
f (t )

1
2

F ( ) exp ( i t ) d 

La transformada
de
Fourier

F ( )


f ( t ) exp(  i t ) dt

1
De la Serie de Fourier a
la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las
series de Fourier para obtener una
representación en el dominio de la frecuencia
de funciones no periódicas?
Consideremos la siguiente función periódica
2
de periodo T:
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y
periodo T:
1
f(t)
p
...
-T
-T/
2
-p/
0
2
0

f (t )  1
0

p/
T/
2
T ...
t
2
T
2
p
2
p
2
t
t
t
p
2
p
2
T
2
3
Los coeficientes de la serie compleja de
Fourier en este caso resultan puramente
reales:
 p  sen ( n  0 2 )
cn   
p
 T  (n 0 2 )
p
El espectro de frecuencia correspondiente lo
obtenemos (en este caso) graficando cn
contra  = n0.
4
Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2
0.6
cn
0.4
0.2
0
-0.2
-60
-40
-20
0
20
40
60 w=nw
0
5
Si el periodo del tren de pulsos aumenta...
1.5
p = 1, T = 2
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
1.5
t
0
10
20
10
20
t
10
20
t
10
20
p = 1, T = 5
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
1.5
p = 1, T = 10
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
1.5
p = 1, T = 20
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
6
...el espectro se "densifica".
p = 1, T = 2
cn
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-50
0
=n0
50
0.3
p = 1, T = 5
0.2
0.1
0
-0.1
-50
0
50
0.15
p = 1, T = 10
0.1
0.05
0
-0.05
-50
0.06
0
50
p = 1, T = 20
0.04
0.02
0
-0.02
7
-50
0
50
En el límite cuando T, la función deja de
ser periódica:
1.5
p = 1, T = 
f(t)
1
0.5
0
-20
-10
0
t
10
20
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie
de Fourier?
8
Si se hace T muy grande (T), el espectro
se vuelve "continuo":
9
El razonamiento anterior nos lleva a
reconsiderar la expresión de una función f(t)
no periódica en el dominio de la frecuencia,
no como una suma de armónicos de
frecuencia n0, sino como una función
continua de la frecuencia .

Así, la serie:
f (t ) 
c
n
e
in  0 t
n  
al cambiar la "variable discreta" n0 (cuando
T) por la variable continua , se
transforma en una integral de la siguiente
manera:
10
T /2
Recordemos:
cn 

1
T
f (t ) e
 in  0 t
dt
y
T 
T / 2
La serie de Fourier es:
-T/2< x < T/2
f (t ) 


n  
O bien:
T  2 /  0
 0  2 / T

f (t ) 

n  
 1
 2

1
T

T /2

f (t ) e
T / 2
T /2

f (t ) e
T / 2
 in  0 t
 in  0 t
2
0
 in  t
dt  e 0


in  0 t
dt   0 e

Cuando T , n0   y 0  d y el sumatorio
se convierte en:

f (t ) 
1
2

 i t
 i t
   f ( t ) e dt  e d 
11
 

La transformada de Fourier
Es decir,

f (t ) 

1
2
F ( ) e
i t
d

donde:

F ( ) 

f (t ) e
 i t
dt
Identidad
de Fourier
o antitransformada de
Fourier
Transformada
de Fourier

Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F() (dominio de la frecuencia) a
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.12
La transformada de Fourier y
la transformada inversa de Fourier

F ( )


f ( t ) exp(  i t ) dt


f (t )

1
2

F ( ) exp( i t ) d 

En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la
anti-transformada para obtener simetría en la expresión, como: 1/√(2).
13
Notación: A la función F() se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se
denota por F o fˆ, es decir

F [ f ( t )]  F ( )  fˆ ( ) 

f (t ) e
 i t
dt

En forma similar, a la expresión que nos
permite obtener f(t) a partir de F() se le
llama transformada inversa de Fourier y
se denota por F –1 ,es decir

