Capítulo 15
¡Los Griegos ya vienen!
¡Los Griegos ya vienen!
Los parámetros de sensibilidad:
Delta = 
Gamma = 
Theta = 
Vega = 
Rho = 
1
EJEMPLO:
S = $100; X = $100;r = 0,08;  = 0,3; T = 180
días.
Call
Put
Precio:
$10,30
$6,43

0,6151
-0,3849

0,0181
0,0181

-12,2607
-4,5701

26,8416
26,8416

25,2515
-22,1559
Todos son dólares por unidad.
2
LOS GRIEGOS SON MEDIDAS DE SENSIBILIDAD.
La pregunta es como va a cambiar el valor de la opción
cuando se cambie el valor de uno de los parámetros que
definen su valor.
delta 
Delta mide la sensibilidad del valor de la opción ante un
“pequeño” cambio en el precio de mercado del activo
subyacente.
En términos matemáticos:
(c)
= c/ S
(p)
= p/ S
Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por
definición:
(S)
= S/ S = 1.
En general, la delta de cual quier posicion es el cambio de
dicha posición antes un pequeño cambio en el valor del 3
activo subyacente.
Delta
(Figura 15.2, pág. 347)
• Delta (Δ) es el cociente entre el cambio
del precio de la opción con respecto al
cambio en el precio del activo subyacente.
Precio de
la opción
Pendiente = Δ
B
A
Precio de la acción
4
Resultados:
1. El delta de una put es el delta de la call (mismo subyacente, mismo
precio de ejercicio y mismo vencimiento) menos 1.
(p) = (c) - 1.
1. Usando la fórmula de Black y Scholes, se puede mostrar que:
(c) = n(d1)  0 < (c) < 1
(p) = n(d1) - 1  -1 < (p) < 0
en el ejemplo inicial:
(c) = 0,6151
(p) = - 0,3849
5
Cobertura delta
• Implica mantener una cartera delta-neutral.
• La delta de una opción Europea de compra
sobre acciones que pagan dividendos a un
tipo q es N(d 1)e– qT.
• La delta de una opción Europea de venta es:
e– qT [N(d 1) – 1]
0 ≤ c ≤ 1
- 1 ≤ p ≤ 0
6
7
8
EJEMPLO:
(c) = 0,64  (p) = - 0,36.
Un STRADDLE comprado tiene un delta de: 0,64 + (- 0,36) = 0,28.
Una estrategia (STRIP)en la que compramos dos de las puts y una call
tiene un delta de:
0,64 + 2(- 0,36) = - 0,08 Y está casí neutralizada.
Con los dados datos, la compra de la put con una acción del subyacente
nos da una estrategia con delta:
1 + (- 0,36) = 0,64,
Así que la estrategia de: comprar la put, caomprar el subyacente y vender
la call, siempre está delta neutral.
Por fin, la compra de 100 acciones del subyacente, venta de 100 calls y
compra de y 100 puts nos da una posición con:
 = 100 + (-100)(0,64) + 100(-0,36) = 0.
9
Estretegias que definen un nivel fijo de delta
PosicióN de DELTA NEUTRAL
Acabamos de comprar una opción call porque está subvaluadada. Para
proteger el valor de la opción ante posibles cambios del precio del activo
subyacente, vamos a comprar acciones del mismo.
Problema: ¿Cuántas acciones del activo subyacente es necesario
comprar para obtener una posición neutralizada. Es decir, una posición
cuyo valor no se cambia cuando se cambie el precio del subyacente?
V = n(S)S + n(c)c
(V) = n(S) + n(S,c)(c)
Una posición cuyo valor no se cambie es una posición DELTA NEUTRAL
(
= 0)
(V) = 0  n(S) + n(S,c)(c) = 0,
n(S) = - n(S,c)(c) = 0,
10
EJEMPLO:
Supongamos que delta de una call es 0,50. Acabamos de
comprar 100 calls. ¿Cuantas acciones del subyacente necesitamos
comprar para tener una posición delta neutral?
n(s) = - n(S,c)(c) = 0,
(c) = 0,50 y n(S,c) = 100, se desprende que:
n(s) = - n(S,c)(c) = - 100(0,50) = - 50.
Esta solución significa que la call y las acciones están en posiciones
opuestas. Las acciones deben haber vendidas en corto.
De la ecuación:
n(S) = - n(S,c)(c) = 0, es claro que:
(c) = - n(S)/n(S,c).
Resulta que se puede definir el delta como:
la razón de cobertura.
Es decir, delta indica la cantidad del subyacente que está requerida para
neutralizar el riesgo de la posición.
11
Ilustración(pág. 343)
• Una institución financiera ha vendido por 300.000
dólares una opción Europea de compra sobre
100.000 acciones de unas acciones que no pagan
dividendos.
• S0 = 49, X = 50, r = 0,05, σ = 0,02, T = 20
semanas, μ = 0,13.
• El precio Black-Scholes de la opción es
aproximadamente 240.000 dólares.
• ¿Cómo se enfrenta el banco con el problema de
cubrir los riesgos?
12
Posiciones cubiertas y
descubiertas
Posición descubierta:
No hacer nada.
Posición cubierta:
Comprar 100.000 acciones hoy.
Ambas estrategias dejan al banco
expuesto a un riesgo significativo.
13
Estrategia para frenar pérdidas
(stop-loss)
Esta estrategia implica:
• Comprar 100.000 acciones tan pronto
como el precio alcance los 50 dólares.
• Vender 100.000 acciones tan pronto
como el precio descienda por debajo de
50 dólares.
Esta sencilla, pero engañosa, estrategia
de cobertura no funciona bien.
14
Cobertura delta
• La posición de cobertura debe ajustarse
periódicamente.
• La cobertura delta sobre la venta de una
opción implica una regla comercial: “comprar
caro, vender barato”.
• En las Tablas 15.3 (pág. 352) y 15.4 (pág.
353) se observan ejemplos de cobertura
delta.
15
THETA

