FRACCIONES
Fracciones Comunes
Una fracción común representa partes
iguales de un entero. Consiste de dos
números y una barra fraccionaria, y se
escribe de esta forma

Numerador
Denominado r
Regla 1
Cuando el denominador es 1, la
fracción es igual al número del
numerador.
Regla 2: Multiplicar
 a  c  ac
   
 b  d  bd
Ejemplo:
 2  4  8
   
 3  5  15
Regla 3: División
 b  ad

c
 d  bc
a
Ejemplo:
2
3
4
5
25 10


43 12
Regla 4: Suma
a
b

c
d

ad  bc
bd
Ejemplo:
25  43
2
 

35
3 5
15
2
4
Ejercicio: Realice la operación
que se le pide.
(a)
(b)
11

7
7
4
8
2
15

7
 15  4 
(c) 
 
 21  7 
(d)
9

7
11
4
 4  20 
(e) 


 31  7 
(f)
5
6

3
7
NOTACION CIENTIFICA

Cualquier número positivo puede
escribirse en notación científica,
C x 10m, donde 1≤c<10 y m es un
entero.

Esta notación proporciona una manera
de trabajar con números muy grandes
y números muy pequeños.
Ejemplo
1.
La rapidez de la luz es de
aproximadamente 300 000 000 m/s.
2. El punto de la en un libro tiene una
masa de aproximadamente
0.000 000 001 kg.
El problema se evita al usar un
método que incorpora potencias del
número 10:
100=1
101=10
102=10x10=100
103=10x10x10=1000
104=10x10x10x10=10000
105=10x10x10x10x10=100000
La rapidez de la luz es de
aproximadamente 300 000 000 m/s.
3 x 108 m/s
Los
números
representativos
menores que la unidad son los
siguientes:
10
1

1
 0.1
10
10
2

1
 0.01
10 x10
10
3

1
 0.001
10 x10 x10
10
4

1
10 x10 x10 x10
 0.0001
Otros ejemplos:
El punto de la en un libro tiene una
masa de aproximadamente
0.000 000 001 kg.
1 x 10-9
Por ejemplo, la distancia entre la Tierra
y el Sol es de alrededor de 93,000,000
millas. En notación científica
93,000,000 millas = 9.3 x 107 millas
La masa de una molécula de oxígeno
es de alrededor de
0.000 000 000 000 000 000 000 053
gramos

En notación científica:
5.3 x 10-23g
Convierte a notación
científica o viceversa
a) 2.375 x 108
e) 3.98 x 10-8
b) 0.000000349
f) 0.000489
c) 7.36 x 10-5
g) 8.64 x 104
d) 9816762.5
h) 0.0357
REGLA DE TRES
La regla de tres es una forma de
resolución
de
problemas
de
proporcionalidad entre tres o más
valores conocidos y una incógnita.
Regla de tres
Directa
Inversa
Mixta
REGLA DE TRES SIMPLE
DIRECTA
A B
X Y
Y 
 X B 
A
A B
Y 
X Y

 X B 
A
Si necesito 2 litros de leche para el
desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros
de leche se necesita para 15?
82
15  Y
Y 
152
8

30
8
 3.75
A B
Y 
X Y
 X B 
A
De los 800 alumnos de un colegio, han ido
de viaje 600 . ¿Qué porcentaje de alumnos
ha ido de viaje?
800  100%
600  Y
Y 
600100%
800
 75%
REGLA DE TRES SIMPLE
INVERSA
A B
X Y
Y 
 AB 
X
A B
Y 
X Y