1
F [ F ( )]  f ( t ) 
1
2


F ( ) e
i t
d
14
Transformadas integrales
F ( ) 

b
K ( , t ) f ( t ) dt
a
– K(,t): núcleo o kernel.
– Asocia a cada función f(t) en el
espacio t, directo o real, otra función
F() en el espacio  o recíproco.
– Ejemplos: de Fourier, Wavelet,
transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc
15
Un problema que es difícil de resolver en sus
"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nos devuelve la
solución en el espacio original.
Problem in
Relatively easy solution
Transform space
Transform space
Inverse transform
Integral transform
Original
problem
Solution in
Difficult solution
Solution of
original problem
16
Ejemplo. Calcular F() para el pulso
rectangular f(t) siguiente:
1
f(t)
t
-p/
2
0
p/
2
Solución. La expresión en el dominio del
tiempo de la función es:
0

f (t )   1
0

t
p
2
p
2
t
p
2
p
2
t
17
Integrando:

F ( ) 

p/2
f (t ) e
 i t
dt 


1
 i
e
 i t
F ( )  p
dt
 p/2
p/2
p/2
Usando la fórmula
de Euler:
e
 i t

1
 i
(e
sen ( p / 2 ) 
 i p / 2
e
i p / 2
e
i p / 2
)
 e  i p / 2
2i
sen ( p / 2 )
p / 2
 p sinc ( p / 2 )
18
0

f (t )   1
0

t
p
2
p
2
t
p
2
2
t
En forma gráfica,
la transformada es:
F(w)
p =1
p
F ( )  p sinc ( p / 2 )
F(w) con p=1
1
0.5
0
-50
0
50
w
19
La función sinc(x)
Sinc(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la
transformada de
Fourier de una
función triangulo.
Sinc2(ax) es el
patrón de difracción
de una ranura.
20
Demostrar que la transformada de
Fourier de la función triángulo, D(t), es
sinc2(/2)
sinc (  / 2)
D (t )
2
1
-1/2
0
1
TF
1/2
t
0

21
Ejercicio: Calcular la Transformada de
Fourier de la función escalón unitario o
función de Heaviside, u(t):
u(t)
1
t
0
Grafica U() = F[u(t)].
¿Qué rango de frecuencias contiene U()?
¿Cuál es la frecuencia predominante?
22
La función delta de Kronecker y delta
de Dirac
 m ,n
 1 if m  n

 0 if m  n
  if t  0
 (t )  
 0 if t  0
(t)
t
23
La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función
delta como el límite de una serie de funciones
como la siguiente:
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√
(t)
f3(t)
f2(t)
f1(t)
t
24
Y recordemos algunas propiedades
de la función 
(t)


t
 ( t ) dt  1



  ( t  a ) f ( t ) dt    ( t  a ) f ( a ) dt 

f (a )



ex p (  i t ) d t  2   ( 




ex p [  i (    ) t ] d t  2   (    
25
Transformada de Fourier de la (t):
f t    (t )

 fˆ   
  (t ) e
 i t
dt  1

(t)
1

t
Observa que la transformada de Fourier de

f(t) = 1/(2) es:
ˆf   
1
dt  2  (  )

()
2
 1e
 i t
Recordemos
t

26

T
0 , t  
2


T
T
f t   1 , 
t

2
2

T
0 ,
 t


2
 T 
sen   
 2
ˆ
 f ( )  T
T

2
T


T
T
2
2
2
2
T
T
27
T

0 , t   2

T
T
f t   1 , 
t
2
2

0,T t

2
T
f t   1
 T 
sen   
 2
ˆ
 f ( )  T
T

2
T
∞
 fˆ   
∞

 1e
 i t
dt
 2  (  )

28
Transformada de Fourier de la función coseno
fˆ   
f t   cos(  0 t )

 i t
cos(

t
)
dt
e
0



e
  
 
i 0 t
+e
 i 0 t
2
  i t
1
dt 
 e
2


 e
 i (  0 ) t
+ e  i (  +  0 ) t dt 

ˆf ( )  2   (   ) +  ( +  ) 
0
0
2
fˆ ( )    (   0 ) +  ( +  0 ) 
cos(0t)
0
F {cos(  0 t )}
t
0
0 +0

29
Transformada de Fourier de la función seno:
f t   sen ( 0 t )
fˆ   

 i t
sen
(

t
)
dt 
e
0



e
  
 
i 0 t
e
 i 0 t
2i
  i t
dt
 e


1
2i

 e
 i (  0 ) t
 e  i (  +  0 ) t  dt

fˆ ( )  i   ( +  0 )   (   0 ) 
F {sen(  0 t)}
sen(0t)
0
t
0
0
+0

30
La transformada de Fourier de la onda
plana exp(i0 t)

F {e
i 0 t
}
e
i 0 t
e
 i t
dt 


e
 i (  0 ) t
dt  2   (   0 )

exp(i0t)
Im
0
Re
0
F {exp(i0t)}
t
t
0
0
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.

