BONOS
DEFINICION:
UN BONO ES
UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS
ESPECIFICOS DE DINERO
EN FECHAS PREDETERMINADAS EN EL
FUTURO
A LO LARGO DE UN PRIODO FIJO DE
TIEMPO.
Los parámetros de los bonos
P =
El precio de mercado del bono
Ct =
El monto que el bono promete pagar en
fin del período t.
M=
El período del vencimiento del bono.
t = 1,2,……, M. ( Maturity)
VF = El valor nominal del bono (Face Value o,
Valor Futuro)
Usualmente, los montos de los pagos son
iguales:
Ct = C
t = 1, …., M - 1
y el último pago: CM = C + FV
C se llama también el cupón del bono
CR = La tasa del cupón. Es un % del VF:
C = (CR)(VF).
EJEMPLO:
UN BONO PARA 30 AÑOS CON
VALOR NOMINAL DE $1.000 Y CUPON RATE
DEL 8% PAGADOS ANUALMENTE.
CR = 8%;
FV = $1.000;
M = 30
C = (0,08)($1.000) = $80
El tenedor del bono recibirá $80 todos los
años a lo largo de los siguientes 29 años.
El último pago será:
$80 + $1.000 = 1.080 = C + FV.
Muchos de los bonos existentes pagan su cupón más
que una vez al año.
En terminos generales:
N=
el número de los pagos al año, así que hay
pagos en total.
C/N =
NM
el monto de los pagos
VF + C/N = el último pago.
En el ejemplo arriba, si los pagos fueran EMESTRALES,
N = 2,
Los pagos serían = C/2
DEFINICIÓN:
Bonos que pagan el VF al vencimiento
y no pagan nada, C = 0, durante los períodos
interinos se llaman
BONOS CUPON CERO
DEFINICIÓN:
Un bono con cupón C
que nunca se vence se llaqma
CONSUL
FORMULAS DE PRECIOS DE BONOS
M
P
t 1
C
(1 r)
t

M
t 1
t
C2
C3
C
1
P


1  r1 (1  r1)(1  r2) (1  r1)(1  r2)(1  r3)
r  rt t  1,2,....,M :
P C
(1  r)
M
t
t 1
t

FV
(1  r)
M
C
P
1  (1  r)  

r 
M
FV
(1 r)
M
En las fórmulas en la pagina anterior la r
significa el rendimiento al vincimiento
(YIELD TO MATURITY).
La fórmula para el bono con pagos
semestraleses:
C
2M
FV
2
P

r t
r 2M
t 1 (1 
)
(1  )
2
2
La fórmula para el bono cupón cero:
P
FV
(1 r)M
La fórmula para el precio de un Consul es:
P = C/r
EJEMPLOS:
M = 30 FV = $1.000
Pagos semestrales:
CR= 8%
C = (0,08)1.000/2 = $40.
r = 10%
60
40
1.040


t
60
1,05
t 1 (1  0,05)


40
1.000
 60
P
1  1,05 
 $810,70
60
0,05
1,05
El mismo bono con pagos anuales:
M = 30;
FV = $1.000;
C = (0,06)1.000 = $80;

CR= 8%;
r = 10%.

80
1.000
 30

1  1,1

 $811,46
30
1,1
1,1
Se vende este bono a un descuento porque
CR =0,8 < r = 10%. Si la r fuera del 5% (en vez
del 10%), el precio del mismo sería:


40
1.000
60
P
1  1,025 
 $1.463,63
 60
0,025
1,025
Y el bono se vendría con una prima.
Resultado:
CR = r  el bono se vende a su par P = VF
CR > r  el bono lleva una prima
P > VF
CR < r  el bono lleva un descuento P < VF
Si dicho bono fuera un bono de cupon cero el
bono se vendría a:
1.000

