Análisis de Fourier
Introducción

Cualquier señal periódica continua se puede
representar como una serie infinita de senos y
cosenos de diferentes amplitudes cuyas
frecuencias son harmónicas de la frecuencia de
la señal. Esto es lo que se conoce como la serie
de Fourier de la señal.
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo
anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y
coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros
m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
w
m
Es decir, la relación w1/ w21 
w2
n
racional.
debe ser un número
Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Es posible escribir de una manera ligeramente
diferente la Serie de Fourier, si observamos que el
término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir
como
2
an

2
bn




an
an  bn
2
2
cos( n w 0 t ) 

sen ( n w 0 t ) 
2
2

an  bn

bn
Podemos encontrar una manera más compacta
para expresar estos coeficientes pensando en un
triángulo rectángulo:
an
Cn  an  bn
2
b
n
n
a
2
2
an

2
bn
bn
2
an

2
bn
 cos  n
 sen  n
n
Con lo cual la expresión queda
C n cos  n cos( n w 0 t )  sen  n sen ( n w 0 t ) 
 C n cos( n w 0 t   n ) 
Si además definimos C0=a0/2, la serie de
Fourier se puede escribir como

f (t)  C 0 
 C cos( n w
n
n 1
Así,
y
Cn  a  b
2
n
1 
2
n
bn 
 n  tan  
 an 
0
t   n )
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la
suma de componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:
Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente
fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia
angular fundamental.
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Obviamente, el problema se resuelve si
sabemos como calcular los coeficientes
a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la
ortogonalidad de las funciones seno y
coseno.
Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando
de –T/2 a T/2, obtenemos:
an 
T/2
2
T
 f ( t ) cos( n w 0 t ) dt
n  0 ,1, 2 , 3 ,...
T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de
–T/2 a T/2, obtenemos:
bn 
T/2
2
T
 f ( t ) sen ( n w 0 t ) dt
T / 2
a0 
T/2
2
T
 f ( t ) dt
T / 2
n  1, 2 , 3 ,...
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para
la siguiente función de periodo T:
f(t)
1
t
...
..
-T/
2
0
T/
T .
2
-1
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
 1
f (t)  
 1
para 
T
2
 t0
para 0  t 
T
2
Coeficientes an:


2
T
2
T
an 
T/2
2
T
 f ( t ) cos( n w 0 t ) dt
T / 2
T/2
 0

   cos( n w 0 t ) dt   cos( n w 0 t ) dt 
T / 2

0

1
sen ( n w 0 t )

 n w 0
0
0

T / 2
1
nw0
para n  0
T/2
sen ( n w 0 t )
0



Coeficiente a0:


a0 
2
T
2
T
T/2
2
T
 f ( t ) dt
T / 2
T/2
 0

   dt   dt 
T / 2

0

 t

0
T/2
t
T / 2
0
0



Coeficientes bn:


2
T
2
T
bn 
2
T
 f ( t ) sen ( n w 0 t ) dt
T / 2
T/2
 0

   sen ( n w 0 t ) dt   sen ( n w 0 t ) dt 
T / 2

0
 1
cos( n w 0 t )

 n w 0

T/2
1
np

0

T / 2
1
nw0
(1  cos( n p ))  (cos(
2
np
1  (  1) ) 
n
T/2
cos( n w 0 t )
0
n p )  1) 
para n  0



Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier
queda como
f (t) 
4
p
sen ( w 0 t )  13 sen ( 3 w 0 t )  15 sen ( 5 w 0 t )  ... 
En la siguiente figura se muestran: la componente
fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la
suma parcial de estos primeros cuatro términos de
la serie para w0=p, es decir, T=2:
1.5
Componentes de la Serie de Fourier
Componentes
1
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
función periodica f(t), con periodo T=2p/w0.
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Es posible obtener una forma alternativa
usando las fórmulas de Euler:
Donde j 
cos( n w 0 t ) 
1
2
sen ( n w 0 t ) 
1
2j
1
(e
jn w 0 t
(e
jn w 0 t
e
 jn w 0 t
e
)
 jn w 0 t
)
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como

f (t)  c0 

(c n e
jn w 0 t
 c ne
 jn w 0 t
)
n 1
O bien,

f (t)  c0 
c
n
e

jn w 0 t

n 1
Es decir,
n  1

f (t) 
c
c
n
e
jn w 0 t
n  
Series de Fourier. 19
n
e
jn w 0 t
A la expresión obtenida