31
Im
Re
TF
exp(i0t)
0
t
0
t
F {exp(i0t)}
0
0

TF
Sum
0

32
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
 e  at , t  0
f t   
 0, t  0
a 0
fˆ   

e
0
 at
e
 i t
dt 

e
 ( a + i ) t
dt  
e
a + i
0

1
a + i
1
( 0  1) 
a  i
a +
2
2
i


0
1
a + i


a + i a  i
a
 ( a + i ) t

a +
2
2
33
La transformada de Fourier de una
Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.

F {exp(  at )} 
2
 exp(  at
2
) exp(  i t ) dt

 exp(   / 4 a )
2
exp(   / 4 a )
exp(  at )
2
2
TF
0
t
0

34
Más adelante lo demostraremos.
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos
retornar al espacio directo mediante la inversa de la
transformada de Fourier:
g ( x)  F
1
G ( k ) 
1
2


 G (k )e
ikx
dk

g ( x )e
 ikx
dx



G (k ) 



1
ikx '
 ikx

G ( k ) e dk    g ( x ) e dx


2 
   
 1  ik ( x '  x ) 

 dx
g
(
x
)
e
dk

 2 



 

   
 ( x ' x )
        
 ikx '
 e dk 



g ( x ')
35
A partir de su definición, obtener la transformada
2
5
inversa de Fourier de la función g   

3
3


i  3 
i + 3 

F
F

1
1
 g     g  e i x d 

 i x
2
5
g    

e d 

3
3

i  + 3  
 i   3 


2
i x

5
i x
d
 i   3 
 i  + 3 
     
      

3

e
d 
I1
Cálculo
I1 
I2
de I 1 (teoría de residuos)

2
 i   3 

f (z) 
e
iz
3

e
3
e
i x
:
d
izx
 3
3
 z   3 i polo de orden 3
36
 ix e
2
Re s f(z)  
2
z  -3i
I 1  4 πi
3x
2 3x


f(z)


2
πx
e ;
Re s
x 0
z  -3i
I1  0 ;
x 0
Cálculo de
I2 
I 2 (teoría d e residuos ):

5
 iω + 3 

f(z) 
e
iz
iωω
dω
izx
+ 3
3
Re s f(z)  
z  3i
I 2  10 πi
3
e
 z  3 i polo de
 ix e
2
orden 3
3x
2
5
2 3x


f(z)

2
π
x
e ;
Re s
2
x 0
z 3i
I 2  0;
x 0
37
Luego la transform ada inversa
de Fourier es :
2 3x


2

x
e ; x0

1
F g   
2 3x


5

x
e ; x 0

38
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de
la función:
1
g ( ) 
2
6   13 i   6
Respuesta.
f ( x) 



g ( ) e
i x
d
Integrando en el plano complejo:
g (z) 
1
6 ( z  z 1 )( z  z 2 )
, z1 
2
3
i, z 2 
3
i
2
39
G(z)  g(z)e
Tomando
izx
C

• Si x > 0:
2



g ( z ) e dz  2  i  Res ( G ( z ), z k ) 
izx
-R
R
k 1

G ( z ) dz +
(R)
Haciendo lim R→∞

R
R
G ( w ) dw
Como lim g ( z )  lim
z 
z 
1
6 z  13 iz  6
2
0
40
 lim
R

g ( z ) e dx  0 (Lema 3 de Jordan)
izx
(R)
Entonces:
f ( x )  2 i 
2
3
 x 
2   2 x
e
Res ( G ( z ), z k ) 
e 3 

5 

• Si x < 0:
2



g ( z ) e dz  2  i  Res ( G ( z ), z k ) 
izx
k 1

G ( z ) dz 
(R)