Theta mide la sensibilidad del valor de la opción antes
un cambio pequeño del tiempo que reste hasta el
vencimiento de la opción.
En el ejemplo inicial
(call) = -12,2607
(put) = -4,5701
16
GAMMA

Gamma mide el cambio de la delta antes un
pequeño cambio del precio del subyacente.
En términos matemáticos gamma es la segunada
derivada del valor de la opción.
(c)
= 2c/ S2 ;
(p) = 2p/ S2
Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1
por que por la definición: (S) = 2S/ S2 = 0.
En general, Gamma de cual quier posicion es el
cambio del delta de dicha posición ante un
pequeño cambio del precio de mercado del
subyacente. En el ejemplo inicial:
(c ) = (p) = 0,0181
17
Error de cobertura introducido
por la curvatura, o gamma
(Figura 15.7, pág. 359)
Precio de la opción de
compra
C’’
C’
C
Precio de la acción
S
S
’
18
Resultado:
Los gammas de una call y una put son iguales.
Γc= Γp
Ejemplo:
Con una (c) = 0,70  (p) = - 0,30 y gamma de 0,2345, una estrategia de
Venta de la call y compra de la put tiene una
 = - 0,70 + (- 0,30) = -1,00,
 = - 0,2345 + 0,2345 = 0.
La estrategia de:
comprar el subyacente
comprar la put
vender la call
(estrategia) = 1 - 0,70 + (- 0,30) = 0
(estrategia) = 0 - 0,2345 + 0,2345 = 0.
Esta estrategia es delta
- gamma neutral.
19
Interpretación de gamma
• Para una cartera delta-neutral:
ΔΠ  Θ Δt + ½ ΓΔS2
ΔΠ
ΔΠ
ΔS
ΔS
Gamma positiva
Gamma negativa
20
In our example:
DELTA CALL C = 0.6151
The Delta neutral position with 100 CBOE
short calls requires the holding of:
n(s) = -n(c;S)C
n(s) = -[-10,000](.6151)
n(s) = 6,151shares long.
The value of this portfolio is:
-10,000($10.3004) + 6,151($100) = $512,056
21
Interpretation of Gamma
The delta neutral position with 100 CBOE short
calls and 6,151 long shares has Γ= -$181
Position value
$512,056
More negative Γ
75
100
125
S
Negative Gamma means that the position
loses value when the stock price moves
more and more away from it initial value.
22
23
24
THETA