 AB 
X
si 8 trabajadores realizan todo su
trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán
3 trabajadores en realizar la misma
cantidad de trabajo?
8  10
3Y
Y 
810
3
 26.67
A B
Y 
X Y
 AB 
X
Dos ruedas están unidas por una correa
transmisora. La primera tiene un radio
de 25 cm y la segunda de 75 cm.
Cuando la primera ha dado 300
vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la
segunda?
25  300
75  Y
Y 
25300
75
 100
REGLA DE TRES SIMPLE
MIXTA
A B C
X Y  Z
Relación directa
AC 
AZ
 X 
X  Z
C
Relación inversa
A B
AB
 X 
X Y
Y
Relación mixta
X 
ABZ
CY
Ejemplo
Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de
pintura se han pintado 90 m de reja de 80
cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg
de pintura serán necesarios para pintar una
reja similar de 120 cm de altura y 200
metros de longitud.
Información
Botes Capacidad (kg) Longitud (m) Altura (cm)
12
½
90
80
x
2
200
120
Información
Botes Capacidad (kg) Longitud (m) Altura (cm)
12
½
90
80
x
2
200
120
Botes Capacidad
(kg)
12
0.5
x
2
Longitud
(m)
90
Altura
(m)
0.8
Area
(m2)
72
200
1.2
240
A B
AB
 X 
X Y
Y
Botes
12
X
Capacidad (kg)
0.5
2
Area (m2)
72
240
Relación Inversa
x
12botes 0.5kg 
2kg
AC 
AZ
 X 
X  Z
C
Botes
12
X
Capacidad (kg)
0.5
2
Area (m2)
72
240
Relación Directa
x
12botes240m
72m
2
2

x
12botes 0.5kg 
x
12botes240m 2 
72m
2kg
12botes0.5kg 240m
x
2
2kg 72m 
2
2
  10botes
Ejemplo
11
obreros
labran
un
campo
rectangular de 220 m de largo y 48 de
ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros
serán necesarios para labrar otro
campo análogo de 300 m de largo por
56 m de ancho en cinco días?
Información
Obreros
Largo (m)
Ancho (m)
Días
11
220
48
6
x
300
56
5
Información
Obreros Largo (m) Ancho (m) Días Area (m2)
11
220
48
6
10560
x
300
56
5
16800
A B
AB
 X 
X Y
Y
Obreros
11
X
Días
6
5
Area (m2)
10560
16800
Relación Inversa
x
11obreros 6días 
5días
AC 
AZ
 X 
X  Z
C
Obreros
11
X
Días
6
5
Area (m2)
10560
16800
Relación Directa
x
11obreros 16800m
10560m
2
2

x
11obreros 6días 
5días
x
11obreros 16800m 2 
11obreros 6días 16800m
x
2
5días 10560m 
10560m
2
2
  21obreros
RESUELVE
Ejercicio 1
Un coche de Mérida a Valladolid tarda
3 horas a una velocidad de 80
kilómetros por hora. ¿Cuántas horas
tardará a una velocidad de 120 km por
hora?
Ejercicio 2

Calcula la masa de 65 cm3 de
mercurio. Considera que éste presenta
una densidad de 13.6 g/cm3
Ejercicio 3
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar
un depósito de 400 m³ de capacidad.
¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos
en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada
uno?
Ejercicio 4

Un estudiante necesita 15.0 g de
etanol (alcohol etílico) para un
experimento. Si la densidad del alcohol
es de 0.789 g/ml, ¿Cuántos mililitros
de alcohol necesita?
Ejercicio 5
Leyendo 20 páginas cada día terminé
un libro en 33 días. ¿Cuántos días
tardaré leyendo 30 páginas diarias?
PROPORCIONES
Proporción es una igualdad entre
dos razones.
Donde…
Razón es el cociente entre dos
números o dos cantidades
comparables entre sí, expresado
como fracción.
a

Antecedent e
b

Consecuent e
Ejemplo
Un abuelo reparte 4 0 pesos entre sus
tres nietos de 8, 12 y 16 años de
edad; proporcionalmente a sus
edades. ¿Cuánto corresponde a cada
uno?
x
y


z
8
12
16
x
y
z


8
12
x
450

8
y
8  12  16
x
36

450
12
36
z
450
16
16

x yz

36

450
36
8450 
 100
36
y
12450 
 150
36
z
16450 
36
 200
Ejemplo
Se asocian tres individuos aportando
5000, 7500 y 9000 pesos. Al cabo de
un año han ganado 6450 pesos. ¿Qué
cantidad corresponde a cada uno si
hacen
un
reparto
directamente
proporcional a los capitales aportados?
x

