Capitulo II
Teoría general de las Líneas
de Transmisión.
1
Sumario:
1.
Introducción.
2.
Planteamiento y solución del problema de las líneas de
transmisión regulares.
3.
Condiciones de contorno para la función de coordenadas
transversales de amplitud compleja de los vectores de
Hertz.
4.
Distribución de campo en la superficie transversal de la
línea de transmisión.
5.
Distribución del campo a lo largo del eje de la línea de
transmisión.
2
Sumario:
6.
Longitud de onda en la línea de transmisión.
7.
Velocidad de fase y velocidad de grupo.
8.
Impedancia intrínseca transversal de la línea de
transmisión.
9.
Potencia en la superficie transversal de la línea de
transmisión.
10. Campo en una línea de transmisión real.
•
Conclusiones.
3
2.1 Introducción:
Nosotros centraremos nuestro estudio en los
elementos regulares de las líneas de
transmisión, tales como:
1.
Estructura del campo E y H en la superficie
transversal de la línea de transmisión.
2.
Distribución de los campos a lo largo de la línea de
transmisión.
3.
Parámetros de la líneas de transmisión y de las ondas
4
electromagnéticas.
2.1 Introducción:
Para desarrollar nuestro estudio resolveremos las
siguientes ecuaciones de Maxwell:
 
 
  H  jw  E  J
 

  E   jw  H
Mediante el método de los vectores de Hertz, Ze y
Zh.
5
2.1 Introducción:
Supondremos que tanto los dieléctricos como los
conductores que sean utilizados en las líneas de
transmisión serán ideales.
 d  0,
 c  .
6
2.2 Planteamiento y solución del problema de
las líneas de transmisión regulares.
Definición: Una línea de transmisión es un sistema
director de ondas electromagnéticas y se le llama
regular cuando su estructura se extiende de forma
uniforme a lo largo de un eje que es una línea recta.
Supongamos una línea regular de n contornos y vamos a
determinar el campo electromagnético en los puntos donde
no existen corrientes de conducción. Esto es:
 
J0
7
2.2 Planteamiento y solución …
Consideraremos la línea de transmisión ideal, que el
campo es armónico en la línea y para resolver el
problema utilizaremos un sistema de coordenadas
curvilíneas generalizado, (ζ, η, z), donde:
(ζ, η): representan las coordenadas transversales.
z: es la coordenada axial a lo largo de la cual la
estructura de la línea es regular.
En coordenadas cilíndricas: ζ = r y η = φ.
8
2.2 Planteamiento y solución…
Entonces resolveremos las ecuaciones de Maxwell
en zonas donde no hay fuentes de corrientes de
conducción (Jc = 0).
 



  H  jw  E
 


  E   jw  H
Bajo la condición de contorno: Eτ = 0.
9
2.2 Planteamiento y solución…
Para obtener la solución nos basaremos en los
vectores eléctrico y magnético de Hertz y su relación
con los vectores de campo eléctrico y magnético
respectivamente dadas por:


E h   jw    Z h


      Z
H
h
h


E e      Z e


  jw    Z
H
e
e
10
2.2 Planteamiento y solución…
Para determinar los vectores de Hertz resolveremos la
ecuación de propagación de la onda
electromagnética, dada por:
 Z e ,h  K Z e ,h  0
2
2
Donde Ze,h representa los vectores de Hertz eléctrico
y magnético que expresados en forma de amplitudes
complejas se representan como:



Z  S (  ,  , z ) z 0
11
2.2 Planteamiento y solución…
De aquí que la ecuación a solucionar para determinar
los vectores de Hertz sea:
 S  K S  0
2
2
Donde k es el numero de onda dado por:
K  w  
2

12
2.2 Planteamiento y solución…
Aplicando el método de separación de variables, para
resolver la ecuación anterior, obtendremos:
S ( , , z )   ( , ) g ( z )
Donde: Ψ representa el comportamiento de los vectores
de Hertz en la superficie transversal; mientras g lo hará a
lo largo de la línea de transmisión.
13
2.2 Planteamiento y solución…
Debido a la propiedad de ortogonalidad, también el
operador Laplaciano se puede expresar en separación
de variables como:
 
2
2



2
z
2
De donde sustituyendo se obtiene:
 g(z )
2
   (, )
2
z
K 
g(z )
 ( , )
2
2

14
2.2 Planteamiento y solución…
De aquí obtenemos un sistema de ecuaciones
diferenciales de segundo grado dadas por:
 g(z )
2
z
2
 ( k  K )g ( z )  0
2
2
  (, )  k  (, )  0
2