R
R
G ( w ) dw
41
Haciendo lim R→∞
Como lim g ( z ) 
-R
z 
 lim
z 
 lim
R
Entonces:
1
6 z  13 iz  6
2

 0
R

g ( z ) e dx  0 (Lema 3 de Jordan)
izx
(R)
f ( x )  2  i  Res ( G ( z ), z k )  0
2
 2π  3x
 x
e 2  e 3

f(x)   5 

0, x  0

, x  0


42
Algunas funciones no poseen
transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:


2
g ( x ) dx  

es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
43
La TF y su inversa son simétricas.
Si la TF de f(t) es F(), entonces la TF de F(t) es:


F ( t ) exp(  i  t ) dt


Que podemos escribir:
2
1
2


F ( t ) exp( i[   ] t ) dt

Renombrando la variable de integración de t a ’, podemos ver que
llegamos a la TF inversa:

 1
2 
 2





F ( ) exp( i[   ]  ) d   

2 f (   )
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son
un "par transformado."
44
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son
ambas en general complejas.
F  f ( x )  Fr ( k ) + iF i ( k )
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
F  f ( x )  F ( k )  A ( k ) e
A  F (k ) 
F r + Fi
A  amplitud
o magnitud
2
i ( k )
2
espectral
  fase espectral
A  F
2
2
 F r + Fi  espectro de potencia
2
2
45
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
F  f ( x )  Fr ( k ) + iF i ( k )



f ( x )e
 ikx
dx 


f ( x )cos( kx )  isen ( kx ) dx


Fr ( k ) 

f ( x ) cos( kx ) dx


Fi ( k )  


f ( x ) sin( kx ) dx
46
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
F .T .

f (t ) 
 ˆf  
F .T .
ˆ   + gˆ  
  f (t ) + g(t ) 


f
F .T .
g(t ) 
 gˆ   

F .T .
ˆ
f (t ) 
 f    (a + ib ) f (t ) 
( a + ib ) fˆ  
F .T .
47
La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
F()
f(t)

t
F { af ( t ) + bg ( t )} 
G()
g(t)
t

aF { f ( t )} + bF { g ( t )}
F() + G()
f(t) + g(t)
t

48
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

a
 0 , t 
2

b
a

 t 
f (t )  1 ,
; a  b 0
2
2


b
2 , t 

2
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t )  g( t ) + h(t )
donde

a

0 , t  2
g(t )  
1 , t  a


2
;


0 ,
h( t )  
1 ,


t 
t 
b
2
b
2
49
Luego:
fˆ ( )  gˆ (  ) + hˆ (  )
fˆ (  ) 
 a 
sen 

a
 2 
+
a
2
2
 b 
sen 

b
 2 
b
2
2
50
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
1
0
-a
-b
0
b
a
51
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0 ,
t  a

1,  a  t   b

f t   0 ,  b  t  b

b t a
1,

t a
0 ,

0
g( t )  

1
f t   g(t )  h(t )
,
t a
,
t  a
;

0
h(t )  

1
,
t  b
,
t b
52

0
g( t )  

1
,
t a
,
t  a

0
h(t )  

1
,
t b
,
t  b
fˆ ( )  gˆ ( )  hˆ ( ) 
F.T .
 
F.T .
 
2a sen(  a )
2
a
gˆ ( ) 
2 a sen(  a)
2
a
2 b sen(  b)
ˆ
h ( ) 
2
b

2b
2
sen(  b)
b
53
1 ˆ  
F  f  at  
f 
a  a 
2. Escalado:
F  f t   fˆ ( )

