TEMA 4
LA
TRANSFORMADA
DISCRETA DE
FOURIER
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ESQUEMA GENERAL
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ESQUEMA GENERAL
Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es
X(f).
Veamos un procedimiento numérico de evaluación
de ésta, que será discreto, y nos dará una
estimación del espectro en puntos discretos.
Consideraremos las fuentes de error introducido en
el proceso.
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ESQUEMA GENERAL
• La primera fuente de error es el error de solapamiento
(aliasing) que se produce al muestrear la señal en el
tiempo.
• La segunda fuente de error es la que se produce al
truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a
cierto rizado en la característica espectral.
De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la
DFT en el contexto de las señales periódicas.
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS:
LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS

La señal
, al ser periódica, admite ser desarrollada en
SERIES DE FOURIER
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS:
LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS
PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS:
LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS
REPRESENTACIÓN EN DSF DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA
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PROPIEDADES DE LA DFS
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PROPIEDADES DE LA DFS
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z


Hemos visto que los valores de X(k) en la
representación del DSF de una secuencia periódica
son idénticos a las muestras de la Transformada Z
de un único periodo de x(n) en N puntos
equiespaciados sobre el círculo unitario
Consideremos ahora, de una forma mas general, la
relación existente entre una secuencia aperiódica
con Transformada Z X(z) y la secuencia periódica
para la cual sus coeficientes del DSF corresponden
a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo
alrededor del círculo unitario.
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z

Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su
transformada z en N puntos equiespaciados en
ángulo, obtenemos la secuencia periódica:
donde
a la cual le corresponde la secuencia periódica
dada por:
sustituyendo los valores de
, obtenemos:
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z
intercambiando el orden del sumatorio:
pero:
por lo que:
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Relación entre la duración M de una secuencia y el número
de muestras N en el espectro.
cuando N<M ocurre el efecto de aliasing. El subrayado indica una
secuencia producida por DFT inversa:
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MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z



Si longitud [x(n)]<N entonces x(n) puede
recuperarse extrayendo un periodo de
Una secuencia finita de duración menor o
igual que N puede representarse
exactamente por N muestras de su
transformada Z sobre el círculo unidad.
Por lo anterior, X(z) también podrá
sintetizarse a partir de estas N muestras.
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE
DURACIÓN FINITA: LA DFT

Los resultados anteriores sugieren dos puntos de
vista orientados a la representación de Fourier de
secuencias de duración finita:


Representar una secuencia de duración finita N
por una secuencia periódica de periodo N y
considerar su representación como un periodo
del DSF de la secuencia periódica.
Representar una secuencia de duración finita N
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REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS
DE DURACIÓN FINITA: LA DFT

DFT:

IDFT:
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PROPIEDADES DE LA DFT
1) Linealidad
x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k)
Si long[x1(n)]=N1 y long[x2(n)]=N2 entonces
long[x3(n)]=max{N1,N2}
2) Periodicidad
x(n) y X(k) son periódicas con período N.
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PROPIEDADES DE LA DFT
3) Simetría
Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)=
X*(N-k)
Para señales REALES:
x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k)
Re[X(k)] es una función par
Im[X(k)] es una función impar
|X(k)| es una función par
Fase[X(k)] es una función impar
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PROPIEDADES DE LA DFT
4) Desplazamiento Circular de una secuencia
Sea x(n) <---> X(k), ¿Cuál será el x1(n) <---> X(k)e-j2pkm/N ?
Interpretación de la DFT como un período de la DSF.
Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya
que ambos están confinados en 0<n<N-1
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PROPIEDADES DE LA DFT
Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya
que ambos están confinados en 0<n<N-1
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PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con
DFTs X1(k) y X2(k).
¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?
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PROPIEDADES DE LA DFT
5) Convolución Circular
Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución de las
secuencias periódicas
, correspondientes a x1(n) y
x2(n) respectivamente.
x3(n)=x1(n)(~)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
26
CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de dos secuencias finitas de igual
número de puntos
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de dos secuencias finitas de distinto
número de puntos
En general si :
DFT’S sobre la base de puntos
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra de
un número indefinido de puntos
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CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT
Convolución de una secuencia finita con otra de
un número indefinido de puntos
• Método solapa y suma
• Método solapa y guarda
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Método Solapa y Suma
Convolución Lineal
Long
Cada Término de la sumatoria debe
calcularse utilizando DFT de L+M–1
puntos
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Método Solapa y Guarda

Sean las secuencias causales y de duración finita
x(n) e y(n) tales que:
x(n)=0 n≥ 8
y(n)=0 n ≥ 20
Se multiplican las DFT de 20 puntos de cada una de
ellas y se computa la IDFT que denotamos por
z(n).
Especificar que puntos en z(n) corresponden a los
puntos que se habrían obtenido con la convolución
lineal de x(n) e y(n)
32
33
34
Relación entre parámetros temporales y
frecuenciales:
T: periodo de muestreo
N: nº de puntos
td=NT: duración de la señal en el tiempo
Δf: resolucón frecuencial
Fh: frecuencia máxima de la señal
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Relación entre parámetros temporales y
Límite superior del
frecuenciales:
periodo de
muestreo
Según el teorema del muestreo: fs≥2fh
Por otro lado: 2fh=NΔf
N≥2fh/ Δf
T≤1/2fh
Δf=1/NT
Nº mínimo de muestras
requerido para calcular la DFT
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Ejemplo:
Dada una señal contínua con
frecuencia máxima de 2KHz y
siendo preciso calcular su
espectro con la DFT con una
resolución en frecuencias de 10
Hz, determinar Ts y N.
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38
39
Evaluación de la DFT de 64 puntos a partir de 32 muestras de la
función exponencial e-t evaluada en t=0,1k para k=0,1,,,,31
Pi/T=31,416
***
Δf=1/NT=1/(32*0,1); ΔΩ=1,9635 rad/seg
*·*·*
Δf=1/NT=1/(64*0,1); ΔΩ=0.98175 rad/seg
Observar que los últimos 32 puntos son los complejos conjugados de los 32
primeros, debido a la propiedad de simetria de la DFT para una señal real.
40
Las 32 muestras
definen 4 periodos
f=kΔf =k/NT
K=4, 28
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El nº de muestras no es
múltiplo del periodo.
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43
44
COMPUTACIÓN DE LA DFT

DFT:

IDFT:

Caso general, x(n) COMPLEJO:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
TOTAL DE
OPERACIONES
Para cada X(k)
Todos los X(k)
Productos
Sumas
Productos
Sumas
Operaciones
complejas
N
N-1
N2
N(N-1)
Operaciones
reales
4N
4N-2
4N2
N(4N-2)
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Comparación del número de multiplicaciones requeridas por
cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo
FFT:
47
COMPUTACIÓN DE LA DFT
PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS
:
48
COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
Secuencias reales:
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
Para N=8, Términos k Términos k+N/2
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COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
51
COMPUTACIÓN DE LA DFT
Explicación intuitiva
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente
más pequeñas

Aprovechan la simetria y periodicidad de los

Caso general, N=2v y v entero.
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Separando en n pares e impares:
LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al
segundo obtenemos:
X(k) = G(k) +
H(k)
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ALGORITMOS FFT DE
DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO

Realizando un proceso análogo de partición con
G(k) y H(k) obtenemos:
y así sucesivamente …

En el caso general de N=2v se precisa de
p=log2N etepas de computación como las
comentadas.
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