2
Estas ecuaciones son conocidas como Ecuación del
telegrafista y Ecuación de la membrana, respectivamente.
15
2.2 Planteamiento y solución…
Así, las ecuaciones que definen a los vectores del campo
electromagnético están dadas por:



E h  jw  g h ( z )[   h (  ,  )  z 0 ]


dg
(
z
)

2
h
  k g ( z ) ( ,  )z 
H
 h ( , )
h
h h
h
0
dz


dg
(
z
)

2
e
E e  k e g e ( z )  e (  ,  ) z 0 
 e ( , )
dz




H  jw  g ( z )[   (  ,  )  z ]
e
e
e
0
16
2.2 Planteamiento y solución…
Analizando estas ecuaciones, de par en par,
podemos concluir lo siguiente:
Primer par de ecuaciones: (Transversal eléctrico o campo tipo H)
1.
2.
El campo eléctrico tiene solamente componente en la dirección de
las coordenadas transversales.
El campo magnético tiene componente en la dirección transversal
y axial.
Segundo par de ecuaciones: (Transversal magnético o campo tipo E)
1.
2.
El campo eléctrico tiene componente en la dirección transversal y
axial.
El campo magnético tiene solamente componente en la dirección
de las coordenadas transversales.
17
2.2 Planteamiento y solución…
Si la constante k es igual a cero , tanto uno como el otro
campo tendrán componentes transversales solamente.
Este campo se les llama transversal electromagnético.
Ondas TEM.
18
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
Los campos en las líneas de transmisión tienen que
cumplir la condición de que la componente tangencial
del vector intensidad de campo eléctrico sea cero.
z0
n0
Si Eτ = 0, entonces:
l0
 
E  z0  0
y
 
E  l0  0
19
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
* Para un campo tipo E. Sustituyendo el vector de
intensidad de campo eléctrico por su expresión,
tendremos:
dg ( z ) 
 

k g ( z )  (  ,  )( z 0  z 0 ) 
[  (  ,  ) . z 0 ]  0
dz

dg ( z ) 
 
2
k g ( z )  (  ,  )( z 0  l0 ) 
[   (  ,  ) . l0 ]  0
dz
2
20
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
De lo anterior tendremos:
 
z0  z0  0
 
E  l0  0
 
z 0  l0  0

e
  e  l0 
l
21
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
Quedando las ecuaciones anteriores como:
k g e ( z )e ( ,  )  0
2
dg e ( z )   e
dz
l
 0
22
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
De estas condiciones nos damos cuenta que:
e  0
Nota: Si Ψe es igual a una constante y Ke es igual
a cero, el campo tipo E se convierte en un campo
tipo TEM.
23
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
* Para un campo tipo H. Sustituyendo en las condiciones
de contorno el vector de intensidad de campo eléctrico
Eh, obtendremos:



 jw  g h ([   h  z 0 ]  z 0 )  0



 jw  g h ([   h  z 0 ]  l0 )  0
24
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
Como el producto vectorial siempre es perpendicular a z0 la
primera condición se cumplirá para cualquier Ψh, por tanto
usando la segunda condición, tendremos:









([    z 0 ]  l0 )  (    [ z 0  l0 ])     n 0 
0

Por tanto, para un campo tipo H la condición de contorno
será:


0
25
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh
Nota: de lo anteriormente expuesto se deduce que para
una onda TEM debe cumplirse que la constante kTEM = 0.
Esto implica que las constantes Ke y Kh sean kTEM = 0 y
por consiguiente las condiciones de contorno para las
ondas TEM se obtendrán cuando Ψe = Ψh = constante.
De aquí que las condiciones de contorno par alas ondas
tipo TEM sea:
 TEM  CTE
26
2.4 Distribución de campo en la superficie
transversal de la línea de transmisión.
Como es de notar el campo en la superficie transversal
depende de la función Ψe,h,TEM, por lo que para analizar el
campo en la superficie transversal debemos obtener las
posibles soluciones de la siguiente ecuación diferencial:
  e ,h  k  e ,h  0
2
2
Donde para ondas tipo E y H debe cumplirse:
e  0
y
 h

