Procesamiento Digital de
Señales (DSP)


Es el tratamiento o manipulación de datos digitales que
representan alguna señal física. Los datos son normalmente
generados mediante un proceso de conversión A/D.
El procesamiento se puede clasificar en dos grupos:
1. Estadístico
2. Fourier
Análisis de Fourier:
Encontrar información “escondida” dentro de los datos:
- Limpiarla (ruido)
- Ubicar patrones
- Compactarla
- Reacomodarla
Técnicas empleadas
- Transformaciones de Fourier
- Filtrado Digital
- Convolución y Correlación
Aplicaciones:
•Óptica
•Astronomía
•Geología
•Análisis Químico
•Materiales
•Computación
•Medicina
•Acústica
•Música
•Video
Series de Fourier

Cualquier señal periódica continua se puede
representar como una serie infinita de senos y
cosenos de diferentes amplitudes cuyas
frecuencias son harmónicas de la frecuencia de
la señal. Esto es lo que se conoce como la serie
de Fourier de la señal.
Una Función Periódica f(t) tiene la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima T para la cual se cumple lo
anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...
Serie Trigonométrica de Fourier
Las Funciones periódicas f(t) de periodo T pueden
expresarse por la siguiente serie, llamada Serie
Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Es posible escribir de una manera ligeramente
diferente la Serie de Fourier, si observamos que el
término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir
como
2
an

2
bn




an
an  bn
2
2
cos( n w 0 t ) 

sen ( n w 0 t ) 
2
2

an  bn

bn
Podemos encontrar una manera más compacta
para expresar estos coeficientes pensando en un
triángulo rectángulo:
an
Cn  an  bn
2
b
n
n
a
2
2
an

2
bn
bn
2
an

2
bn
 cos  n
 sen  n
n
Con lo cual la expresión queda
C n cos  n cos( n w 0 t )  sen  n sen ( n w 0 t ) 
 C n cos( n w 0 t   n ) 
Si además definimos C0=a0/2, la serie de
Fourier se puede escribir como

f (t)  C 0 
 C cos( n w
n
n 1
Así,
y
Cn  a  b
2
n
1 
2
n
bn 
 n  tan  
 an 
0
t   n )
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la
suma de componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:
Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente
fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia
angular fundamental.
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Obviamente, el problema se resuelve si
sabemos como calcular los coeficientes
a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la
ortogonalidad de las funciones seno y
coseno.
Functiones Ortogonales

Un conjunto de funciones {k} es
orthogonal en el intervalo a < t < b si se
cumple que

b
a
0
 m ( t )  n ( t )dt  
 rn
m  n
m n
Functiones senoidales
ortogonales
w0=2p/T.

T /2
T / 2
cos( m w 0 t )dt  0 ,

m 0
T /2
T / 2
sin( m w 0 t )dt  0 ,
 0
 T / 2 cos( m w 0 t ) cos( n w 0 t )dt  T / 2

mn
 0
 T / 2 sin( m w 0 t ) sin( n w 0 t )dt  T / 2

mn
T /2
T /2

T /2
T / 2
sin( m w 0 t ) cos( n w 0 t )dt  0 ,
mn
mn
for all m and n
m 0
Multiplicando ambos miembros de la identidad por
cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
an 
T/2
2
T
 f ( t ) cos( n w 0 t ) dt
n  0 ,1, 2 , 3 ,...
T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de
–T/2 a T/2, obtenemos:
bn 
T/2
2
T
 f ( t ) sen ( n w 0 t ) dt
T / 2
a0 
T/2
2
T
 f ( t ) dt
T / 2
n  1, 2 , 3 ,...
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para
la siguiente función de periodo T:
f(t)
1
t
...
..
-T/
2
0
T/
T .
2
-1
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
 1
f (t)  
 1
para 
T
2
 t0
para 0  t 
T
2
Coeficientes an:


2
T
2
T
an 
T/2
2
T
 f ( t ) cos( n w 0 t ) dt
T / 2
T/2
 0

   cos( n w 0 t ) dt   cos( n w 0 t ) dt 
T / 2

0

1
sen ( n w 0 t )

 n w 0
0
0

T / 2
1
nw0
para n  0
T/2
sen ( n w 0 t )
0



Coeficiente a0:


a0 
2
T
2
T
T/2
2
T
 f ( t ) dt
T / 2
T/2
 0

   dt   dt 
T / 2

0

 t

0
T/2
t
T / 2
0
0



Coeficientes bn:


2
T
2
T
bn 
2
T
 f ( t ) sen ( n w 0 t ) dt
T / 2
T/2
 0

   sen ( n w 0 t ) dt   sen ( n w 0 t ) dt 
T / 2

0
 1
cos( n w 0 t )

 n w 0

T/2
1
np

0

T / 2
1
nw0
(1  cos( n p ))  (cos(
2
np
1  (  1) ) 
n
T/2
cos( n w 0 t )
0
n p )  1) 
para n  0



Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier
queda como
f (t) 
4
p
sen ( w 0 t )  13 sen ( 3 w 0 t )  15 sen ( 5 w 0 t )  ... 
En la siguiente figura se muestran: la componente
fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la
suma parcial de estos primeros cuatro términos de
la serie para w0=p, es decir, T=2:
1.5
Componentes de la Serie de Fourier
Componentes
1
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
función periodica f(t), con periodo T=2p/w0.
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n w 0 t )  b n sen ( n w 0 t ) ]
n 1
Es posible obtener una forma alternativa
usando las fórmulas de Euler:
Donde j 
cos( n w 0 t ) 
1
2
sen ( n w 0 t ) 
1
2j
1
(e
jn w 0 t
(e
jn w 0 t
e
 jn w 0 t
e
)
 jn w 0 t
)
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como

f (t)  c0 

(c n e
jn w 0 t
 c ne
 jn w 0 t
)
n 1
O bien,

f (t)  c0 
c
n
e

jn w 0 t

n 1
Es decir,
n  1

f (t) 
c
c
n
e
jn w 0 t
n  
Series de Fourier. 22
n
e
jn w 0 t
A la expresión obtenida

f (t) 
c
n
e
jn w 0 t
n  
Se le llama forma compleja de la serie de
Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a
partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
bien:
T
cn 
1
T
 f ( t )e
0
Para n=0, 1, 2, 3, ...
 jn w 0 t
dt
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le
corresponde una y sólo una serie de
Fourier, es decir, le corresponde un
conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t)
en el dominio de la frecuencia de la
misma manera que f(t) especifica la función
en el dominio del tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta
Espectro de Amplitud de f(t)
0.7
Cn 
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
Frecuencia negativa (?)
n
10
20
30
Frecuencia
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de w0).
Ancho de banda de una señal




Existen muchas definiciones para el ancho de banda de
una señal, dependiendo del contexto en que se emplee
el término.
Una de ellas se refiere al conjunto de las componentes
de frecuencia cuya amplitud no es menor en 3 dB a la
mayor componente del espectro de Fourier de la señal.
Esta definición sería inapropiada si el objetivo es
mantener una representación fiel de la señal.
Obviamente, para una señal periódica podemos obtener
su ancho de banda con su serie de Fourier.
De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia para
funciones periódicas f(t).
¿Es posible extender de alguna manera las series
de Fourier para obtener el dominio de la
frecuencia de funciones no periódicas?
La respuesta es sí, pero ahora el espectro de
frecuencias NO es discreto sino continuo.
De la Serie a la Transformada de Fourier
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho P y periodo
T:
1
f(t)
p
...
.
-T
-T/
2
-p/
0

f ( t )  1
0

0
p/
2
T
2
p
2
p
2
T/
2
2
t
p
2
t
p
2
t
T
2
T ..
t
Espectro del tren de pulsos para P=1, T=2
0.6
cn
0.4
0.2
0
-0.2
-60
-40
-20
0
20
40
60 w=nw
0
p=1, T=2
cn
0.6
0.4
0.2
0
w=nw0
-0.2
0.3
-50
0
50
p=1, T=5
0.2
0.1
0
-0.1
-50
0
50
0.15
p=1, T=10
0.1
0.05
0
-0.05
-50
0.06
0
50
p=1, T=20
0.04
0.02
0
-0.02
-50
0
50
Si hace T muy grande sin aumentar P
(T): El espectro se vuelve ¡continuo!
Es decir,

 f ( t )e
F(w) 
 jw t
dt
Transformada
De Fourier

Donde

f (t) 
1
2p
 F(w)e
jw t
dw
Identidad
De Fourier

Estas expresiones nos permiten calcular la
expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir
de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa
Notación: A la función F(w) se le llama
transformada de Fourier de f(t) y se denota por
F, es decir

F [ f ( t )]  F ( w ) 
 f ( t )e
 jw t
dt

En forma similar, a la expresión que nos permite
obtener f(t) a partir de F(w) se le llama
transformada inversa de Fourier y se denota por
F –1 ,es decir

1
F [ F ( w )] f ( t ) 
1
2p
 F(w)e

jw t
dw
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t)
siguiente
1
f(t)
t
-p/ 0
2
p/
2
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la
función es
p
0
t 2

p
p
f ( t )  1

t

2
2
p
0
t
2


F(w) 
p/2
 f ( t )e
 jw t
dt 

Integrando


1
 jw
(e
1
 jw
e
 jw t
 jw p / 2
e
 jw t
dt
p / 2
p/2
p / 2
e
Usando la fórmula de Euler:
jw p / 2
)
F(w)  p
sen ( w p / 2 )
wp / 2
Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn
cuando T , pero multiplicado por T.
F(w)
En forma Gráfica
F(w) con p=1
1
0.5
0
-50
0
50
w
Señales Discretas
Tipos de señales :
1) Analógica : Continua en tiempo y amplitud
2) Discreta en el Tiempo:
Transformada Discreta de Fourier
FT: Cuando la señal de origen es continua

x( f ) 