F  f  at  

f ( at ) e
 i t
dt 

1
a
1
a


i

( at )
a
f ( at ) e
d ( at ) 




i
f (t ' ) e

a
t'
1 ˆ  
dt ' 
f 
a  a 
54
F()
f(t)
Efecto de
la propiedad
de escalado
Mientras más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
Pulso
corto
t

t

t

Pulso
medio
Pulso
largo
55
La transformada de Fourier respecto al
espacio
Si f(x) es función de la posición,
F  f  x  


f ( x )e
 ikt
dx  fˆ ( k )
x

k se conoce como frecuencia
espacial.
Todo lo expuesto sobre la
transformada de Fourier entre los
dominios t y  se aplica los
dominios x y k.
k
56
3. Traslación en el dominio de tiempos
F .T .
F .T .
f (t ) 
  fˆ    f ( t + a )  
  e i  a fˆ  
f (t + a )  g (t )
gˆ   


gˆ   


g ( t ) e  i  t dt


f ( t + a ) e  i  t dt




f ( u ) e  i  ( u  a ) du
 e i a


f ( u ) e  i  u du

gˆ    e i  a fˆ ( )
57
*
ˆ
ˆ
4. : f (t )  f (t )  f    f   
*
 Re



 Im
 fˆ ( )   Re  fˆ (   ) 
 fˆ ( )    Im  fˆ (   ) 
5. :

fˆ 0  

f ( t ) dt

f 0  
1
2


fˆ ( ) d 

58

5. Identidad de Parseval :


*
f (t )g( t )dt 


ˆf * (  ) gˆ ( )d 



  *



 i t
i  't
ˆ
   f ( ) e d     gˆ ( ' ) e d  '  dt 
   
  





*
  d  fˆ ( )  d  ' gˆ ( ' )   dt



 
 i (    't ) 
 
e




*
fˆ ( ) gˆ ( ) d 

 ( '   )
En particular:

f (t )  g( t ) 



f (t )
2
dt 

fˆ ( )
2
d

Teorema de Rayleigh
59
Toda función puede escribirse como la suma
de una función par y una función impar
Sea f(x) una función cualquiera.
E(-x) = E(x)
E(x)
E ( x )  [ f ( x ) + f (  x )] / 2
O(x)
O(-x) = -O(x)
O ( x )  [ f ( x )  f (  x )] / 2

f(x)
f (x)  E (x) + O (x)
60
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
fˆ   



f (t ) e
 i t
dt
0
 i t
   f (t ) e
dt +


i t
ˆf ( ) 
  f ( t ) e dt +
0


0

 i t
f (t ) e
dt  



f (t ) e
 i t
0


f (t )
e
i t

dt 

+e
 i t
dt
0

fˆ    2  f ( t ) cos(  t ) dt
0
61
Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):
fˆ   



f (t ) e
 i t
dt
0
 i t
   f (t ) e
dt +


i t
ˆf ( ) 
   f ( t ) e dt +
0


0
f (t ) e
 i t

dt  



f (t ) e
 i t
0



f (t )  e

dt 

i t
+e
 i t
0

fˆ    2 i  f ( t ) sen ( t ) dt
0
62
dt
6. Transformada de la derivada:
F( f (x))  ikF(f(x))  ikF(k)
Y en general:
(x))  ik
(n)
F(f

n
F(k)
7. Transformada xf(x):
F  xf ( x )   iF ´( f ( x ))  iF ´( k )
Y en general:
F  x f ( x )   i F ´( k )
n
n
63
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.
1. Encontrar la transformada de Fourier de la
1
función:
f ( x) 
1 + x 
2
2. A partir del resultado anterior y una conocida
propiedad de la transformada de Fourier, determina
la transformada de Fourier de la función:
g( x ) 
1.
x
1 + x 
2 2
Nos piden la integral
Pasamos la integral
I 



e
F (k ) 



e
 ikx
x +1
2
al plano complejo
dx
:
 ikz
z +1
2
dz  integral
f ( z ) es analítica
" tipo 3" con f ( z ) 
 z  C, excepto
1
z +1
z 1  -i y z 2  i
2
64
Para k  0 integramos
F ( k )   2  i Res
zi
z i
en el circuito


2
C1
 k
C2
 df 
Puesto que F 
 ikF  f

 dx 
  2x
F
2
 1 + x
C1 :
 e  ikz 
 e  ikz 
k

2

i


e
 2



lím
z
+
1
z
+
i
z

i




De modo que : F ( k )   e
2.
C2 :
 e  ikz 
 e  ikz 
k


2

i


e
 2



lím
z
+
1
z

i
z i 



Para k  0 integramos
F ( k )  2  i Res
en el circuito


x
  2 F 
2

 1 + x


x
 G (k )  F 
2
 1 + x


2
df
 2x

y


 k

  ik  e

2
dx
 k

ik  e

2


1 + x 
2 2
:
65
Veamos otra aplicación de estas dos últimas propiedades:
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
 ax 2 
siendo a>0 constante.