 0.
27
2.4 Distribución de campo…
NOTA 1: El cumplimiento de las condiciones anteriores
implica, que la ecuación diferencial tiene solución
solamente para valores positivos y discretos de k, donde
a cada valor de k le corresponde una función Ψ, y a esta
una estructura de campo diferente. Por esto, en cualquier
línea de transmisión regular puede existir un número
infinito de campos E y H, los cuales se diferencian entre
sí por su estructura en la superficie transversal.
28
2.4 Distribución de campo…
NOTA 2: Para el tipo de campo TEM, ΨTEM la estructura
del campo dependerá del número de contornos o
conductores existentes en la línea de transmisión. Así, la
ecuación de solución tendrá un número de soluciones
igual a p-1 soluciones, donde p es el número de
contornos del problema. En el caso particular de líneas
de transmisión con un solo conductor, la ecuación no
tiene solución, lo cual implica que una onda TEM no
puede propagarse bajo este tipo de condiciones, por
ejemplo en guía de ondas.
29
2.5 Distribución de campo a lo largo del eje de
la línea de transmisión.
Como hemos mencionado, el comportamiento a lo largo
del eje z. Por tanto, hay que obtener las soluciones a la
ecuación diferencial:
 g(z )
2
z
2
 ( k  K )g ( z )  0
2
2
Para esto denominemos una constante Γ como constante
de propagación, la cual se define por:
 k K
2
2
2
30
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Donde Γ es una constante compleja que puede definirse
en función de la atenuación de la línea de transmisión (α)
y de la fase que introduce la línea (β).
 g(z )
2
z
2
  g(z )  0
2
La solución a esta ecuación diferencial es de la forma:
g ( z )  A exp(   z )  B exp(  z )
31
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Multiplicando la ecuación por el termino exp(jwt),
obtenemos:
g ( z , t )  A exp(   z ) cos( wt   z )  B exp(  z ) cos( wt   z )
Las dos componentes de g(z) son denominadas onda
directa y onda reflejada, respectivamente.
32
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Partiendo que la línea de transmisión es ideal podemos
decir que Γ es una magnitud que pude ser, real,
imaginaria o cero.
Caso 1: K > k. Γ es una magnitud imaginaria pura, de
donde concluimos que α=0. Tomando la solución la
siguiente forma:
g ( z , t )  A cos( wt   z )
Esta ecuación describe una onda progresiva sin atenuación,
la cual es capaz de propagarse en la línea de transmisión y
transportar energía.
33
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Caso 2: K < k. Γ es una magnitud real, de donde
concluimos que β = 0. Tomando la solución la siguiente
forma:
g ( z , t )  A exp(   z ) cos( wt   z )
Esta ecuación describe un campo estacionario que se atenúa
exponencialmente con el crecimiento de z. Por tanto, este
campo no es capaz de propagarse ni de transportar energía.
34
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Caso 3: K = k. Γ será cero, por tanto α=β=0. Tomando la
solución la siguiente forma:
g ( z , t )  A cos( wt )
Esta ecuación describe el paso de un campo estacionario a
una onda progresiva y viceversa.
35
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Nota: Para que ocurra alguno de los casos anteriormente
expuesto es necesario que la frecuencia de la onda a
propagarse por la línea de transmisión varié alrededor de
una frecuencia que será la que determine la condición K=k.
Esta frecuencia la llamaremos frecuencia critica wcr, donde
la constante k estará determinada por:
k  w cr
 
2
 cr
De aquí que k sea una valor intrínseco critico y la
propagación de la energía se obtiene cuando se
cumple que: w > wcr ó λcr > λ.
36
2.5 Distribución de campo a lo largo…
Nota: Cada campo tipo E o H tiene su wcr, además como la
kTEM=0, la frecuencia critica para este tipo de campo es
wTEM=0, por lo que cualquier frecuencia, e inclusive para
corriente directa en una línea de transmisión de mas de un
conductor, se puede propagar una onda TEM.
Nota: Cada campo tipo E, H o tipo TEM, que corresponda
a una frecuencia critica determinada, le llamaremos modo
de propagación. De aquí que al modo de menor
frecuencia critica o la mayor longitud de onda critica le
denominaremos modo dominante.
37
2.5 Distribución de campo a lo largo…
En la practica la energía por una línea de transmisión se
traslada en el modo dominante y los restantes modos se
hacen estacionarios. Esto se logra bajo las siguientes
condiciones:
w cr 1  w  w cr 2
 cr 1     cr 2
38
2.6 Longitud de onda en la línea de
transmisión.
Definición: La longitud de onda en una línea de transmisión
χ, es la mínima distancia entre dos puntos del eje de la
línea de transmisión Δz=zb-za, cuyas fases se diferencian
entre sí en 2π.
a
b
z
Δz
De aquí:
   a   b  wt   z a  wt   z b    z
39
2.6 Longitud de onda en la línea...
Como Δz=χ, entonces:
2
 