y

z
5000
7500
9000
x
y
z

5000
x

7500

6450
5000
21500
y
6450

7500
21500
z
6450
9000

21500

9000
x
x yz
5000  7500  9000
50006450

 1500
21500
x
75006450
 2250
21500
z
90006450
21500
 2700
6450
21500
Resuelve
Se reparte una cantidad de dinero,
entre tres personas, directamente
proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que
a la segunda le corresponde 735
pesos. Hallar lo que le corresponde a
la primera y tercera.
UNIDADES DE
MEDICION
MATERIA
PROPIEDADES CUANTITATIVAS
Mediciones científicas
UNIDADES SI
Unidades SI fundamentales
CANTIDAD FISICA
NOMBRE DE
LA UNIDAD
Masa
Kilogramo
Longitud
Metro
Tiempo
Segundo
Corriente eléctrica Ampere
Temperatura
Kelvin
Intensidad luminosa Candela
ABREVIATURA
Cantidad de masa
mol
Mol
kg
m
s
A
K
cd
MASA
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
1 kg = 2.2046 lb
1 lb = 0.45359 kg
Cont… MASA
1 lb = 16 onzas
1 uma = 1.6605402x10-24g
Ejemplo

Si una mujer tiene una masa de 115 lb, ¿qué
masa tiene en gramos?
x
1lb

453.6 g
115lb

x
(115lb )( 453.6 g )
1lb
 5.22 x10 g
4
Ejercicio

La dosis recomendada para adultos de
elixofilina, un fármaco empleado para
el tratamiento de asma, es de 6 mg/kg
de masa corporal. Calcule la dosis en
miligramos para una persona de 150
lb.
VOLUMEN
1L = 10-3 m3
= 1 dm3
= 103 cm3
= 1.0567 qt
= 1000 mL
Cont… VOLUMEN
1 gal = 4qt
= 3.7854 L
1 cm3 = 1 mL
1 pulg3 = 16.4 cm3
Ejemplo

Convierta 4.95 qt a mL
x
1L
 1.0567 qt
x

4.95qt
1L 4.95qt 
1.0567qt
 4.6844 L
z
1L
 1000mL
4.6844 L

z
4.684 L 1000mL
1L
 4684mL
Ejemplo

Una persona ordinaria tiene alrededor
de 200 mg de colesterol en 100 mL de
su sangre. Si el volumen total de
sangre en una persona es de 5.0 L,
¿Cuántos gramos de colesterol total
contiene la sangre de ese individuo?
Ejemplo

Calcule la masa en gramos de 1.00
galones de agua. La densidad del agua
es de 1.00 g/mL.
PRESION
1 Pa =
=
1 atm =
=
1 N/m2
1 kg/m-s2
101.325 Pa
760 torr
= 14.70 lb/pulg2
1 bar = 105 Pa
TEMPERATURA
0 K = -273.15ºC
= -459.67ºF
K  C  273.15


C
5
9

F
9
5
 F  32

 C   32

Ejemplo

Si un pronosticador del tiempo predice
que durante el día la temperatura
alcanzará 31ºC, calcule la temperatura
predicha (a) en K; (b) en ºF.
(a) en K
K  31  273.15  304.15K
(b) en ºF

F
9
5
31  32  56  32  88º F
Ejercicio

El etilenglicol, principal ingrediente de
los anticongelantes, se congela a 11.5ºC. Calcule el punto de
congelación en (a) K; (b) ºF.
DOSIFICACION
Por peso

Un doctor ordena tomar 200 mg de
Rocepin a un infante de 15.4 lb cada 8
horas. La etiqueta del medicamento
muestra que 75-150 mg/kg por día es
el rango de la dosis apropiada. ¿Se
encuentra la orden del doctor dentro
del rango apropiado?
Información.
Infante: 15.4 lb. Ordenado:200mg/8h.
Etiqueta:75-150mg/kg x día
1lb