f ( x )  exp  


2 
Derivando tenemos:
 ax 2 
 ax 2 
  f  ( x )   ax exp  
   axf ( x )
f ( x )  exp  



2
2




Transformando a ambos lados de la ecuación y usando las siguientes
propiedades de la TF:
F ( f ( x ))  ikF ( f ( x ))  ikF ( k ) 

F  xf ( x )   iF ´( f ( x ))  iF ´( k ) 
ikF ( k )   iaF ´( k )
66
ikF ( k )   iaF ´( k )  F ( k )  Be
F ( k )  Be

k
2
2a





e
ax

k
2
2a
2
2
e
 ikx
dx
u2 = ax2/2
B  F (0) 

2

a

0
F (k ) 
e




2
e
t
dx 
a
t
a
2

e
k
2

a


e
u
2
du  2
2

a

e
u
2
du
0
2
dt 
2
ax
u2 = t
2
2a
67
Convolución
Se define la integral de convolución de dos funciones
f(t) y g(t) del siguiente modo:
f
 g ( t ) 


f ( u ) g ( t  u ) du




f ( t  u ) g ( t ) du

68
69
Ejemplo visual:
rect(x)
* rect(x) = D(x)
70
Convolución con la función delta

f (t )    t  a ) 

f (t  u )  (u – a ) d u

 f (t  a )
Convolucionar una función con una delta,
simplemente centra la función sobre la delta.
71
Propiedades de la convolución
Commutativa:
f g  g f
Asociativa:
f  (g  h )  ( f  g )  h
Distributiva:
f  (g + h )  f  g + f  h
72
El teorema de convolución o
teorema de Wiener-Khitchine
F  f (t ) * g (t )   F ( w )  G ( w )
Convolución en el espacio real es equivalente a
multiplicación en el espacio recíproco.
73
Ejemplo del teorema de convolución
rect ( x )  rect ( x )  D ( x )
F {rect ( x )} 
F { D ( x )} 
sinc( k / 2)
sinc ( k / 2)
2
sinc( k / 2)  sinc( k / 2)  sinc ( k / 2)
2
74
Demostremos el teorema de convolución.
f
 g ( t ) 


f ( u ) g ( t  u ) du 










i

u
ˆ ( )
f
e d  

2  

1


i  't
 gˆ ( ' ) e




1
2

 gˆ ( ' ) e

i  '( t  u )

d  ' du 



 1  i (    ') u


 d  ' fˆ ( ) d  
du
e
 2 



  

  


 (    ')

75





i  't
ˆ
  gˆ ( ' ) e  (   ' ) d  '  f ( ) d  




fˆ ( ) gˆ ( ) e i  t d   f ( t )  g ( t )

Aplicando la TF a ambos lados:
F  f (t ) * g (t )   F ( w )  G ( w )
76
Ejemplo de aplicación del teorema de convolución:
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
T

, t 
0
2
f (t )  
T
 cos(  0 t ) , t 
2

Podemos hacerlo aplicando la definición:
T
fˆ   
T
2
 i t
cos(

t
)
dt
e
0


T
2
 e i 0 t + e  i 0 t   i t
  
dt
 e
2

T

2
2
T
 i (  0 ) t
 i ( +  0 ) t
2


1
ie
ie
fˆ ( )  
+

2    0
 +  0  T
2
77
ˆf ( )  1  i (  2 i ) sen  (   ) T  + i (  2 i ) sen  ( +  ) T  


0
0




2   0
2   + 0
2 



T
T 


sen  (   0 )  sen  ( +  0 )  

2
2


ˆf ( )  T 
+


T
T
2 

   0 
 +  0 


2
2
T

, t 
0
2
f (t )  
T
 cos(  0 t ) , t 
2

78

0
h (t )  
1

, t 
, t 
T
Pero, también podemos usar:
fˆ  hg  hˆ  gˆ
2
T
2
g t   cos(  0 t )
;
TF
TF
 T 
sen   
 2
ˆ
h ( )  T
T

gˆ ( ) 