Theta measures the sensitivity of the option’s
price to a “small” change in the time
remaining to expiration:
(c) = c/(T-t)
(p) = p/(T-t)
Theta is given in terms is $/1 year. Thus, if
(c) = - $12.2070/year, it means that if time to
expiration increases (decreases) by one year,
the call price will increase (decreases) by
$12.2070. Or, 12.2070/365 = 3.34 cent per day.
25
VEGA

La vega () es la tasa de variación del valor de la cartera de
derivados con respecto a la volatilidad.
Vega mide la sensibilidad del valor de la opción antes un pequeño cambio
de la volatilidad del precio del activo subyacente.
En el ejemplo inicial
(call) = (put) = 26,8416
Véase la Figura 15.11 sobre la variación de  con respecto al precio de la
acción para una opción de compra o de venta.
26
27
28
RHO

Rho es la tasa de variación del valor de un derivado con respecto al
tipo de interés.
Rho mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño
de la tasa de interés.
En el ejemplo inicial
(call) = 25,2515
(put) = -22,1559
En el caso de opciones sobre divisas, hay dos rhos correspondientes a
los dos tipos de interés.
29
RESUMEN DE LOS GRIEGOS
Posición
S comprado
Delta Gamma Vega Theta Rho
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
C comprada
+
+
+
-
+
C vendida
-
-
-
+
-
P comprada
-
+
+
-
-
P vendida
+
-
-
+
+
S vendido
30
La sensibilidad de carteras
1. Una cartera es una combinación de activos y opciones.
2. Todas las medidas de sensibilidad son derivadas.
3. Teórema: La derivada de una combinación de funciones es la
combinación de las derivadas.
Por ende, la sensibilidad de una cartera es la suma de las medidas
de sensibilidad de las posiciones incluidas en la cartera.
31
ESTRATEGIAS BASADAS EN GRIEGOS
Estrategias basadas en griegos son estrategias en las que el
inversionista trata de conseguir un nivel de sensibilidad. Es decir,
la estrategia está construida con el objetivo de que tenga una dada
exposición al riesgo.
La abrumadora mayoría de este tipo de estrategias tratan de que la
estrategia no tenga ninguna exposición al riesgo.
En las siguientes pájinas analizamos ejemplos de posiciones:
1. delta neutral
2. delta-gamma neutral
3. Delta-gamma-vega-rho neutral
En dicho ejemplo el activo subyacente es el índice S&P100 y las
opciones sobre el mismo son europeas.
32
EJEMPLO 1:
Delta-Gamma neutral posicion
Supuesto: el precio actual de una libra de cobre es
S = USD0,7525. Además, esxisten dos opciones
con los siguientes parámetros:
Delta($)
Gamma($)
Call 1
0,6300
0,2200
Call 2
0,4500
0,1375
S
1,0
0,0
Es importante recordar que estos valores son por
libra y que una opción en NYMEX cubre
25.000libras.
33
EJEMPLO 1:
Delta-Gamma neutral posicion
VALOR(portafolio) = Sn(s) + c1n1 + c2n2
(portafolio)
= n(s) + 1n1 + 2n2 = 0
Γ(portafolio) =
Γ1n1 + Γ2n2 = 0.
=
n(s) + .6300n1 + .4500n2 = 0
Γ=
.2200n1 + .1375n2 = 0
Supongamos que vendemos 100 calls 1.
34
EJEMPLO 1:
y
bajo este supuesto n1 = - 10.000 y:
=
n(s) + .6300(-10.000) + .4500n2 = 0
Γ=
.2200(-10.000) + .1375n2 = 0
n1
= -10.000 vender corto 100 calls 1
n2
= 16.000 comprar 160 calls 2
ns
= - 900
vender corto 900 acciones
del activo subyacente.
35
EJEMPLO 2:
S = $300
X = $300
T = 365 días
 = 0,18
Desviación estándar annual de 18%