0.45359kg
15.4lb

x
x
15.4lb 0.45359kg 
1lb
 6.985kg
Información.
Infante: 15.4 lb (7kg).
Ordenado:200mg/8h.
Etiqueta:75-150mg/kg x día
(7 kg)( 75mg / kg)  525mg
7kg (150mg / kg)  1050mg
200mg 3 veces al día   600mg al día
Ejemplo
Se ordenó 1.5mg/kg de solumedrol a
un niño con peso de 74.8 lb.
Solumedrol se encuentra disponible en
125mg/2mL. ¿Cuántos mL le debe
proporcionar la enfermera?
Información.
Niño: 74.8lb
Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml
1lb

0.45359kg
74.8lb

x
x
74.8lb 0.45359kg 
1lb
 33.928kg
Información.
Niño: 74.8lb (34kg)
Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml
34kg 1.5mg / kg   51mg
125mg

2ml
51mg

z
z
51mg 2ml 
25mg
 0.816ml  0.82ml
Masa-Masa
Ejemplo
Se ordenó 25 mg de Metroprolol.
Metroprolol está disponible en tabletas
de 50mg. ¿Cuántas tabletas debe la
enfermera suministrar?
1 tableta
-
50 mg
x
-
25 mg
x
(1 tableta)( 25 mg)
50 mg
 0.5tabletas
x
(1 tableta)( 25 mg)
50 mg
x
Ordenado
Disponible
 0.5tabletas
Ejemplo
El cloruro de potasio se encuentra
disponible en tabletas de 10 mg. Se
ordenó, 40 mg de cloruro de potasio.
¿Cuántas tabletas debe administrar la
enfermera?
Ordenado
Disponible
x
40 mg
10 mg
Masa/líquido para
líquidos
Dada una cantidad de masa por líquido,
¿Cuánto líquido se requiere?
 Ordenado

 Disponible

Vol que se tiene   líquido requerido

Ejemplo

Se ordena suministrar 0.1g de
Dilantin. Éste se encuentra disponible
como 30mg/5mL. ¿Cuánto se debe
administrar?
 Ordenado

 Disponible
DATOS

Vol que se tiene   líquido requerido

1g

1000mg
0.1g

x
Ordenado:
0.1g
Disponible:
x
0.1g 1000mg 
 100mg
1g
30mg/5ml
 100mg 

5mL  16.7 mL
30mg
Ejemplo
Si se ordena 40 mg de Lasix y éste se
encuentra disponible en presentación
de 80 mg/mL, ¿Cuánto se debe
suministra?
 Ordenado

 Disponible

Vol que se tiene   líquido requerido

DATOS
Ordenado:
40mg
Disponible:
80mg/ml
 40mg 

1mL  0.5mL
 80mg 
PORCENTAJE
Ejemplo
En un colegio, el 78% de 250 alumnos
estudian francés como segundo idioma.
¿Cuántos alumnos estudian francés?
250

100%
x

78%
x
25078% 
100%
Ejemplo
La población de una ciudad aumentó de
1.078.145 a 1.192.932 habitantes,
según el censo realizado entre los
años 2004 y 2005.
¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento
de la población entre las dos fechas?
1.192.932- 1.078.145=114787
1078145
 100%
114787

x
x
114787100% 
1078145
 10.65%
EXPRESION ALGEBRAICA
EXPRESION ALGEBRAICA

Se utiliza para representar una
constante, una variable o una
combinación de variables y constantes
que implican un número finito de
operaciones indicadas.
Monomio

Un monomio en una variable es el producto
de una constante por una variable elevada a
una potencia entera no negativa. De este
modo, un monomio tiene forma.
ax
k
Donde a es una constante, x una variable y k ≥
0 un número entero. La constante a es el
coeficiente del monomio. Si a≠0, entonces k es
el grado del monomio.
Ejemplo:
MONOMIO
6x
2
 2x
3
-5x
x
4
3
COEFICIENTE
GRADO
6
2
3
0
1
4
 2
3
-5
1
Dos monomios axk y bxk del mismo
grado y con la misma variable son
términos semejantes.
Al sumar o restar estos monomios, los
podemos combinar en un único
monomio mediante la propiedad
distributiva.
Ejemplo:
2 x  5 x  2  5x  7 x
2
2
2
2
8 x  5 x  (8  5) x  3x
3
3
3
3