 $57, 31
30
1,1
Si el bono fuera un consul su precio sería:
$80
P 
 $800
0 ,1
Es decir, invertiendo $800, el bono promete al
inversionista un flujo de caja indefinido de $80.
En los EEUU las cuotas de los precios de
bonos son en términos de un rendiniento de
descuento: d
360  DES C UENTO 360  FV  P 
d



t 
VF
t  FV 

Sin embargo, lo que se interesa al
inversionista se llama el rendimiento
equivalente del bono (REB)
(BOND EQUIVALENT YIELD(BEY)
365  FV  P 
i

t 
P


365 
dt 
id
1

360 
360

1
365d

360  dt
EJEMPLO:
t = 90 days
FV = $1.000.000
d = 11%
360 DES C UENTO
0,11 
90
1.000.000
DES C UENTO  $27.5000.
1.000.000 972.500360
d
 0,11
1.000.000
90
365  1.000.000 972.500
REB  i 
 0,11468


90 
972.500

1
365  (0,11)90
i  (0,11)
1
 0,11468


360 
360 
DURATION de MACAULY
M
D 

t 1
tCt
1  r t
P
 Ct
M 
t
(1

r)
D   t
P
t 1 


Ct
(1  r)t
Wt 
;
P
M
D   tWt
t 1






M
W
t 1
t
 1.
INTERPRETACION DE LA
DURACION
La DURACION es un promedio ponderado del
número de los períodos, es decir, de los
tiempos de los pagos de los cupones.
Las ponderaciones son las proporciones de
los valores actuales de los montos pagados
del precio actual del bono.
DURACION interpretada como una
medida de sensibilidad.
M
Ct
P 
t
t 1 1  r 
 1 M tCt
dP
dP



d(1  r) (1  r) t 1 (1  r)t
dr
(1  r) M tCt
dP (1  r)


P(1  r) t 1 (1  r)t
d(1  r) P
M
tCt
dP

t
r)

(1
P
 D
 t 1
d(1  r)
P
1r
RESULTADO:
D = - {La elasticidad del precio
del bono}
D
EL %( PREC IO DEL BO NO )
EL %(RENDIMIEN TO )
D  LA ELASTIC IDAD DEL PREC IO DEL BO NO
Según las dos interpretaciones arriba, se
puede interpretar una duración de D = 7 de un
bono con vencimiento de 15 añoa como:
1.
La inversión en el bono se recupera en 7
años.
2.
Cunado se cambia el rendimiento al
vencimiento por 1%, el precio del bono
se cambia en unos 7%.
La fórmula (cerrada) para calcular la duración
de un bono depende de los siguientes
parámetros:
N = El número total de los pagos
m = El número de los pagos cada año
f = La fracción del año hasta el pago
del próximo cupón
f1
2
3
4…….……N años
 r  N  N 2 VF  N  1 
(1  fr)  1    1  r  r
f