x (t ) e
 j 2 p ft
dt

El tiempo y la frecuencia son variables continuas
Pero si las señales son discretas DTFT
(Discrete Time Fourier Transform)

x( f ) 
 x (n )e
 j 2 p fn

El tiempo se discretiza pero la frecuencia sigue siendo continua (la
suma es infinita)
The DFT
Para discretizar ambas variables
1) Limitamos la frecuencia continua a un valor máximo value de Fs
2) Discretizamos la frecuencia a valores m
m 
nFS
N
La Transformada se convierte en
N 1
X (m ) 
 x (n )e
n0
 j 2 p nm / N
The DFT
N 1
X (m ) 
 x (n )e
 j 2 p nm / N
n0
En donde :
X(m) = la mth DFT componente de salida: X(0), X(1),X(2)…
m
= Indice de la salida de la DFT en el dominio de la fecuencia
m
= 0,1,2,…,N-1
x(n) = muestras de entrada, x(0),x(1),x(2)…..
n
= Indice de las muestras de entrada,n = 0,1,2,3,…, N-1
N
= Número total de muestras de entrada y de los puntos de
frecuencia en la salida de la DFT.
DFT
La DFT es una cantidad compleja
X ( m )  X real ( m )  jX im ag ( m )
La magnitus de X(m) es :
X mag ( m )  X ( m ) 
X real ( m )  X imag ( m )
El ángulo de X(m) es :
X  ( m )  tan
1
 X im ag ( m ) 


 X real ( m ) 
2
2
DFT Ejemplo
Supongamos que se desea evaluar la DFT en 8 puntos a una señal
Senoidal con componenetes de frequencia de 1KHz and 2KHz
Supongamos que:
x ( t )  sin(2p .1000.t )  0.5 sin(2 p .2000 t  3p / 4)
Periodo de x(t) = 1/1Khz = 1/1000
8 muestras/periodo => Ts = 1/8000 sec
O sea Fs = 8000 muestras/s
t = nTs
x ( n )  sin(2p .( n / 8))  0.5 sin(2p .(2 n / 8)  3p / 4)
n = 0,1,…,7
DFT Ejemplo (Cont…)
Entonces
N 1
X (0) 
 x(n)
Componente DC
n0
7
X (1) 
 x ( n )[cos(2p n / 8) 
j sin(2p n / 8)]
n0
Etc...
Evaluando se tiene:
X(0) = 0
+j0
X(2) = 1.414 + j1.414
X(4) = 0
+j0
X(6) = 1.414 – j 1.414
(dc)
(2Khz)
(4Khz)
(6Khz)
X(1) = 0 – j 4
X(3) = 0 + j 0
X(5) = 0 + j 0
X(7) = 0 + j 4
(1KHz)
(3Khz)
(5Khz)
(7KHz)
DFT Ejemplo (Resultados)
Simetría en la DFT
Se observa que:
magnitud de X(N-m) = magnitud de X(m)
fase de
X(N-m) = fase de X(m)
O:
X(m) = complejo conjugado de X(N-m)
Conclusión: Al calcular la DFT de x(n) en N puntos, obtenemos N términos
complejos de salida pero sólo los primeros N/2 términos son independientes
Propiedades de la DFT
1) Linealidad:
si
a(n) = b(n) + c(n)
entonces A(m) = B(m) + C(m)
2) Teorema del corrimiento: :
Si
y(n) = x(n+k)
entonces Y(m) = ej2pikm/N X(m)
Transformada Inversa IDFT
Para obtener x(n) a partir de X(m)
x(n) 
1
N
N 1
 X (m )e
m 0
j 2p m n / N
Fugas en la DFT
Las salidas de DFT corresponden a las frecuencias f = mfs/N
¿Qué sucede si la entrada tiene frecuencias que no coinciden
Con esos valores
Digamos que en el ejemplo anterior se tienen frecuencias 2.3 Khz
y muestreamos 8000 M/s
Los picos detectados son = 0Kkz, 1Khz, 2Khz,…,7Khz
pero el pico 2.3 Khz no aparece!!
Este pico de frecuencia se ha “fugado” (escurrido)
Remedio
“Windowing”
Ejemplo gráfico
Dominio del
Tiempo
Dominio de la
Frecuencia
La Transformada Discreta de Fourier (DFT)
requiere el cálculo de N funciones exponenciales
para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de
cálculo enorme para N grande.
Se han desarrollado métodos que permiten
ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la
Transformada discreta, a estos métodos se les
llama
Transformada Rápida de Fourier (FFT)

En el cálculo de la transformada directa de
Fourier el número de operaciones
requeridas es proporcional a N2

En el cálculo de la transformada rápida de
Fourier (FFT) el número de operaciones
requeridas es proporcional a N(lnN)
En Resumen:





Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
continua y periódica empleamos su SERIE DE
FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
continua aperiódica empleamos la TRANSFORMADA
DE FOURIER
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
discreta y periódica empleamos la DFT
Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal
discreta aperiódica aproximamos con la DFT
La DFT se implementa con la FFT
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The Fourier Series