La suma o la resta de dos monomios
con grados distintos es un binomio.
La suma o la resta de tres monomios
con grados distintos es un trinomio.
Ejemplo
x  2 es un binomio
2
x  3x  5 es un trinomi o
3
2 x  5 x  2  7 x  2 es un binomio
2
2
2
POLINOMIO
Un polinomio en una variable es una
expresión algebraica de la forma
anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+…+ a1x+a0
donde an, an-1, an-2, …, a1, a0 son constantes,
llamadas coeficientes de un polinomio, n0
es un entero y x una variable. Si an0, se le
llama coeficiente principal del polinomio y n
es el grado del polinomio.
Los monomios que conforman a un
polinomio son sus términos
Ejemplo
Término
Término
x  4 x  14 x  6 x  6
4
Término
3
2
Término
Término
Ejemplo
P O L IN O M IO
C O E F IC IE N T E
GRADO
3,0,-5
2
8 -2x + x = 1 * x -2x + 8
1 ,-2,8
2
5x +  = 5x + 
5 ,
1
3
0
0
S in grado
2
2
3 x -5= 3x + 0 * x + (-5 )
2
2
1
3= 3 * 1= 3 * x
0
0
EXPONENTES
Exponente,
término utilizado en
matemáticas para indicar el número de
veces que una cantidad se ha de
multiplicar por sí misma.

Un exponente se escribe normalmente
como un pequeño número o letra en la
parte superior derecha de la
expresión.
Ejemplo:
 x2
 (x+y)3
Por lo tanto…
n
a
denota
el producto a.a.a…a
(n factores)
Leyes de los exponentes:
a (a )  a
m
a
m
a
n
n
a
mn
mn
a 1
0
(a )  a
m
n
mn
Ejemplo
n
x x x
2
4
2 4
x
7 8
w
w w w
7
  a
a a
8
m
n m
6
15
Ejemplo
x
8
x
2
z
14
z
8
x
8 2
z
a
m
a
n
x
148
a
6
z
6
mn
Ejemplo
a 1
0
x 1
0
k 1
0
a 
Ejemplo
x 
3 8
w 
9 4
m n
x
38
94
w
x
a
24
w
36
mn
( ab)  a  b
m
m
m
m
m
a
a
   m
b
b
a
m

1
a
a
 
b
m
m
b
 
a
m
Ejemplo
ab
m
wt 
8
xyz
4
 w t
8
 a b
8
 x y z
4
4
m
4
m
m
m
a
a
   m
b
b
Ejemplo
5
x
x
   5
y
 y
3
5
3
w
 w
   3
r
r 
Ejemplo
a
m

1
a
x
7

1
x
w
2

7
1
w
2
m
Ejemplo
r
 
t
z
 
g
a
 
b
3
9
t
 
r
g
 
z
m
3
9
b
 
a
m
Ejercicio: Simplifica cada expresión.
3 2
a) ( m )
m
b) 6 y
4
2
3
2y
 3m 6
c) 
 34
 y
5




2
1
2
d)
7
2
3
m (m
e) 60
3
1
3
 2m )
ECUACIONES LINEALES
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad de
dos expresiones algebraicas, cada
una de ellas escrita a los lados del
signo igual.
ECUACION
7 x  5  12  3x
La expresión que se escribe a la izquierda
de la igualdad recibe el nombre de
“primer miembro de la ecuación”, y la
expresión de la derecha “segundo
miembro”.
PRIMER MIEMBRO
SEGUNDO MIEMBRO
7 x  5  12  3x
Los términos que llevan x se denominan
“términos en x” y aquellos que no van
multiplicando a la x se llaman términos
independientes.
Términos en x
7 x  5  12  3x
Términos independientes
Definición de una
ecuación lineal