Teniendo en cuenta que para una onda propagada:

K k
2
2

2

  

1  

  cr 
2
40
2.6 Longitud de onda en la línea…
Entonces:

 
  

1  


 cr 
2
Para ondas progresivas tipo E y H
   cr
y
 cr  
Por tanto:
 e ,h  
41
2.6 Longitud de onda en la línea…
Para ondas tipo TEM, teniendo en cuenta que λTEM=∞,
tendremos que χTEM=λ. Lo cual se representa gráficamente
como:
Χe,h
ΧTEM
λcr
λ
42
2.6 Longitud de onda en la línea…
Para ondas tipo E, nosotros conocemos que estas tienen
componentes transversal y axial del E, además de
componente transversal de H. Esto implica que el vector de
Pointing (S) tenga una inclinación hacia la pared de la línea
de transmisión, según se muestra en la figura.
b’
Et
λ
Ee
a
Ht
S
Ez
Vf
b
z
χ



Ee  Et  Ez



S  Ee  H e
43
2.6 Longitud de onda en la línea…
Nota: Como la fase de los puntos b y b’ es la misma, o sea la
distancia entre ambos puntos es una longitud de onda
correspondiente a la fase del frente de ondas que se propaga en
la linea de transmisión, vemos que se forma un triangulo entre
los puntos abb’, donde la hipotenusa se corresponde a la
distancia minima de puntos con igual fase (longitud de onda en
la linea de transmisión). Por tanto, para ondas tipo E y H se
cumple:
 e ,h  
Para ondas tipo TEM, como hay componentes de campo en
la dirección axial, el vector de Pointing estará dirigido en la
dirección de eje z, coincidiendo la longitud de onda de la
línea de transmisión con la longitud de onda de la
información.
44
2.7 Velocidad de fase y de grupo
En las líneas de transmisión la velocidad de propagación
de la energía es una función de la frecuencia. En particular
este fenómeno ocurre en ondas tipo E y H. Este fenómeno
es denominado dispersión de ondas, el cual no ocurre en
ondas TEM. La velocidad de la fase de la onda se puede
calcular como:
w
Vf 

Donde β esta dado por:
  w
 w cr 
 1  

 w 
2
45
2.7 Velocidad de fase y de grupo
Sustituyendo en la expresión el valor de Vf, obtendremos:
Vf 
1

1
 w cr 
1

 w 
2

c
 w cr 
1

 w 
2
Nota 1: En ondas tipo E y H, donde wcr es desigual de
cero, la velocidad de fase depende de la frecuencia,
esto trae como consecuencia que exista en estos tipos
de ondas, dispersión de la señal que se transmite.
46
2.7 Velocidad de fase y de grupo
La distorsión de la señal esta caracterizada por un parámetro
denominado factor de distorsión (δ) y se calcula:
3
L  Vf    f 


 

  c   f 
2
Donde: L es la longitud de la línea de transmisión y Δf es
el ancho de banda del espectro de la señal.
47
2.7 Velocidad de fase y de grupo
Nota 2: En la expresión para la velocidad de fase también
observamos que en ondas TEM, donde wcr es igual a cero,
no ocurre dispersión de ondas.
Nota 3: También se destaca en esa expresión, que para
ondas tipo E y H, la velocidad de fase es mayor que la
velocidad de la luz, mientras que para las ondas TEM son
iguales.
48
2.7 Velocidad de fase y de grupo
Lo anterior no implica una contradicción con los postulados
de la teoría especial de la relatividad. Este resultado implica
que la propagación de ondas a determinadas frecuencias en
un medio puede ser favorecida ante la propagación de la luz
en ese medio en particular. Por otro lado, la velocidad de fase
no es la velocidad e propagación de la energía en el medio,
sino que se introduce un concepto de paquete de onda, el
cual viaja a una velocidad denominada velocidad de grupo.
Esta velocidad se expresa como:
Vg 
1

w
49
2.7 Velocidad de fase y de grupo
De lo anterior podemos encontrar una expresión para la
velocidad de grupo en función de la frecuencia dada por:
  

