Análisis de Fourier para
señales continuas
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos
 Representar señales continuas como suma
de exponenciales complejas.
 Definir la transformada de fourier de tiempo
continuo y estudiar algunas de sus
propiedades.
 Analizar señales y SLIT continuos utilizando
la transformada de Fourier.
Representaciones ortogonales de
señales
• Los ortogonales y ortonormales, producen desarrollos en
series de señales simples.

x(t)
ci
t)
i(
i

• Donde
t
12
*
c

x
(
t
)

t)
dt
,i
(...,

1
,0
,
1
,...)
i
i(

E
it
1
E

i

i, k
x
(
t)
(t)dt

c

t)
(t)dt



i
i(


0, k
i
i


t
t
1
1
t2
t2 
*
k
*
k
Desarrollo en serie de Fourier generalizado de x(t)
Ci son los coeficientes de Fourier con respecto al conjunto ortonormal i (t )
Desarrollo en serie de fourier
mediante exponenciales complejas
• Una señal periódica
cumple si existe un valor
T y unos n={1, 2, 3,…}
para los cuales:
x(t)x(tnT
)
• Ej: Las funciones seno,
coseno,
exponencial
compleja y constante.
2

nt
2

nt

 


(
t
)

e
cos

j
sin
   
T
T

 


2
nt
j
T
n
Desarrollo en serie de fourier
mediante exponenciales complejas
• Reemplazando en el desarrollo en series de
fourier generalizado:
n


2

nt
j
T
x
(t)
c
e
n
n


T

2
nt
j
1 
T
c

x
(
t
)
e
dt
,
n

(...,

1
,
0
,
1
,...)
n

T
0
• Como cada uno de los términos de la serie
tiene periodo T si su suma converge esta
tendrá periodo T
Desarrollo en serie de fourier
mediante exponenciales complejas
n 
x(t ) 
 cn e
j
2nt
T
T
j
1
c n   x (t ) e
T 0
n  
 c0 
m  1
c
m  
n 
m
e
 c0   c n e
n 1
T
j
2mt
T
m 
  cm e
j
2mt
T
m 1
j
2 (  n ) t
T
n 
  cn e
j
2nt
T
c n* 
j
1
x
(
t
)
e
T 0
2 nt
T
dt
2 (  n ) t
T
dt
c n*  c  n
Por lo tanto
c n  c  n   c n   c  n
n 1
2nt
j

 *  j 2Tnt
T 

 cn e
 c0    cn e

n 1 

n 
 j 2Tnt 
 c0   2 Re cn e

n 1


n 
2nt 
2nt

 Imcn sen
 c0  2   Recn cos

T
T

n 1 
n 

nt
 j2

T
Re
c
e


n




 

2

nt
2

nt



Re
(Re{
c
}

jIm{
c
})

cos

jsen







n
n


T
 T



Desarrollo en serie de fourier
mediante exponenciales complejas
2nt
2nt

x(t)  c0 2Recncos
Imcnsen

T
T 
n1 
n
2nt
2nt

x(t)  a0  an cos
bnsen

T
T 
n1 
n
Desarrollo de fourier
en series
trigonométricas para
la señal periódica x(t)
T
1
a0   x(t)dt
T0
2
2nt
an  2Recn  x(t)cos
dt
T0
T
T
2
2nt
bn  2Imcn  x(t)sen
dt
T0
T
T
Desarrollo en serie de fourier
mediante exponenciales complejas
 j 2Tnt 
x(t)  c0  2 Recne

n1


n
 2nt

x(t)  c0  2 cn cos
  cn 
 T

n1
n
En términos del
módulo y la
fase
 2nt

x(t)  c0  An cos
n 
 T

n1
An  2 cn
n
n   cn
Condiciones de Dirichlet
Condición 1.
x(t) debe ser absolutamente integrable
sobre cualquier periodo.
t dt
 x
T
100
90
Ejemplo
1

x
t  , 0
t
1
t
80
70
60
50
40
No cumple 1
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Condiciones de Dirichlet
Condición 2.
x(t) debe tener un número finito de
máximos
y
mínimos
durante
cualquier periodo
1
Ejemplo
2





x
t
sen
,0

t
1
 
t
0.8
0.6
0.4
0.2
No cumple 2, pero cumple 1
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Condiciones de Dirichlet
Condición 3.
x(t) debe tener un número finito de
discontinuidades finitas en un intervalo finito de
tiempo.
Ejemplo






xt   






1,
0  t  1/ 2
1
,
1/ 2  t  1/ 4
2
1
,
1/ 4  t  1/ 8
4
1
,
1 / 8  t  1 / 16
8
1
, 1 / 16  t  1 / 32
16
etc...
. Cumple 1, ¿cumple 2?, no cumple 3
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
• Suponiendo que x(t) es una señal periódica,
de frecuencia fundamental:
2
0 
T
• Y con los coeficientes de la serie de fourier
notados como:
FS
x(t) ck
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Linealidad:
FS
x(t) ak
FS
y(t) bk






z
t

Ax
t

By
t



c

Aa

Bb
k
k
FS
k
•
Desplazamiento de tiempo:


x
t
t


e c
0
k
jk

t
FS 
0
0
•
Inversión de tiempo.
FS
xt


ck
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Escalamiento en tiempo:
j



 FS
0


x

t

c
e
t



c

k
k
•
Multiplicación:





x
t
y
t



c

a
b

l
k

l
FS
k
l


FS
FS
x(t) ak y(t) bk
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Conjugación y simetría:
T
FS

x
t


c
k
cn 
j
1
x (t ) e

T 0
c n* 
j
1
x (t ) e

T 0
T
2 nt
T
dt
2 (  n ) t
T
dt
c n*  c  n
Por lo tanto
c n  c  n   c n   c  n
•
Relación de Parseval para señales
periódicas continuas.

1
2
2
tdt
x

a

k

T
k


T
Referencias
 Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.
S y Srinath. M. 2ª edición cap 2
 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1
 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
 Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
Descargar

Sistemas continuos