Una ecuación lineal en la variable x es una
ecuación de la forma
ax  b  0
donde a y b son números reales y a≠0
Resolver una ecuación consiste en
encontrar un valor para la incógnita
que al sustituirlo en la ecuación haga
que la igualdad se cumpla.
Por lo tanto…
TEOREMA
La ecuación lineal ax+b=0 (donde a≠0)
tiene exactamente una solución,

b
a
Resuelve: 7 x  5  12  3x
7 x  3 x  12  5
10 x  7
x
7
10
Ejemplo: Resuelva la ecuación
5x  2 x 11  2  x  8
3 x  11  x  6
3 x  11  x  6
3 x  x  6  11
2x  5
x
5
2
Ejemplo: Resuelva la
ecuación para x
(a) 3ax  5a   4b  4 x  2
(b) 4a  x   b  a  2 x
(c) bx  2b  2a  ax
(d) x  a x  ax  3a  3
2
(e) a x  2a  3 x
2
2
(f) 5b - x   2b  ax

Si se lee la temperatura en dos termómetro,
uno Fahrenheit y otro Celcius, entonces F
grados es la temperatura Fahrenheit leída y
C grados es la temperatura Celcius, la
relación de estas temperaturas es:
F
9
5
C  32
Resuelve esta ecuación para C.
F
9
C  32
5
F  32 
9C
5
5  ( F  32)  9C
5  ( F  32)
9
C
C
5  ( F  32)
9
FACTORIZACION
Factorizar un polinomio que contenga la
suma de monomios significa encontrar
una expresión equivalente que es un
producto.
Factorizar 10 x  15 x
2
Suma de
monomios
Expresión
equivalente que es
un producto
10 x  15 x  5 x(2 x  3)
2
Dos factores de
10x2+15x son 5x y
2x+3
FACTOR COMUN

Propiedad distributiva en dirección
inversa.
ab+ac=a(b+c)
Ejemplo
Factoriza: a)18x3 + 27x2
En primer lugar, determina el máximo
factor común.

9 es el entero más grande
que divide 18 y 27
18x3 + 27x2
x2 es la expresión más grande
que divide a x3 y x2

El MFC de los términos del polinomio
es 9x2.
18x3 + 27x2
=9x2(2x)+9x2(3)
=9x2(2x+3)
b)x2(x+3)+5(x+3)

En esta situación el máximo factor
común es el binomio común (x+3).
Este se factoriza como sigue:
x2(x+3)+5(x+3)=(x+3)(x2+5)
Se coloca fuera el
binomio que es el
factor común
FACTORIZAR POR
AGRUPACION

Algunos polinomios sólo tienen un
máximo factor común de 1; sin
embargo, es posible factorizarlos con
un agrupamiento adecuado de los
términos. Este proceso se llama
factorización por agrupación.
Ejemplo:
 Factoriza: x3+4x2+3x+12
No hay ningún factor distinto de 1 que
los términos tengan en común. No
obstante, puede agruparse los
términos de modo que tengan un
factor común:
x3+4x2+3x+12
El factor común
es x2
El factor común
es 3
Ahora factorizamos el polinomio dado,
como sigue:
x3+4x2+3x+12
=(x3+4x2)+(3x+12)
Agrupe términos con
factores comunes
=x2(x+4)+3(x+4)
Factorice el máximo
factor común de los términos agrupados. Los otros dos
términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común.
=(x+4)(x2+3)
Obtenga como factor MFC, x +4
FACTORIZACION DE
TRINOMIOS
Para factorizar un trinomio de la forma
ax2 + bx+ c
son necesarios algunos intentos por
ensayo y error

Estrategia para factorizar
2
ax +bx+c
Suponga, de momento, que no hay un
máximo factor común.
Encuentre dos primeros términos
cuyo producto sea ax2
(
x+
)(
x+
) = ax2+bx+c
1.
2. Encuentre dos últimos términos cuyo
producto sea c:
(
x+
)(
x+
) = ax2+bx+c
3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo y
error, hasta que la suma del producto
de los extremos (E) y la de los
internos (I) sea bx:
(
x+
)(
x+
I
E
Suma de E + I
) = ax2+bx+c
FACTORIZACION DE UNA
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Si A y B son números reales, o expresiones
algebraicas, entonces
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
En palabras: la diferencia de los cuadrados de
dos términos se factoriza como el producto
de una suma y una resta de dichos
términos.
Ejemplo