V g  c 1  


 cr 
2
Nota 1: De esta expresión vemos que para ondas tipo E y
H; Vg=f(w)=F(λ) y además que la velocidad de grupo es
menor que la velocidad de la luz, lo cual trae como
consecuencia que la velocidad de propagación de la
energía sea la velocidad de grupo, si y solo si el medio es
isótropo y homogéneo.
50
2.7 Velocidad de fase y de grupo
Nota 2: Para ondas tipo TEM, la velocidad de grupo es
igual a la velocidad de la luz en el vacio.
Vg(λ)
VgTEM
c
Vge,h
λ
51
2.8 Impedancia intrínseca transversal en una
línea de transmisión.
Definición: La impedancia intrínseca de cualquier medio es la
relación que existe entre las componentes de los campos eléctrico
y magnético que se encuentran en la plano perpendicular a la
dirección de propagación de la energía. De aquí podemos concluir
que:
1. En el espacio libre la onda que transporta energía es una
onda tipo TEM, lo que hace que la impedancia intrínseca
venga dada por la relación entre el campo eléctrico y
magnético total.
2. En el caso de líneas de transmisión, para modos tipo E y H,
los campos eléctricos y magnéticos tienen componentes en
la dirección de propagación, por tanto hay que hablar de
una impedancia intrínseca transversal.
52
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
La impedancia intrínseca estará dada por la siguiente relación:
Z 
E
H
En onda tipo TEM se calculará como:
Z TEM 
E TEM
H TEM



53
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
Para campo tipo H tenemos que:



E h   jw  g h ( z )[   h (  ,  )  z 0 ]

dg h ( z ) 
Hh 
 h ( , )
dz
De aquí que la impedancia transversal intrínseca sea:
Z h 
E h
H h

w g h
j
g h
z
54
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
Para campo tipo E tenemos que:

g e 
E e 
  e
z



H e   jw  g e   e  z 0 
De aquí que la impedancia transversal intrínseca sea:
Z e 
E e
H e
j

g e
z
w g e
55
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
Teniendo en cuenta que:
g e , h  A exp   e , h z 
Y sabiendo que para ondas progresivas: ɣe,h=jβe,h entonces
la derivada de ge,h será:
 g e ,h
z


  j  e , h A exp  j  e , h z   j  e , h g

e ,h
56
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
Sustituyendo en las expresiones de la impedancia
intrínseca obtenemos:
Z

h

w
Z
h

e

e
w
Ahora sustituyendo el valor de βe,h obtenemos:

Z

h
 

  

1  


 cr 
2
Z

e
 


  

1  


 cr 
2
57
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
De estas expresiones vemos lo siguiente:
1. Para las ondas progresivas λ>λcr , por lo que ZT será una
magnitud real. Para las ondas directas ZT > 0 y para las
ondas reflejadas ZT<0.
2. Para los campos estacionarios λ>λcr , por lo que ZT será
una magnitud imaginaria pura. Esto quiere decir que
entre E y H existe una defasaje de 90° o de 90°+nπ,
donde n=0,1,2,…
3. Tenemos que ZhT >(μ/ε)1/2, ZeT<(μ/ε)1/2, y ZTEM=(μ/ε)1/2.
58
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
ZT
ZhT
ZTEM
(μ/ε)1/2
ZeT
λcr
λ
59
2.9 Potencia en la superficie transversal de la
línea de transmisión.
ST
πmed
z0
z
60
2.9 Potencia en la superficie transversal…
Teniendo en cuenta que la energía es transportada en la
dirección perpendicular a la superficie transversal y que
la densidad de potencia media sobre dicha superficie es
dad por el vector de Poyting promedio , entonces es
necesario calcular el vector de Poyting promedio en un
periodo e integrarlo en la superficie transversal. Para
esto definamos:


d S  dS z 0
Donde Z0 es un vector unitario en la dirección de
propagación de la energía.
61
2.9 Potencia en la superficie transversal…
Como el vector de Poyting promedio es igual a:






  

