos del precio de la acción
Valor de la opción de compra
Su
S
Cu
C
Sd
Cd
El flujo de caja esperado al final del periodo será:
a)
Si los precios suben: H x Su – Cu
b)
Si los precios bajan: H x Sd - Cd
Cu  Cd
H
S * (U  D)
20  0
H
 2/3
100* (1,2  0,9)
Modelo Binomial para un solo
periodo
Las probabilidades implícitas a cada evento son:
p
1 Rf  D
U D
1 p 
U  1  R f 
U D
p = (1 + 0,06-0.9) / (1,2 – 0,9) = 53,33 % de que ascienda
1 – p =46,66 % de que descienda
Modelo Binomial para un solo
periodo
Entonces, para calcular el valor de la opción:
Cu * p  Cd 1  p 
C
1 Rf
C = (20 x 0,5333 + 0 x 0,4666) / (1,06) = $10,0629
Modelo Binomial para dos
periodos
Suponiendo que el coeficiente de crecimiento del precio de la accion es
U=1,2 y que el de decrecimiento es D=0,9, podemos ver como, transcurridos
un par de periodos, la cotización ordinaria ha podido ascender hasta un
máximo de $144, o bien hasta un mínimo de $81, o tomar un valor intermedio
de $108.
Valor de la opción de compra
Movimientos del precio de la acción
Su2
144
S
100
Su
120
Sd
90
Cuu
44
Cu
Sud
108
Cud
8
C
Cd
Sd2
81
Cdd
0
Modelo Binomial para dos
periodos
El proceso comenzara de derecha hacia la izquierda, periodo a periodo. Primeramente
deberemos calcular el valor de la opción al final del primer periodo, tanto en el caso de
ascenso como de descenso
Cuu  Cud (1  p) 44* 0,533 8 * 0,466
Cu 

 25,66
1  Rf
1,06
Cud  Cdd (1  p) 8 * 0,533 0 * 0,466
Cd 

 4,025
1  Rf
1,06
Una vez que tenemos dos valores podemos calcular el precio teórico de la opción de compra
europea a través de la misma expresión matemática:
C
Cu  Cd (1  p) 25,66* 0,533 4,025* 0,466

 $14,68
1  Rf
1,06
El Modelo Black - Scholes
Las hipótesis básicas del modelo B-S, que son similares a las del modelo
binomial, son las siguientes:
 Mercado financiero perfecto y profundo
 No existen comisiones no costos de transacción ni de información
 Ausencia de impuestos y, si existen, gravarían por igual a todos los
inversores
 La acción o activo subyacente no paga dividendos
 El precio del activo subyacente “S” realiza un recorrido aleatorio con
varianza δ2
 La distribución de probabilidad de los precios del subyacente es lognormal
y la varianza de la rentabilidad es constante por unidad de tiempo del
periodo.
El Modelo Black - Scholes
Según B-S, el valor teórico de una opción de compra se determina por la
siguiente formula:
C  S * N (d1 )  E * e  r*t * N (d 2 )
C = Precio de la opción call
Donde:
S = Precio del activo subyacente
E = Precio del ejercicio
r = Tasa de interés continua en el tiempo: r = ln(1+rf)
ln(S / E )  (r   2 / 2)t
d1 
* t
t = Tiempo de expiración de la opción
d 2  d1   * t
N(i) = Valores de la función de distribución normal
estandarizada para “i”
δ = Volatilidad del precio del subyacente (medido por
la desviación estándar anualizada)
e = Base de los logaritmos neperianos: 2,7183
El Modelo Black - Scholes
El valor teórico de una opción de venta “P”:
P  C  S  E *e
 r *t
También puede obtenerse a partir de la paridad put call que, en este caso,
seria:
P  E * er*t * N  d2   S * N  d1 
El Modelo Black - Scholes
Ejercicio:
Calcular el valor de una opción CALL y una opción PUT, con los siguientes datos:
S=90 um
E=85 um
t = 3 meses
i = 12% anual
δ = 30%
1
Ln(90 / 85)  (0,1133 * 0,302 * 0,25
2
 0,6449
d1 
0,30* 0,25
d 2  0,6449 0,30* 0,25  0,4949
C  90* N (0,6449)  85* e 0,1133*0, 25 * N (0,4949)
C  90* 0,7405 85* 0,9721* 0,6897  9,66um
P  85* e 0,1133*0, 25 * N  0,4949  90* N (0,6449)
P  85* 0,9721* 0,3103 90* 0,2595 2,28um
El Modelo Black - Scholes
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Clase 19 Teoría de Opciones Financieras