Factorice: x  4
2
Debemos expresar cada término como el
cuadrado de algunos monomios y después
usar la fórmula para factorizar A2 – B2
x  4  x  2  ( x  2)( x  2)
2
2
2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
FACTORIZACION DE
TRINOMIOS CUADRADOS
PERFECTOS
Sean A y B números reales, variables o
expresiones algebraicas.
1.
A  2 AB  B  ( A  B)
2.
A  2 AB  B  ( A  B)
2
2
2
2
2
2
Ejemplo

Factorice:
x  6x  9
2
x  6 x  9  x  2  x  3  3  ( x  3)
2
2
2
2
A2 + 2 A B + B2 = (A + B)2
FACTORIZACION DE LA
SUMA Y RESTA DE DOS
CUBOS
1.
Factorización de la suma de dos cubos
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Mismos signos Signos contrarios
2. Factorización de la diferencia de dos cubos
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Mismos signos
Signos contrarios
Ejemplo

Factorice: x 3  8
x  8  x  2  ( x  2)( x  x  2  2 )  ( x  2)( x  2 x  4)
3
3
3
2
2
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
2
ESTRATEGIA PARA
FACTORIZAR UN
POLINOMIO
1.
Si hubiera un factor común, factorice
el MFC.
2.
Determine el número de términos en
el polinomio y trate de factorizar
como se indica a continuación:
a) Si hay dos términos, ¿se puede factorizar
el binomio en alguno de los siguientes
productos notables?
Diferencia de cuadrados: A2-B2=(A+B)(A-B)
Suma de dos cubos: A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
Diferencia de dos cubos: A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)
b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio
cuadrado perfecto? Si es así,
factorícelo en un de los siguientes
productos notables:
A2+2AB+B2=(A+B)2
A2-2AB+B2=(A-B)2
Si no es un trinomio cuadrado perfecto,
trate de factorizarlo por ensayo y error
c) Si hay cuatro términos o más, intente
factorizarlos por agrupación.
3. Verifique para ver si hay factores con
más de un término en el polinomio
factorizado que puedan factorizarse
aún más. Si es así, factorice
completamente.
EJERCICIOS
Factoriza:
 4y2-11y+6
 6p2-7pq-5q2
 16p2-40pq+25q2
 169x2+104xy2+16y4
 4m2-9
 128p2-98q2
 x2+36
4z2+12z+9-w2
 256k4-625m4
 k3—8
 12x2-26x-10

FUNCIONES
LOGARITMICAS
Definición de los
logaritmos

Y=log x

Significa 10y=x
Ejemplo

Para encontrar log 10,000,
pregúntese, ¿A qué exponente debe
elevarse 10 para producir 10,000?
Ejemplo

Para encontrar log 10,000,
pregúntese, ¿A qué exponente debe
elevarse 10 para producir 10,000?
Como 104 = 10,000, vemos que
log 10,000=4.
Asimismo…
log 1  0
10  1
0
log .01  2
log 10 
1
2
10
2

1
10
1
10
2
2

 10
1
100
 .01
PROPIEDADES BASICAS
DE LOS LOGARITMOS
Sea x y y números reales con x>0.
log 1  0 ya que 10  1
0
log 10  1 ya que10  10
1
log 10  y ya que 10  10
y
10
log x
y
y
 x ya que log x  log x
Ejemplo
a) log 100 
b) log 10 
5
1
c) log
1000
d) 10
log6


PROPIEDADES BASICAS
DE LOS LOGARITMOS
Para 0<b≠1, x>0, y cualquier número real y.
log b 1  0 ya que b  1
0
log b b  1 ya que b  b
1
log b b  y ya que b  b
y
b
log x
y
y
 x ya que log b x  log b x
Ejemplo
a) log 2 8 
b) log 3
c) 6
log6 11
3