1
1
 z
 med  Re E   H   Re E  H

0
2
2
Integrando el vector de Poyting promedio en la superficie
tenemos:
PS 

 Re 
 S 
2
1






E  H  z 0  d S 

62
2.9 Potencia en la superficie transversal…
Como los vectores E y H están en fase en una onda
progresiva, tenemos que:
PS  
PS  
1
2
Z
H
2

ds
S
1
2Z 
E
2

ds
S
En el caso de ondas estacionarias, el producto de E y H es
una magnitud imaginaria pura, y Ps es igual a cero:
63
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Hasta el momento hemos analizado solamente las líneas de
transmisión ideales donde las conductancias del dieléctrico y
del conductor son cero e infinita, respectivamente. Esto
permite obtener una estructura de campo que es idéntica a
las líneas de transmisión reales; sin embargo, en lo que
concierne a la energía no es valido, ya que las líneas reales
existen perdidas energéticas por efecto Joule debido a que
en el dieléctrico existen corrientes de conducción y el
campo penetrará en el otro conductor.
64
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
En este caso la permitividad dieléctrica se hace compleja,
pues para las ondas TEM, la velocidad de fase y la de grupo
van a depender de la frecuencia trayendo consigo el
fenómeno de dispersión y por ende el fenómeno de
distorsión, también se tiene en este caso que la impedancia
intrínseca en la línea de transmisión en condiciones de
ondas progresivas sería compleja, lo que quiere decir que en
la línea de transmisión existiría un parte de la energía
reactiva que no se trasladaría. Por suerte, ambos problemas
son despreciables y solo es importante las perdidas
energéticas debidas al dieléctrico y al conductor.
65
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Como hemos indicado para líneas de transmisión reales
σd≠ 0 y σc ≠ ∞. En este caso qtenemos que las condiciones
de propagacion la constante de atenuacion α≠0; por tanto
el campo se atenuará según la ley exponencial E=E0exp(αz) y como la potencia es proporcional al cuadrado de la
intensidad de campo tendremos que la potencia se
atenuará según la ley P=P0exp(-2αz), de donde:
dP
dz
  2  P 0 exp  2  z    2  P
66
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
De aquí tenemos que:
 
1 dP
2 P dz
En esta expresión P=PsT y dP es la disminución de potencia
en la longitud dz de la línea de transmisión; por esto
dP=dPperd que es la potencia perdida en la longitud dz de la
línea. Por tanto:
dP perd  dP c perd  dP d perd
67
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
De aquí que:
 
1
dP c perd  dP d perd
2 PS 
dz
 c  d
Donde: αes la constante de atenuación debido a las perdidas
en el dieléctrico y en el conductor.
Para hallar αc y αd veamos la siguiente figura:
n0
dσ
dl
dz
68
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
De aquí que:



d   d  n 0  dldz n 0
Como la potencia se pierde en las paredes del conductor,
debemos calcular el vector de Poyting promedio que penetra
en el conductor para integrarlo en la superficie.
dP c perd 

 S la t


 med  d 
69
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
El vector de Poyting promedio está dado en la dirección
normal a la superficie ΔSlat y es igual a:
 med 
1
2



Re E   H 

Donde E y H son las componentes tangenciales de los
vectores E y H en la superficie del conductor. En este caso
E esta determinado por las condiciones de contorno de
Leontovich, ya que el conductor ni el dieléctrico son
ideales.
70
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
De aquí que:

E 
Sabemos además que:

c
   

exp  j  H   n 0
 4








E  ZS H   n0


Donde Zs es la impedancia intrínseca de la superficie lateral
ΔS
71
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
De aquí que:

ZS 

c
 
exp  j 
 4
Y en este caso:

1


 med  Re Z S n 0 H 
2
Donde:
Re Z S  R S 

c
2

RS
2

cos   
4
H
2

n0

2 c
72
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Sustituyendo dPcperd tenemos que:
dz
dP C perd 
 
Rs
L
0
2
2
H  dl dz
Y como en los limites de dz, Hτ = const, tenemos que:
dP C perd 
Rs
2
dz

L
2
H  dl
73
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Sustituyendo en la ecuación de αc tenemos:
C 
RS
2 T

L

S
2
H  dl
2
H  dS
De la expresión para la atenuación del conductor podemos
ver que: αc aumenta si μ aumenta y σc disminuye. Por esta
razón las líneas se hacen de metales no magnetizados que
tengan una gran conductividad.
74
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Metales
Conductividad(107 Ω/m)
Aluminio
3.54
Cobre
5.65
Oro (puro)
4.10
Plata
6.15
Níquel
1.28
75
2.10 Campo en una línea de transmisión real.
Calculemos ahora αd considerando αc=∞:
De la expresión para la atenuación del conductor podemos
ver que: αc aumenta si μ aumenta y σc disminuye. Por esta
razón las líneas se hacen de metales no magnetizados que
tengan una gran conductividad.
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Capitulo I: Teoría general de las Líneas de Transmisión.