r = 0,08
Tasa anual de interés sin riesgo 8%
d = 0,03
Tasa anual de dividendos es 3%
C = $28,25;
 = 0,6245;
 = 0,0067;
 = 0,0109;
 = 0,0159.
36
ESTRATEGIA DE DELTA NEUTRAL
n0 = - 10.000
 posición corta en 100 calls.
nS = 6.245
 Comprar 6.245 acciones del subyacente.
Primer caso A: El precio del subyacente: $300 a $301.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
-100Calls
- $282.500
- $288.800
- $6.300
6.245S
$1.873.500
$1.879.700
$6.200
Error: - $100
Primer caso B: El precio del subyacente: $300 a $299.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
-100Calls
- $282.500
- $276.200
+ $6.300
6.245S
$1.873.500
$1.867.300
- $6.200
Error:
+ $100
37
Segundo caso:El precio del subyacente: $300 a $310.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
-100Calls
- $282.500
- $348.100
- $6.560
6.245S
$1.873.500
$1.975.900
$6.240
Error: - $320
El problema es que delta se cambia cuando se cambie el precio del
subyacente.
S =
$300
$301
$310
=
0,6245
0,6311
0,6879.
Conclusión: Para neutralizar el impacto de grandes cambios en el
subyacente es necesario usar una posición delta-gamma neutral. Sin
embargo, para hacerlo es necesario tener otras opciones.
Supongamos que existe otra opción sobre el mismo subyacente con
los siguientes parámetros:
38
Call inicial(#0)
Call (#1)
S = $300
S = $300
X = $300
X = $305
T = 365 días
T = 90 días
 = 0,18
 = 0,18
r = 0,08
r = 0,08
d = 0,03
d = 0,03
c = $28,45
c = $10,02
 = 0,6245
 = 0,4952
 = 0,0067
 = 0,0148
 = 0,0109
 = 0,0059
 = 0,0159
 = 0,0034
39
POSICION DELTA-GAMMA NEUTRAL
(1) WS +W0(0,6245) + W1(0,4952) = 0 
=0
W0(0,0067) + W1(0,0148) = 0 
=0
(2)
Para crear cartera delta-gamma neutral las dos condiciones deben
cumplirse simultáneamente, mantentiendo la posición corta en la
call inicial:
Solución:
W0 = -1
W1 = - (0,0067)(-1)/0,0148 = 0,453
WS = - (0,6245)(-1) – (0,453)(0,49520 = 0,4
Corto la call inicial :
W0 = -1.000
Largo 0,453 de call #1 W1 = 0,453
Largo 0,4 del subyacente
WS = 0,400
40
LA CARTERA DELTA-GAMMA NEUTRAL
Primer caso:
El precio del subyacente: $300 a $301.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
(-1,0)#0
- $28,25
- $28,88
- $0,63
(0,453)#1
$4,54
$4,77
$0,23
(0,4)S
$120
$120,4
$0,40
Error:
Cero
Segundo caso:El precio del subyacente: $300 a $310.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor cambio
- $28,25
- $34,81
- $6,56
(0,453)#1
$4,54
$7,11
$2,57
(0,4)S
$120
$124
- $4,00
(-1,0)#0
Error: + $0,01
La cartera está neutralizada contra cambios pqueños tal como cambios
41
grandes en el precio del activo subyacente.
Sin Embargo,
al examinar la exposición entera, se ve que:
Cartera
Delta
Gamma
Vega
Rho
-1,00(#0)
-0,6245
-0,0067
-0,0109
-0,0159
0,453(#2)
0,2245
0,0067
0,0027
0.0015
0,400S
0,4000
0
0
0
Riesgo
Cero
Cero
-0,0082
-0,0144
Es claro que la cartera todavía esté expuesta al riesgo de dos factores:
la volatilidad
la tasa de interés.
42
La distribución del error asociado con la cartera delta – nuetral para
volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:
Subyacente
!2%
18%
24%
$270
$2,73
- $3,26
- $9,45
$275
$4,05
- $2,24
- $8,61
$280
$5,08
- $1,42
- $7,92
$285
$5,82
- $0,79
- $7,38
$290
$6,29
- $0,35
- $6,97
$295
$6,47
- $0,08
- $6,70
$300
$6,40
0,00
- $6,56
$305
$6,09
- $0,08