m
m
C
m





D
 r  N  2 VF
r  1    1  r
C
 m 

EJEMPLO:
r = 10% = 0,1
VF = $ 100
C = $6 => CR = 6%
N = 30
f=1
m=1
P = $62,29


100
1,1 1,1  1  (0,1)30 (0,1)
30
6
D
30
2 100
(0,1)1,1  1  (0,1)
6
30

D  11,09
2

Ejemplo:
r = 10%
VF = $ 100
C = $6
f=1
m = 2 => Pagos semestrales
N = 60


60
60  1 
2 100 
1,1 1,05  1  0,1  0,1
1

2
6 
2 
D
2 100
60
0,1 1,05  1  0,1
6
60

D  14,23

Tabla de duración
r = 10%
N\C
R
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
5
4,76
4,57
4,41
4,28
4,17
4,07
3,99
3,92
10
10
8,73
7,95
7,42
7,04
6,76
6,54
6,36
6,21
15
15
11,61
10,12 9,28
8,74
8,37
8,09
7,88
7,71
20
20
13,33
11,20 10,32
9,75
9,36
9,09
8,89
8,74
25
25
14,03
11,81 11,86
10,32 9,98
9,75
9,58
9,45
30
30
14,03
11,92 11,09
10,65 10,37
10,18 10,04
9,94
35
35
13,64
11,84 11,17
10,82 10,61
10,46 10,36
10,28
40
40
13,13
11,70 11,18
10,92 10,76
10,65 10,57
10,51
50
50
12,19
11,40 11,40
10,99 10,91
10,85 10,81
10,78
100
100
11,02
11,01 11,00
11,00 11,00
11,00 11,00
11,00
Como aproximarse el cambio del precio del bono antes
de un cambio de rendimiento al vencimiento
Usando la DURACION:
Obsérvase que de la fórmula:
dP
P
D d(1  r)
1r
se pu e dee scri bi rl a aproxi m aci
ón :
d(1  r)
P   DP
1r
EJEMPLOS:
r = 10%
 r = 11%

0,01
P   11,0962,29
  6,28  P1  $56,01
1,1
r  10%
 r = 8%
P = - (11,09)(62
,29)
(- 0,02)
  12,56 P1  $74,85
1,1
EL RATIO DE COBERTURA
BASADO DE LA DURACION
El ratio de sensibilidad del
precio:
Recuérdese que el valor de la posición de cobertura
es:
V = S + NF.
El activo subyacente es un bono y por lo tanto, los
cambios del precio del bono ocurren cuando se
cambie la tasa de interés y por ella se cambia el
remdimiento al vencimiento. En términos matematicos:
dV
dS
dF
dS dyS
dF dy F

+ N
=
+ N
.
dyS dr
dy F dr
dr
dr
dr
EL OBJETIVO DEL RATIO DE
LA SENSIBILIDAD DEL PRECIO
En este caso el objetivo de la cobertura es que no se
cambia el valor de la posición, SPOT y FUTUROS
cuando se cambie la tasa de interés. Otra vez, el
cambio del valor de la posición es:
dV
dS
dF
dS dyS
dF dy F