f (t) 
c
n
e
jn w 0 t
n  
Se le llama forma compleja de la serie de
Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a
partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
bien:
T
cn 
1
T
 f ( t )e
0
Para n=0, 1, 2, 3, ...
 jn w 0 t
dt
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le
corresponde una y sólo una serie de
Fourier, es decir, le corresponde un
conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t)
en el dominio de la frecuencia de la
misma manera que f(t) especifica la función
en el dominio del tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta
Espectro de Amplitud de f(t)
0.7
Cn 
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
Frecuencia negativa (?)
n
10
20
30
Frecuencia
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de w0).
De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia para
funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series
de Fourier para obtener el dominio de la
frecuencia de funciones no periódicas?
La respuesta es sí, pero ahora el espectro de
frecuencias NO es discreto sino continuo.
De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1
f(t)
p
...
.
-T
-T/
2
-p/
0

f ( t )  1
0

0
p/
2
T
2
p
2
p
2
T/
2
2
t
p
2
t
p
2
t
T
2
T ..
t
Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2
0.6
cn
0.4
0.2
0
-0.2
-60
-40
-20
0
20
40
60 w=nw
0
p=1, T=2
cn
0.6
0.4
0.2
0
w=nw0
-0.2
0.3
-50
0
50
p=1, T=5
0.2
0.1
0
-0.1
-50
0
50
0.15
p=1, T=10
0.1
0.05
0
-0.05
-50
0.06
0
50
p=1, T=20
0.04
0.02
0
-0.02
-50
0
50
Si hace T muy grande (T): El espectro
se vuelve ¡continuo!
Es decir,

f (t) 
 F(w)e
1
2p
jw t
dw
Identidad
de Fourier

Donde

F(w) 
 f ( t )e
 jw t
dt
Transformada
De Fourier

Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir
de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
Notación: A la función F(w) se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota por
F, es decir

F [ f ( t )]  F ( w ) 
 f ( t )e
 jw t
dt

En forma similar, a la expresión que nos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama
transformada inversa de Fourier y se denota por
F –1 ,es decir

1
F [ F ( w )] f ( t ) 
1
2p
 F(w)e

jw t
dw
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t)
siguiente
1
f(t)
t
-p/ 0
2
p/
2
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la
función es
p
0
t 2

p
p
f ( t )  1

t

2
2
p
0
t
2


F(w) 
p/2
 f ( t )e
 jw t
dt 

Integrando


1
 jw
(e
1
 jw
e
 jw t
 jw p / 2
e
 jw t
dt
p / 2
p/2
p / 2
e
Usando la fórmula de Euler:
jw p / 2
)
F(w)  p
sen ( w p / 2 )
wp / 2
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn
cuando T , pero multiplicado por T.
F(w)
En forma Gráfica
F(w) con p=1
1
0.5
0
-50
0
50
w
Señales Discretas
Tipos de señales :
1) Analógica : Continua en tiempo y amplitud
2) Discreta en el Tiempo:
La Transformada Discreta de Fourier
Cuando la función f(t) está dada por una lista de N
valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está
discretizada o muestreada, entonces la integral
que define la Transformada de Fourier:

F(w) 
 f ( t )e
 jw t
dt

Se convierte en la sumatoria
N
F(n ) 
 f (t
k
)e
 j 2 Np n ( k  1 )
,
para 1  n  N
k 1
(Donde k es la frecuencia discreta)
Llamada Transformada Discreta de Fourier
La Transformada Discreta de Fourier (DFT)
requiere el cálculo de N funciones exponenciales
para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de
cálculo enorme para N grande.
Se han desarrollado métodos que permiten
ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la
Transformada discreta, a estos métodos se les
llama
Transformada Rápida de Fourier (FFT)

En el cálculo de la transformada directa de
Fourier el número de operaciones
requeridas es proporcional a N2

En el cálculo de la transformada rápida de
Fourier (FFT) el número de operaciones
requeridas es proporcional a N(lnN)
En Resumen:





Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
continua y periódica empleamos su SERIE DE
FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
continua aperiódica empleamos la TRANSFORMADA
DE FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
discreta y periódica empleamos la DFT
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
discreta aperiódica aproximamos con la DFT
La DFT se implementa con la FFT
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The Fourier Series