2
 (   0 ) +  ( +  0 ) 
2
T

, t 
0
2
f (t )  
T
 cos(  0 t ) , t 
2

 f t   h ( t ) g ( t )
79
hˆ  gˆ ( ) 
fˆ  hg  hˆ  gˆ
1
2


h ( t ) g ( t ) e  i  t dt


hˆ  gˆ ( )   hˆ ( ' )gˆ (   ' ) d  ' 


 T 
sen   ' 

1
2

T

T
2  
'
2
fˆ ( )  ( hˆ  gˆ )(  ) 

2
 (   '  0 ) +  (   '+  0 ) d  '

T
T 


sen  (   0 )  sen  ( +  0 )  

1 T 
2
2


+


T
T
2 2 

   0 
 +  0 

2
2 80 
Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las
siguientes funciones:


0
f (t )  
1


g( t ) 
,
t 
,
t 
ab
2
ab
2
 

a + b 
a + b 
2   t 
 +  t +


 
2 
2 
81
El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es:
f
1
 g (t ) 
2

f
 g (t ) 


f


f (u )g(t  u )du



a+b
a+ b
f (u)  ( t 
 u ) +  (t +
 u) du


2
2
 g (t )  f (t 
a+b
2
) + f (t +
a+b
2
)
es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones
pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la
siguiente:
82
1
0
-a
-b
0
b
a
y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:
2 a sen(  a)
2
a

2 b sen(  b)
2
b
83
Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del
producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución,
según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de
f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas
de f(t) y g(t):
 f  g (t )    ˆf ( ) gˆ ( )
F .T .


0
f (t )  
1


,
,
t 
t 
ab
F.T .
2
 
ab
2
fˆ ( ) 
ab
2
sen( 

ab
2
ab
2
84
)
Calculamos la transformada de Fourier de g(t):
gˆ   
gˆ   

1
2
 g(t ) e
2
dt


1
 i t


 

a + b 
a + b   i t
2   t 
 +  t +
e
dt

 
2 
2 
 a + b 
2
gˆ    e
+ e 2  2 cos 


2 
ab
sen( 
)
 a + b 
a

b
2
fˆ ( ) gˆ   
2 cos 

ab


2
2

2
 i
a+ b
i
a+ b
85
ˆf ( ) gˆ    a  b
2
fˆ ( ) gˆ   
2 1
 
fˆ ( ) gˆ   
sen( 

ab
2
ab
 
 a + b 
2 cos 


2 
2
2 sen( 
2 1
)
a b
2
 a + b 
) cos 


2 
sen(  a )  sen  b 
que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.
86
Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada
de Fourier de la siguiente función:
2
sen (
2
ˆf ( )  T
2
T
2
2
 T
)
2
4
Tenemos que calcular la antitransformada:
1
f t  
f t  
1
2

2

T
2
 2


ˆf (  ) i  t d 
e

sen 2 (
2
T
 T
4
2
2
)
e
i t
d

T
 
sen(
1
T
2

 2 T
2   


2
2

) 




e
i t
87
d
f (t ) 

 T 
T
 
sen(
) 
sen(
1
T
T
2 
2

  2   T  2   T
2  




2
2
y, llamando:
sen(
T
gˆ (  ) 
2
T
2
T
2
)

) 
 i  t d 
 e




0 ,
Antitransformada g( t )  
de Fourier
1 ,


t 
t 
T
2
T
2
nos queda que:
f (t ) 
1
2

 gˆ (  ) gˆ ( ) e

i t
d 
1
2
2  g  g (t )
Teorema de convolución
88
Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda:
g  g (t ) 
donde
1
2

 g(u) g(t  u)du



0 ,
g( t )  
1 ,


t 
t 
T
2
T
2
Si t   T  g  g (t )  0
t+
Si  T  t  0   g  g ( t ) 
1
2
T
2
 1  1  du

T
2

t+T
2
89
T
Si 0  t  T  g  g (t ) 
1
2
2
 1  1  du
t
T

T t
2
2
Si t  T  g  g (t )  0
Luego:
T  t

,

f (t )  g  g (t ) 
2

0 ,

t  T
t T
90
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