+ N
=
+ N
.
dy
dy
dr
dr
dr
S dr
F dr
El problema es resolver esta ecuació para el número de
los futuros, N, bajo la condición que el valor de la posición
SPOT y FUTUROS ne se cambia:
dV
dr
=
0
dS dyS
.
dyS dr
=> N = dF dy f
.
dy F dr
Usando la definición de la duración:
DS
DF
dS 1 + yS
dS 1 + yS
= 
dyS
dyS
S
S
dF 1 + yF
dF 1 + yF
= 
dyF
dyF
F
F
Sustituimos por dS/dys y también por dF/dyF
y resolvemos por N:
dyS
(1 + yF) dr
SDS
N = dyF
(1 + yS)
FDF
dr
El óptimo número de los futuros es:
S DS (1 + yF)
N = F DF (1 + yS)
LOS FUTUROS SOBRE ACTIVOS
SUBYACENTES QUE REDITUAN INTERES
Los contratos más exitosos son los dos
futuros a corto plazo: 13-semanas T-bills y
3-months Eurudólar time deposit y el futuro
a largo plazo: Treasury T-bonds.
En esta asignatura vamos a tocar sólo los
primeros.
LAS ESPECIFICACIONS DE LOS CONTRATOS
Specifications
13-week
U.S Treasury bill
Three-month Eurodollar
time deposit
Size
$1,000,000
$1,000,000
Contract grade
New or Dated treasury bills Cash settlement
with 13 weeks to maturity
Yields
Discount
Add-on
Hours
7:20AM to 2:00
(Chicago time)
Delivery Months Mar. Jun. Sep. Dec.
7:20 AM to 2:00 PM
Ticker Symbol
TB
ED
Minimum Price
Fluctuations
.01(1 basis point)
($25/pt)
.01(1 basis point)
($25/pt)
Last day of
trading
The day before the first
delivery day
2nd London business day
before 3rd Wednesday
Delivery Date
1st day of spot month on
Last day of trading
which 13-week Treasury
bill is issued and a 1-year
T-bill has 13 weeks to
maturity
Mar. Jun. Sep. Dec.
COBERTURA LARGA CON
FUTUROS DE T-BILLS
FECHA
15.2
SPOT
P = $979.272,22
FUTUROS
F = $978.300
.25 979,272 1.0876
.
.
= 1
NF =
.25 978,300 1.0981
365
y = ( 100 91 - 1) = .0876
S 97.927222
365
y = ( 100 91 - 1) = .0981
F 97.83
Comprar 1 futuro de T-bill
para junio.
17.5
P = $980.561
Vender 1 futuro de T-bill
para junio. F = $981.350
Comprar $1M por $980.561
Ganacia de futuros: ($981.350 – 978.300)(1) = $3.050
El precio pagado $977.511
COBERTURA CON FUTUROS
DE EURODOLARES
FECHA
23.5
SPOT
90-días L = 9,25%
FUTUROS
F = 906.500
Vas a tomar un préstamo de
Vender 10 futuros de
$10M el 19 de junio por L
eurodólares para junio
19.6 Tomar $10M para 90
Comprar 10 futuros de
Días r = L
eurodólares F = $930.000
1. L = 7%
Pérdida de los futuros: $235.000/4 = $58.750
Interés ($10M)(0,07)(0,25) = $175.000
Pago total $233.750
2. L = 10,5%
F = 895.000
Ganacia de los futuros: $115.000/4 = $28.750
Interés ($10M)(0,105)(0,25) = $262.500
Pago total $233.750
r pagado: [233.750/10M](4) = 9.35%
Una firma toma un préstamo de $10M
con tasa flotante L+1%
FECHA
SPOT
15.Sep Recibir $10M
FUTUROS
Vender 10 futuros de T-bills
L = 8% =>r = 9%=>I = $225.000F(diciembre)
= 91,75
F(marzo)
= 91,60
F(junio)
= 91,45
I pagado $225.000 (9%)
15.Dic
L = 9,15%=>r=10,15%=>I=$235.750
Comprar 10 futuros
de T-bills F(diciembre)=90,85
ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500
I pagado $231.250 (9,25%)
15.Marzo
L =9,50%=>r=10,50%=>I =$262.500
Comprar 10 futuros
de T-bills F(Marzo) = 90,50
ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25)= $27.500
I pagado &235.000(9,40%)
FECHA
SPOT
FUTUROS
15.June
L = 10,05%=>r=101,05%=>I=$276.250 Comprar 10 futuros
de T-bills F(junio)=89,95
ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500
I pagado $238.750 (9,55%)
15.Sep
Repagar $10M
En todos los períodos el interés, I, y la tasa r se
determinan según las fórmulas:
I = 10[(L + 100)/100]10.000(0,25)
r = {[I pagado]/10M}(0,25)
El banco da un préstamo de $10M con tasas fijas
De: 9,00%; 9,25%; 9,40%; 9,55%
FECHA TASA SPOT
15.Sep 9,00% L = 8,00%
Margen de ganacia = 1%
FUTUROS
Vender 10 futuros de T-bills
F(diciembre)
= 91,75
F(marzo)
= 91,60
F(junio)
= 91,45
I pagado $225.000 (9%)
15.Dic 9,25% L = 9,15%
(0,001)10M(0,25) = $2.500
Comprar 10 futuros deT-bills
F(diciembre) = 90,85
ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500
Margen de ganancia = 1%
15.Marzo 9,40% L = 9,50%
(-0,001)10M(0,25) = -$2.500
Comprar 10 futuros deT-bills
F(Marzo) = 90,50
ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25) = $27.500
Margen de ganancia = 1%
FECHA TASA
SPOT
FUTUROS
15.June 9,55% L = 10,05%
Comprar 10 futuros deT-bills
(-0,005)10M(0,25) = - $12.500 F(junio) = 89,95
ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500
Margen de ganacia = 1%
15.Sep
Recibir $10M
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EJEMPLO