TEMA 4
LA TRANSFORMADA DISCRETA
DE FOURIER
1
ESQUEMA GENERAL
2
ESQUEMA GENERAL

Veamos de una forma gráfica y cualitativa la génesis
de la DFT:
Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es
X(f).
Veamos un procedimiento numérico de evaluación de
esta X(f), que será discreto, y nos dará una estimación
del espectro en puntos discretos y además con un
cierto error.
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ESQUEMA GENERAL
4
ESQUEMA GENERAL


La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing)
que se produce al muestrear la señal en el tiempo.
La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la
señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la
característica espectral.
De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en el
contexto de las señales periódicas.
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES
DE FOURIER DISCRETAS

La señal
, al ser periódica, admite ser
desarrollada en SERIES DE FOURIER
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES
DE FOURIER DISCRETAS
PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN
SERIES
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS : LAS SERIES
DE FOURIER DISCRETAS
REPRESENTACIÓN EN DFS DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
11
PROPIEDADES DE LA DFS
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z


Hemos visto que los valores de X(k) en la
representación del DSF de una secuencia periódica
son idénticos a las muestras de la Transformada Z
de un único periodo de x(n) en N puntos
equiespaciados sobre el círculo unitario
Consideremos ahora, de una forma mas general, la
relación existente entre una secuencia aperiódica
con Transformada Z X(z) y la secuencia periódica
para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a
muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo
alrededor del círculo unitario.
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su
transformada z en N puntos equiespaciados en
ángulo, obtenemos la secuencia periódica:
donde
a la cual le corresponde la secuencia periódica
dada por:
sustituyendo los valores de
, obtenemos:
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
intercambiando el orden del sumatorio:
pero:
por lo que:
18
MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z


Si longitud [x(n)]<N entonces x(n) puede
recuperarse extrayendo un periodo de
Una secuencia finita de duración menor o igual que
N puede representarse exactamente por N muestras
de su transformada Z sobre el círculo unidad.Por lo
anterior, X(z) también podrá sintetizarse a partir de
estas N muestras.
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
Relación entre la duración M de una secuencia y el
número de muestras N en el espectro.
cuando N<M ocurre el efecto de aliasing.
El subrayado indica una secuencia producida por DFT inversa:
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE
DURACIÓN FINITA: LA DFT

Los resultados anteriores sugieren dos puntos de
vista orientados a la representación de Fourier de
secuencias de duración finita:
1. Representar una secuencia de duración finita N
por una secuencia periódica de periodo N y
considerar su representación como un periodo del
DSF de la secuencia periódica.
2. Representar una secuencia de duración finita N
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE
DURACIÓN FINITA: LA DFT
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

DFT:

IDFT:
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PROPIEDADES DE LA DFT
1) Linealidad
x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k)
Si long[x1(n)]=N1 y long[x2(n)]=N2 entonces
long[x3(n)]=max{N1,N2}
2) Periodicidad
x(n) y X(k) son periódicas con período N.
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PROPIEDADES DE LA DFT
3) Simetría
Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=
X*(N-k)
Para señales REALES:
x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k)
Re[X(k)] es una función par
Im[X(k)] es una función impar
|X(k)| es una función par
Fase[X(k)] es una función impar
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PROPIEDADES DE LA DFT
4) Desplazamiento Circular de una secuencia
Sea x(n) <---> X(k),
¿ Cuál será el x1(n) <---> X(k)e-j2pkm/N ?
Interpretación de la DFT como un período de la
DSF.
25
PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con
DFTs X1(k) y X2(k).
¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?
26
PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución
de las secuencias periódicas
,
correspondientes a x1(n) y x2(n) respectivamente.
x3(n)=x1(n)(~)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
28
CONVOLUCION LINEAL
USANDO LA DFT
Convolución de dos secuencias finitas de igual
número de puntos
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CONVOLUCION LINEAL
USANDO LA DFT
Convolución de dos secuencias finitas de distinto
número de puntos
En general si :
DFT’S sobre la base de
puntos
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CONVOLUCION LINEAL
USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos
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CONVOLUCION LINEAL
USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos

Solución : Método Solapa y Suma
Convolución Lineal 
Long
Cada Término de la
sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L + M – 1
puntos
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CONVOLUCION LINEAL
USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra
de un número indefinido de puntos

Solución : Método Solapa y Guarda
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COMPUTACIÓN DE LA DFT

DFT:

IDFT:

Caso general, x(n) COMPLEJO:
34
COMPUTACIÓN DE LA DFT
TOTAL DE
OPERACIONES
Para cada X(k)
Todos los X(k)
Productos
Sumas
Productos
Sumas
Operaciones
complejas
N
N-1
N2
N(N-1)
Operaciones
reales
4N
4N-2
4N2
N(4N-2)
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Comparación del número de multiplicaciones requeridas por
cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo FFT:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS
:
37
COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
Secuencias reales:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
Para N=8, Términos k Términos k+N/2
39
COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
40
COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente
más pequeñas

Aprovechan la simetria y periodicidad de los

Caso general, N=2v y v entero.
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Separando en n pares e impares:
LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al
segundo obtenemos:
X(k) = G(k) +
H(k)
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Realizando un proceso análogo de partición con G(k)
y H(k) obtenemos:
y así sucesivamente …
En el caso general de N=2v se precisa de p=log2N
etepas de computación como las comentadas.
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