- $6,56
$310
$5,57
- $0,32
- $6,67
$315
$4,84
- $0,71
- $6,89
$320
$3,94
- $1,24
- $7,24
$325
$2,89
- $1,90
- $7,69
$330
$1,72
- $2,67
- $8,82
43
La distribución del error asociado con la cartera delta-gamma nuetral
volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:
Subyacente
!2%
18%
24%
$270
$5,54
- $0,45
- $6,64
$275
$6,04
- $0,25
- $6,62
$280
$6,38
- $0,12
- $6,62
$285
$6,57
- $0,04
- $6,63
$290
$6,62
- $0,01
- $6,63
$295
$6,55
0,00
- $6,62
$300
$6,40
0,00
- $6,56
$305
$6,17
0,00
- $6,48
$310
$5,89
$0,01
- $6,34
$315
$5,56
$0,01
- $6,17
$320
$5,19
$0,01
- $5,99
$325
$4,80
$0,01
- $5,78
$330
$4,38
- $0,01
- $5,56
44
La tasa de interés es el cuarto parámetro. En el siguiente caso
analizamos el error cuando se cambie la tasade interés:
Tercer caso: El precio del subyacente: $300 a $310
y
simultáneamente, la tasa de interés
sin riesgo se alza por 1%,
de 8% a 9%.
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
(-1,0)#0
- $28,25
- $33,05
- $4,80
(0,453)#1
$4,54
$6,91
$2,37
(0,4)S
$120
$124
- $4,00
Error:
- $1,57
45
Para eliminar la entera exposición al riesgo, vamos a usar el activo
subyacente, S = $300 y la siguientes opciones:
CALL
0
1
2
3
X
300
305
295
300
T(días)
365
90
90
180
Volatilidad
18%
18%
18%
18%
r
8%
8%
8%
8%
Dividendos
3%
3%
3%
3
PRECIO
$28,25 $10,02 $15,29 $18,59
46
Las medidas de exposición al riesgo son:
CALL
0
1
2
3
S
= : 0,6245 0,4952 0,6398 0,5931
1,0
Gamma= : 0,0067 0,0148 0,0138 0,0100
0,0
Vega
= : 0,0109 0,0059 0,0055 0,0080
0,0
Rho
=  : 0,0159 0,0034 0,0044 0,0079
0,0
Delta
47
LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL
Para eliminar la entera exposición al riesgo buscamos las
ponderaciones de inversión en el subyacente y las dadas opciones de
manera que asegure que todos los parámetros de sensibilidad son:
SIMULTANEAMENTE CERO:
Delta = 
= cero
Gamma = 
= cero
Theta = 
= cero
Vega = 
= cero
Rho = 
= cero
48
Delta =  = 0
WS+W0(0,6245)+W1(0,4952)+W2(0,6398)+W3(0,5931) = 0
Gamma =  = 0
W0(0,0067)+W1(0,0148)+W2(0,0138)+W3(0,0100) = 0
Vega =  = 0
W0(0,0109)+W1(0,0059)+W2(0,0055)+W3(0,0080) = 0
Rho =  = 0
W0(0,0159)+W1(0,0034)+W2(0,0044)+W3(0,0079) = 0
Se debe resolver las 4 ecuaciones simultáneamente.
49
Para llegar a la solución, fijamos W0 = - 1,0 y resolvaemos las
ecuaciones. El resultado es:
Posición
W0 = -1,0000 
Corta call #0
WS =
0,2120 
larga 0,2120 del subyacente
W1 =
0,8380 
Larga 0,8389 call #1
W2 = -1,9000 
Corta 1,9000 call #2
2,0420 
Larga 2,0420 call #3
W3 =
En realidad, cada una de las opciones cubre 100 acciones del
subyacente. Los resultados arriba se pueden reescribir:
Corta 100 calls
Larga 2.120 acciones del subyacente
Larga 84 calls #1
Corta 190 calls # 2
Larga 204 calls #3
50
LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL
Cuarto caso: El precio del subyacente: $300 a $310
y
simultáneamente, la tasa de interés
sin riesgo se alza
por 1%, de 8% a 9%
y simultáneamente, la volatilidad
annual se cambia de 18% a 24%
Cartera
Valor inicial
Nuevo valor
cambio
-1,0(#0)
- $28,25
- $42,81
- $14,56
(0,212)S
$63,60
$65,72
$2,12
(0,838)#1
$8,40
$16,42
$8,02
- $29,05
- $48,97
- $19,92
$37,97
$62,20
- $24,25
(-1,9)#2
(2,042)#3
Error:
- $0,09
51
Descargar

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